From: "Cláudio (Prática)" <[EMAIL PROTECTED]> > > > > Se X eh um conjunto qualquer de objetos e definimos uma metrica em X que > nao > > o faca completo, eh entao verdade que existe um espaco metrico completo > > contendo X como subespaco? > > > > Artur > > > Bom, isso eu já não sei dizer porque topologia não é nem de longe a minha > praia, mas me parece que se tornarmos Q (corpo dos racionais) um espaço > métrico com a distância usual d(x,y) = |x - y|, a existência de um espaço > métrico completo que o contenha só é estabelecida por meio do axioma do > supremo. > > No caso geral pode ser que você também tenha que postular a existência de um > espaço métrico completo contendo um dado espaço. > > De qualquer jeito, acho melhor esperar pela resposta de alguém mais > gabaritado... > > []s, > Claudio.
Oi Cláudio e Artur. Na verdade, esta é uma questão simples, que está respondida no livro de Espaços Métricos do Elon, se eu a entendi bem. Dado um espaço métrico geral X existe um compleTAmento Y de X, que o contém como subespaço métrico (na verdade é uma copía isométrica de X), que é completo e tal que X é denso em Y. A maneira que sei de provar isto é exibir Y, dado um X. Considere o conjunto das seqüências de Cauchy em X, denotado por S. (Lembra o que é seqüência de Cauchy? Uma seqüência (x_n) em X é de Cauchy se para todo e > 0 existe N tal que d(x_n,x_m) < e se n, m > N). Defina então uma relação de equivalência em S: (x_n) ~ (y_n) :== lim d(x_n,y_n) = 0 Ou seja, duas seqüências de Cauchy são equivalentes se elas se confundem no infinito ou os seus termos gerais se tornam arbitrariamente próximos. Para finalizar tome o conjunto quociente Y = S/~, definindo distância de duas classes de seqüências de Cauchy [(x_n)] e [(y_n)] como: D( [(x_n)], [(y_n)] ) = lim d(x_n, y_n) (é preciso mostrar que D está bem definida, i.e., independe da escolha (x_n) e (y_n) nas suas classes de eqüivalência) Fica como exercício mostrar que X pode ser imerso naturalmente em Y, (cada x em X é levado na classe da seqüência constante (x) em Y) e que Y é completo e X é denso em Y. Não é difícil, asseguro. Abração, Duda. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================