Acho que mandei a mensagem anterior sem a solução. Agora la está lá... Abraços, Gugu
> >Oi gente, lá vai o segundo dia da IMO. > >Como a primeira prova de ontem, eu mesmo traduzi >agora. > >Ainda não pensei nos problemas de hoje, mas eles >parecem ser bem legais! > >Os de ontem foram bem legais também. No começo, achei >que os problemas eram difíceis porque nem tinha muita >idéia de como resolver, mas depois que parei para >pensar com mais calma consegui resolver dois problemas >(1 e 2). > >4. Determine todos os inteiros positivos relativamente >primos com todos os termos da seqüência infinita a_n = >2^n + 3^n + 6^n - 1, n >= 1. > >5. Seja ABCD um quadrilátero convexo e fixado com BC = >DA e BC não paralelo a DA. Sejam E e F dois pontos >variáveis sobre BC e DA, respectivamente, tais que BE >= DF. As retas AC e BD cortam-se em P; as retas BD e >EF cortam-se em Q; as retas EF e AC cortam-se em R. > >Quando variamos E e F, obtemos diferentes triângulos >PQR. Prove que os circuncírculos desses triângulos têm >um ponto comum diferente de P. > >6. Numa competição de matemática na qual foram >propostos 6 problemas, quaisquer dois problemas foram >resolvidos por mais de 2/5 dos estudantes. Além disso, >nenhum estudante resolveu todos os 6 problemas. Mostre >que existem pelo menos 2 estudantes que resolveram 5 >problemas cada um. > >[]'s >Shine > > > >____________________________________________________ >Start your day with Yahoo! - make it your home page >http://www.yahoo.com/r/hs > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > No 5 eu fiz B=(0,0), C=(1,0), D=(c,d) e A=(c+cos(a),d+sen(a)). Se E=(t,0), F=(c+t.cos(a),d+t.sen(a)), e aí as equações das retas AC, BD e EF são: AC: y=(d+sen(a))(x-1)/(c+cos(a)-1), BD: y=dx/c, EF: y=(d+t.sen(a))(x-t)/(c+t.(cos(a)-1)). Achamos então P,Q e R: fazendo w=c.sen(a)-d(cos(a)-1), temos P=(c(d+sen(a)),d(d+sen(a)))/w, Q=P+(1-t)u, R=P+tv, onde u=-sen(a).(c,d)/w e v=sen(a).(c+cos(a)-1,d+sen(a))/w (não vou me preocupar com denominadores que eventualmente se anulem - esses casos seguem por continuidade). Agora, via uma homotetia, podemos supor que P=(0,0), Q=(1-t,0) e R=(tm,th). O circuncírculo de PQR tem equação C+tL=0, onde C=x^2-x+y^2-my/h e L=x-(m^2+h^2+m)/h. Assim, todos eles passam pelos dois pontos de interseção de (C=0) e (L=0), que são (0,0)=P e s.(m^2+m+h^2,h), onde s=(m^2+h^2)/(h^2+(m^2+m+h^2)^2). E acabou, né ? ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================