Ola Pessoal,
Escrever com pressa sempre nos faz cometer erros simplorios e imbecis. A mensagem abaixo esta
incompleta, pois precisamos impor que N >= 3. Aqui vai uma demonstracao classica :
Um grupo de ordem 2 e evidentemente abeliano. Um de ordem 4, por ter ordem quadrado de
um primo, e igualmente abeliano. Considere entao um grupo G de ordem 8.
1) G tem um elemento de ordem 8
Seja "g" tal que |<g>|=8. Entao G=<g> e G e ciclico. Logo, G e isomorfo Z/8Z.
2) G nao tem um elemento de ordem 8
2.1) G nao tem um elemento de ordem 4
Entao, pelo teorema de Lagrange, segue que todo elemento de G ( diferente da unidade ) tem ordem 2 e, portanto, G e abeliano ( prove isso ! ). Tomando um g qualquer pertencente a G
segue que <g>={e,g}. Tomando agora um h pertencente a G-<g>, segue que H = {e, g, h, gh }
e um subgrupo de G ( prove isso ! ) e, finalmente, tomando k pertencente a G - H segue que
K = {e, g, h, gh, k, gk, hk, ghk } e um subgrupo de G ( prove isso ! ). Logo :
G = K = {e, g, h, gh, k, gk, hk, ghk } = {(g^i)(h^j)(k^L) com i,j,L = 0,1 }A funcao
F:(Z/2Z)X(Z/2Z)X(Z/2Z) -> G
(i_ ,j_, L_ ) -> (g^i)(h^j)(k^L) .... i_ = i barra = classe de equivalencia de i
E claramente um isomorfismo ( prova isso ! ) e, portanto, G e isomorfo a (Z/2Z) x (Z/2Z) x (Z/2Z)
NOTA : onde coloquei ( prove isso !) fui honesto, isto e, a prova e realmente elementar. Estou me
concentrando apenas no essencial.
2.2) G tem um elemento de ordem 4
Seja g pertencente a G tal que |<g>|=4. Entao <g>={e, g, g^2, g^3}. Tomando um h em
G-<g> segue que {e, g, g^2, g^3, h, gh, (g^2)h, (g^3)h } e um grupo ( prove isso ! ) e,
portanto, G = {e, g, g^2, g^3, h, gh, (g^2)h, (g^3)h }.
Quem e h^2 ? Ele nao pode ser nenhum dos elementos h, gh, (g^2)h e (g^3)h pois isto,
por razoes elementares ( prove isso ! ) conduziria a absurdos ( por exemplo : h^2=h => h=e ...
absurdo, h^2 = gh => h = g ... absurdo ). Logo, h^2 so pode ser igual a um dos elementos
e, g, g^2 ou g^3.
Quem e hg ? Ele nao pode ser nenhum dos elementos e, g, g^2, g^3 ou h pois isto,
por razoes elementares ( prove isso ! ) conduziria a absurdos. Logo, hg so pode ser igual a
um dos elementos gh, (g^2)h ou (g^3)h.
Temos portanto as seguintes certezas e possibilidades :
( certezas ) |G|=8, G=<g,h>, g^4=e
( possibilidades ) h^2 = g^A onde A pode ser 0, 1, 2 ou 3 hg = (g^B)h onde B pode ser 1, 2 ou 3
como hg=(g^B)h => hg(h^(-1))=g^B e como |<g>|=4 segue que B nao pode ser 2, logo
temos B = 1 ou B=3. Igualmente, h^2 nao pode ser g e nem g^3 pois sendo |<g>|=4 isto
implicaria |<h>| = 8 ... absurdo. Assim, h^2 = e ou h^2 =^g^2.
