[obm-l] Re: [obm-l] mais um de teoria dos números
2^3 + 1 = 9 e 3|9 2^9 + 1 = 513 e 9|513 ... suponha que 3^k|(2^(3^k) + 1) 2^(3^(k+1)) + 1 = 2^[3.(3^k)] + 1 = [2^(3^k)]^3 + 1 por hipótese, 2^(3^k) = s*3^k - 1 para algum s inteiro. substituindo 2^(3^(k+1)) + 1 = [s*3^k - 1]^3 + 1 = (3^3k)s^3 - 3.(3^2k)s^2 + 3s(3^k) e obviamente 3^(k+1) divide isso... segue por indução que se t = 3^n, t|(2^t + 1) [ ]'s -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Olá. Andei dando uma estudadinha em teoria dos números pela internet, e tenho feito alguns probleminhas simples, do estilo: encontre todos os inteiros a!=3 tais que (a-3)|(a^3-3). Agora me apareceu um problema um tanto mais complicado... diz assim: Mostre que existem infinitos naturais n tais que 2^n+1 é diviísvel por n. Não sei o que fazer com essa potência! alguam sugestão? abraço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] mais um de teoria dos números
Dá para mostrar, por indução, que se n = 3^k então n divide 2^n + 1. Para k = 0 é trivial. Supondo que vale para um determinado k (ou seja, que 2^3^k + 1 = A.3^k), para k +1 temos: 2^(3^(k + 1)) = (2^3^k)^3 + 1 = (A.3^k - 1)^3 + 1 = A^3.3^(3k) - A^2.3^(2k + 1) + A.3^(k + 1) = 2^(3^(k + 1)) = [3^(k + 1)][A^3.3^(2k - 1) - A^2.3^k + A] Até mais, | / \ /___\ || Marcelo Rufino de Oliveira || || Coordenador das Turmas Militares do Colégio Ideal /||\ / || \ Coordenador Regional da Olimpíada Brasileira de Matemática /__||__\ | | | | | Engenheiro Mecânico-Aeronáutico - ITA 99 ~~~ - Original Message - From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 27, 2004 10:39 AM Subject: [obm-l] mais um de teoria dos números -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Olá. Andei dando uma estudadinha em teoria dos números pela internet, e tenho feito alguns probleminhas simples, do estilo: encontre todos os inteiros a!=3 tais que (a-3)|(a^3-3). Agora me apareceu um problema um tanto mais complicado... diz assim: Mostre que existem infinitos naturais n tais que 2^n+1 é diviísvel por n. Não sei o que fazer com essa potência! alguam sugestão? abraço - -- Bruno França dos Reis brunoreis at terra com br icq: 12626000 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux) iD8DBQFA3s4OsHdDIT+qyroRAtLlAKC7btvVBxlsPn56AfxLBZOGCuJJFwCggctH VAASYPFHs+VrQRDlJXAVDYA= =7IcM -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] mais um de teoria dos números
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Sunday 27 June 2004 11:37, Marcelo Rufino de Oliveira wrote: Dá para mostrar, por indução, que se n = 3^k então n divide 2^n + 1. ok. Mas como eu faria para saber que n=3^k funciona? tem que testar alguns casos e assumir que funciona, para depois tentar provar por indução? Ou tem algum jeito de chegar em 3^k? até - -- Bruno França dos Reis brunoreis at terra com br icq: 12626000 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux) iD8DBQFA3uSZsHdDIT+qyroRAnLPAJ9AvtAEpmjibipHWzZ0oD2Ko5RJ7wCgk5d0 YnHhAc/waWAbY8Znj6a5Zrw= =myFj -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] mais um de teoria dos números
De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Sun, 27 Jun 2004 12:15:33 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] mais um de teoria dos números -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Sunday 27 June 2004 11:37, Marcelo Rufino de Oliveira wrote: Dá para mostrar, por indução, que se n = 3^k então n divide 2^n + 1. ok. Mas como eu faria para saber que n=3^k funciona? tem que testar alguns casos e assumir que funciona, para depois tentar provar por indução? Ou tem algum jeito de chegar em 3^k? até - -- Bruno França dos Reis As vezes a unica maneira eh testar casos. Essa eh a forma como muitosresultados de teoria dos numerosforam descobertos. Por outro lado, tambem dah pra provar que nao existe nenhum inteiro n maior do que 1 tal que 2^n - 1 seja divisivel por n. (Dica: considere o menor fator primo de n e use o pequeno teorema de Fermat). E jah que estamos falando de potencias de 2, que tal este aqui? Prove que se m e n sao inteiros nao-negativos distintos entao: 2^(2^m) + 1 e 2^(2^n) + 1 sao primos entre si. Qual a relacao disso com o tamanho do conjunto dos primos? []s, Claudio.
