Re: [obm-l] Sist. Trigonometria
Oi gente,
O enunciado do problema do IME (que dá a resposta
citada) é
a senx - b cosx = (c/2)sen2x
a cosx + b senx = c cos2x,
então vou fazer o problema com esse enunciado.
A idéia é encontrar a e b em função de c e x. Note que
isso é o mais simples visto que se tomarmos c e x como
parâmetros então temos um sistema linear em a e b. Dá
para resolver usando Cramer ou escalonamento, mas se
você notar que
(a+bi)(senx+icosx)= asenx-bcosx + (acosx+bsenx)i
e que o inverso de senx + icosx é senx - icosx, temos
a+bi = ((c/2)sen2x + ic cos2x)(senx - icosx)
= (c/2)sen2x senx + c cos2x cosx
+ (c senx cos2x - (c/2)sen2x senx)i
de modo que
a = (c/2)sen2x senx + c cos2x cosx
b = c senx cos2x - (c/2)sen2x senx
Agora, já que sen2x = 2senx cosx e cos 2x = cos^2x -
sen^2x,
a = c(sen^2x cosx + (cos^2x - sen^2x)cosx)
= c cos^3x
b = c(senx(cos^2x - sen^2x) - sen^2x cosx)
= -c sen^3x,
ou seja,
cosx = (a/c)^{1/3}
-senx = (b/c)^{1/3}
Assim, de cos^2x + sen^2x = 1, conclui-se que
(a/c)^{2/3} + (b/c)^{2/3} = 1
e o resultado c^2 = (a^{2/3} + b^{2/3})^3 segue.
[]'s
Shine
--- Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sauda,c~oes,
Alguém conseguiu resolver este?
[]'s
Luís
From: Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Sist. Trigonometria
Date: Thu, 29 Sep 2005 11:13:48 -0300 (ART)
Obtenha uma relacao entre a, b e c, eliminando x
entre as duas equacoes
abaixo:
a senx - b cosx = 1/2 sen2x
a cosx + b senx = c cos2x
gab: c^2 = (a^2/3 + b^2/3)^3
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
__
Yahoo! Mail - PC Magazine Editors' Choice 2005
http://mail.yahoo.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sist. Trigonometria
Shine,
o enunciado eh esse mesmo, eu me enganei esqueci do c.
e valeu pela bela solucao!!
[]'s
D. Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Oi gente,O enunciado do problema do IME (que dá a respostacitada) é a senx - b cosx = (c/2)sen2x a cosx + b senx = c cos2x,então vou fazer o problema com esse enunciado.A idéia é encontrar a e b em função de c e x. Note queisso é o mais simples visto que se tomarmos c e x comoparâmetros então temos um sistema linear em a e b. Dápara resolver usando Cramer ou escalonamento, mas sevocê notar que(a+bi)(senx+icosx)= asenx-bcosx + (acosx+bsenx)ie que o inverso de senx + icosx é senx - icosx, temosa+bi = ((c/2)sen2x + ic cos2x)(senx - icosx)= (c/2)sen2x senx + c cos2x cosx+ (c senx cos2x - (c/2)sen2x senx)ide modo quea = (c/2)sen2x senx + c cos2x cosxb = c senx cos2x - (c/2)sen2x senxAgora, já que sen2x = 2senx cosx e cos 2x = cos^2x -sen^2x,a = c(sen^2x cosx + (cos^2x - sen^2x)c!
osx)=
c cos^3xb = c(senx(cos^2x - sen^2x) - sen^2x cosx)= -c sen^3x,ou seja,cosx = (a/c)^{1/3}-senx = (b/c)^{1/3}Assim, de cos^2x + sen^2x = 1, conclui-se que(a/c)^{2/3} + (b/c)^{2/3} = 1e o resultado c^2 = (a^{2/3} + b^{2/3})^3 segue.[]'sShine--- Luís Lopes <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Sauda,c~oes, Alguém conseguiu resolver este? []'s Luís From: Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Sist. Trigonometria Date: Thu, 29 Sep 2005 11:13:48 -0300 (ART) Obtenha uma relacao entre a, b e c, eliminando x entre as duas equacoes abaixo: a senx - b cosx = 1/2 sen2x a cosx + b senx = c cos2x gab: c^2 = (a^2/3 + b^2/3)^3
= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= __ Yahoo! Mail - PC Magazine Editors' Choice 2005 http://mail.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
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[obm-l] Sist. Trigonometria
Sauda,c~oes, Alguém conseguiu resolver este? []'s Luís From: Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Sist. Trigonometria Date: Thu, 29 Sep 2005 11:13:48 -0300 (ART) Obtenha uma relacao entre a, b e c, eliminando x entre as duas equacoes abaixo: a senx - b cosx = 1/2 sen2x a cosx + b senx = c cos2x gab: c^2 = (a^2/3 + b^2/3)^3 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Sist. Trigonometria
Obtenha uma relacao entre a, b e c, eliminando x entre as duas equacoes abaixo: a senx - b cosx = 1/2 sen2x a cosx + b senx = c cos2x gab:c^2 = (a^2/3 + b^2/3)^3 Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora!