Vemos que ficamos reduzidos as possibilidades :
GRUPO 1: |G|=8, G=<g,h>, g^4=e h^2= e , hg = gh
GRUPO 2: |G|=8, G=<g,h>, g^4=e h^2 = e , hg = (g^3)h
GRUPO 3: |G|=8, G=<g,h>, g^4=e h^2=g^2, hg = gh
GRUPO 4: |G|=8, G=<g,h>, g^4=e h^2 = g^2, hg = (g^3)h
Observe que, propositalmente, eu escolhi h^2 ( e nao h^4 ... ). Fiz assim para que os expoentes,
escolhidos minimamente, podessem caracterizar univocamente os grupos. A menos de isomorfismos
eles sao, portanto, unicos. Agora, eu afirmo que os grupos 1) E 3) sao isomorfos a Z/4ZxZ/2Z.
( prove isso ! ) A diferenca e devido a existencia de mais de uma dupla de geradores. O grupo 2) todos ja devem ter reconhecido, e o famoso D4, ou seja, o grupo das simetrias do octogono.
Quem e o grupo 4 ? Vou contar uma historia pra voces ...
Ha mais de 100 anos atras, um jovem senhor descobriu um tesouro ... Ele pensou mais ou menos
assim : "Por que eu sou obrigado a pensar que todos os objetos do mundo so se relacionam de
forma comutativa ? " Por que me obrigam a pensar que, sempre, ab=ba, sejam quais forem os
objetos "a" e "b" ? Sera que estou ficando louco ? Nao sera isso uma heresia tao grande quando
querer desobedecer o "sagrado" 5 postulado de Euclides ?
Mas ... ( Um Graaaaaande Mas !!!!! ) Se eu pensar assim eu posso extender a multiplicacao
entre variaveis complexas para o Universo Tridimensional ... Se eu fizer :
ij = k e ji = -k jk = i e kj = -i ki = j e ik = -j
Posso usar QUAdruplas a + bI + cJ + dK de forma que o produto espacial entre elas segundo o
produto :
(a,b,c,d)*(a',b', c', d') = (aa'-bb'-cc'-dd') + (ab' + ba' + cd' - dc')I + (ac' + ca' + db' - bd')J +
(ad' + da' + bc' - cb')K
me dá 3 copias de C ( conjunto dos complexos ).
O Jovem Senhor se chamava HAMILTON acabava de descobrir os QUATERNIOS, dando este nome em virtude de ter sido obrigado a usar 4 valores ( e nao 3, como ele supos durantes longos 10 anos ! ) e admitir a nao comutatividade na multiplicacao dos "vetores canonicos".
O Grupo 4 la em cima e o grupo dos QUATERNIOS. Ele e um grupo que todos os seus subgrupos
sao normais e e uma das Joias da Matematica. Voce sabe que esta diante de um tal grupo quando :
|G| = 2^N ( A ordem do grupo e uma potencia de 2, N >= 3 ) G=<g,h> ( O grupo e gerado por dois elementos ) g^A = e onde A = 2^(N-1) h^2 = g^B onde B = 2^(N -2) hg=(g^C)h onde C = ( 2^(N-1) ) - 1
O grupo G e conhecido por Qn.
Uff ! Que trabalheira Claudio ! Mas a nossa lista merece. Agora fica como exercicio pra voce provar os fatos elementares que omiti e, sobretudo, que todos os subgrupos de Q3 sao, de fato, normais.
Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,1709,240604
From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Subgrupos normais Date: Thu, 24 Jun 2004 17:56:29 +0000
Oi Caro Claudio,
Procure informacoes sobre o grupo dos quaternios. Aqui vai a definicao deles :
|Qn|=2^n, Qn =<x,y>, x^(2^(n-1))=e, y^2=x^(2^(n-2)) e y*x=[x^((2^(n-1))-1)]*b
Note que, a menos de isomorfismos, estas relacoes caracterizam univocamente este
grupo.
Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1449,240604
From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Subgrupos normais Date: Thu, 24 Jun 2004 13:48:14 -0300
Oi, pessoal:
Alguem conhece algum exemplo de grupo nao-abeliano cujos subgrupos sejam todos normais? (ou entao uma prova de que isso eh impossivel)
[]s, Claudio.
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