Prezado Nicolau,
Em primeiro lugar obrigado pela sua colaboração em esclarecer minhas dúvidas!
Em segundo, realmente não entendi seu argumento final... meu raciocínio foi de
que como no limite os termos da sequência se igualam a série seja convergente.
Outra forma de provar a convergência: se uma sequência tem a característica de
que a1<=a2<=a3<=...<=an, e a_n - a_(n-1) -->0 quando n--> infinito, posso
afirmar q ela converge? Acho q vi isso num livro de cálculo (George Simmons) e
era um método (teste de convergência) de Leibiniz. Vou olhar hoje a noite
melhor, mas se for isso acredito que se encaixa na sequência estudada.
abração!
----- Mensagem original ----
De: Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 12:40:35
Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência:
sequência de fibonacci e análogas
On Nov 29, 2007 11:37 AM, Rodrigo Cientista
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Vou colocar oq considero a minha prova para a convergência:
>
> Inicialmente fiz algumas observações (usando a sequência de Lucas, mas pode
> ser generalizado):
>
> a) (an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5 (é +5 se n é par, e -5 se n é ímpar) obs:
> com +- quero dizer + ou -
> Note que eu não sei se isto é verdade para toda a sequência, já que uma
> observação não é prova. Entretanto, se eu conseguisse provar que este fato é
> verdade, eu poderia dividir todos os termos da equação por (an)*(an-1),
> chegando à seguinte expressão:
>
Isto é verdade trocando 5 por outra constante para qq solução de
a_(n+1) = a_n + a_(n-1).
Há várias maneiras de ver isso. A mais óbvia é usar a fórmula a_n = A
phi^n + B phib^n.
Outra é ver que
[[a_(n+2),a_(n+1)],[a_(n+1),a_n]] = [[1,1],[1,0]] *
[[a_(n+1),a_n],[a_n,a_(n-1)]]
donde, tirando determinantes,
a_(n+2)*a_n - (a_(n+1))^2 = - (a_(n+1)*a_(n-1) - (a_n)^2)
> (an)/(an-1) = (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)]
>
> Usando-se limites, vemos que quando n--> infinito, +-5/[(an)*(an-1)]--> 0, e
> (an)/(an-1)--> (an+1)/(an), e por indução vemos que (an)/(an-1)--> razão
> áurea.
>
> Usando a própria definição da sequência:
>
> (an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5, sabe-se que an+1=an + an-1
>
> (an)^2= (an-1)*(an + an-1) +- 5 ==> (an)^2 - (an-1)^2= (an-1)*(an) +- 5 ==>
>
> ==> (an + an-1)(an - an-1) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que (an - an-1) = an-2
> ==>
>
> ==> (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que an = an-1 + an-2 ==>
>
> ==> (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an-1 + an-2 ) +- 5 ==>
>
> ==> (an-2)*(an) + (an-1)*(an-2) = (an-1)^2 + (an-1)*(an-2) +- 5 ==> (an-1)^2
> = (an-2)*(an) +- 5
>
> comparando-se a expressão original com esta,
> (an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5
> (an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5
>
> ou mais geralmente:
>
> (ai)^2 = (ai-1)*(ai+1) +- 5, com i=2,3,4,5,6...,n
>
> provando por indução sobre n
>
> Como já foi previamente dito, agora podemos resolver o limite, a saber:
>
> LIM (an)/(an-1) =LIM{ (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito
>
> LIM (an)/(an-1) =LIM(an+1)/(an) + LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito
>
> LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito é ZERO
>
> NO LIMITE, (an)/(an-1) = (an+1)/(an) + 0
>
> Assim a prova está completa!
>
Infelizmente considero a sua demonstração incompleta (além de ser
desnecessariamente complicada).
Você demonstrou que
lim ( (a_(n+1)/a_n) - (a_n/a_(n-1)) ) = 0
Isto NÃO implica na existência de
lim a_(n+1)/a_n
Para ver isso, considere c_n = log(n).
Temos
lim c_(n+1) - c_n = 0
mas
lim c_n = +infinito.
Em outras palavras, se o termo geral de uma série tende a zero isto
não garante a convergência da série.
N.
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