A ideia é essa mesma. Uma possível prova é:
Seja x um elemento genérico de f[0, p]). Como A = {n + mp} é denso em R, x
é ponto de acumulação de A, havendo assim uma sequência(a_k) em A que
converge para x e tem seus termos distintos.
Afirmamos que (n_k) tem uma cauda com termos distintos. De
ops... apertei o send por engano... continuando
Obviamente, f(D) está contido em f([0,p]), de modo que fecho(f(D)) está
contido em fecho(f([0,p])) = f([0,p]) = f(fecho(D)).
Resta provar que f([0,p]) está contido em fecho(f(D)).
Dado y em f([0,p]), existe (y_n) em f([0,p]) tal que y_n -> y.
Para
Acho que a demonstração depende de dois fatos:
1) Se p = período fundamental de f e D é um subconjunto de [0,p] denso em
[0,p], então f(D) é denso em f([0,p]) = imagem de f;
e
2) O conjunto { n + mp | n é natural e m é inteiro} é denso em [0,p].
(2) é consequência (e, se não me engano, foi a
Acho isto interessante:
Suponhamos que f:R ---> R seja contínua, periódica e tenha período
fundamental irracional. Mostre que a sequência (f(n)) é densa no conjunto
das imagens de f.
Artur Costa Steiner
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