Eu simplesmente comparei com a série de Taylor de arctan(x), que converge em [-1,1] (logo, em [0,1]) e é obtida por integração de 1/(1+x^2).
1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... converge uniformemente pra 1/(1+x^2) em todo sub-intervalo compacto de (-1,1). Mas pra x = 1, a série diverge e a justificativa pra integrabilidade é que o resto da série geométrica de razão -x^2 (igual a (-1)^n*x^(2n)/(1+x^2) ) é integrável em [0,1] e a o valor absoluto da integral é dominado por Integral(0...1) x^(2n)*dx = 1/(2n+1) que tende a zero quando n -> +infinito. Mas Integral(0...x) (-1)^n*u^(2n)*du/(1+u^2) é justamente o resto da série de Taylor de arctan(x), para x em [0,1]. Tem um teorema, devido a Abel, que diz que se uma série de potências f(x) = SOMA(n>=0) a_n*x^n converge em (-1,1) e se a série numérica SOMA(n>=0) a_n converge pra L, então lim(x -> 1-) f(x) = L. É o caso da série de arctg(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ..., que converge justamente pra pi/4, quando x =1. A demonstração usa soma por partes e pode ser encontrada aqui: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/analysis/abelthm.pdf. Mas, pra mim, a grande sacada deste problema foi a sua dica, de que a transformação x =1/t transforma Integral(0...+inf) log(x)*dx/(1+x^2) em Integral(+inf...0) log(t)*dt/(1+t^2) (ou seja, simplesmente inverte os limites de integração), de modo que a integral é igual a zero. Isso não é óbvio de antemão. []s, Claudio. On Wed, Aug 29, 2018 at 2:18 AM Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > Esta sua solução por séries é bem interessante. Valeu! A justificativa > para transformar a integral de uma série em uma série dr integrais é > convergência uniforme da série, certo? > > Eu prnsei numa solução baseada em I1(a) = Int(0, inf) dx/(x^2 + a), a > 0. > Fazendo x = 1/t demonstramos que I1(1) = 0. Depois, fazendo x = at, vamos > cair numa integral que dá arctan e deduzimos que > > I1(a) = (Pi log(a))/(4raiz(a)), a > 0 > > Sendo I2(a) = Int(0, inf) dx/(x^2 + a)^2, vemos que o integrando de I2(a) > é -d/da 1/(x^2 + a), o simétrico da derivada parcial com relaçâo a a do > integrando de I1(a). Para a >= 1, o valor absoluto desta derivada é > dominado em (0, inf) pela função de x > > f(x) = log(x)/(x^2 + 1), x em (0, 1], que já vimos ser integrável neste > intervalo > > f(x) = log(x)/x^2, x em (1, inf). Uma simples integração por partes mostra > que este ramo de f é integrável em (1, inf). > > Assim, para a >= 1, f domina o integrando de I2(a) em (0, inf) e é > integrável no mesmo. Segundo um teorema da Análise (egresso da Teoria da > Medida), isto nos possibilita diferenciar sob o sinal de integral para > concluir que > > I2(a) = -d/da I1(a). > > Isto nos leva a que > > I2(a) = Pi/8 (log(a) - 2) a^(-3/2), a >= 1 > > Não sei se esta fórmula vale em (0, 1). Acho que não. > > Fazendo a = 1, obtemos I2(1) = -Pi/4 > > Mas se o objetivo for só determinar I2(1), parece que usei guindaste pra > levantar uma caixa de fósforos. > > Acho que a sugestão do tal Phd (um francês) não era o que eu fiz. > > Artur Costa Steiner > > Em ter, 28 de ago de 2018 21:34, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> x = 1/t ==> Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) >> t^2*log(t)*dt/(1+t^2)^2 >> >> Assim, >> Integral(0...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = >> Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(1...+inf) >> log(x)*dx/(1+x^2)^2 = >> Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(0...1) >> x^2*log(x)*dx/(1+x^2)^2 = >> Integral(0...1) (log(x)/(1+x^2)^2 + x^2*log(x)/(1+x^2)^2)*dx = >> Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2) = >> Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx >> >> A primitiva de x^n*log(x) é x^(n+1)/(n+1)*(log(x) - 1/(n+1)) + C >> >> Logo, Integral(0...1) x^n*log(x)*dx = -1/(n+1)^2 ==> >> Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx = >> -1 + 1/3^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - ... = >> -(1 - 1/3^2 + 1/5^2 - 1/7^2 + ...) >> >> A série entre parênteses não parece ter soma Pi/4, mas é muito provável >> que eu tenha errado alguma conta. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> >> On Tue, Aug 28, 2018 at 4:55 PM Artur Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: >> >>> Ha algum tempo vi uma discussão sobre a integral >>> >>> Int (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1)^2 dx >>> >>> Um Phd em matemática disse que a resolução fica bem mais simples se >>> considerarmos que (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1) dx = 0. Este fato não é >>> difícil de mostrar. Parcelando a segunda integral na soma de uma de (-oo a >>> 1] com outra de [1 a oo) e fazendo x = 1/t em uma delas, concluimos que a >>> integral é nula. >>> >>> Mas não vejo como esta informação possa ser utilizada na resolução da >>> 1a.? Não vi o argumento do Phd. >>> >>> Alguém tem alguma sugestão? A resposta é -pi/4. >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
