Olá, Bernardo!
Muito obrigado pela sua resposta!
Sim, estou estudando Cálculo 1.
Já li suas instruções e vou colocar tudo no papel.
Já percebi que errei, por exemplo, nos extremos das integrais.
Escrevo novamente se novas dúvidas surgirem.
Abraços!
Luiz
Em qui, 30 de jan de 2020 12:59 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:
> Olá,
>
> On Thu, Jan 30, 2020 at 11:21 AM Luiz Antonio Rodrigues
> wrote:
> > Estou tentando resolver um problema há alguns dias e não estou
> conseguindo chegar numa resposta correta.
> > O problema é o seguinte:
> >
> > Qual a integral que representa o volume do disco
> >
> > ((x-b)^2)+y^2 >
> > que gira em torno do eixo y?
> > Considere 0
> Eu imagino que você esteja fazendo Cálculo. Provavelmente, cálculo 1.
> E não vou responder, mas espero te ajudar a entender isso.
>
> Pense num retângulo bem pequeno, no ponto (x,y), de lados (dx,dy).
> Agora, RODE este quadradinho em torno do eixo y.
> 1) Visualize o sólido gerado por esta rotação. E depois desenhe.
> Desenhe mais de um, inclusive, para ver como eles ficam quando mudar o
> x, o y, ou os dois. Também faça um mudando dx ou dy. Se familiarize
> com o problema!
> 2) Dê uma APROXIMAÇÃO para o volume deste sólido, em função de (x, y,
> dx, dy). Repare que deve ser algo "pequeno". Se um dos lados tender
> a zero, o volume deve zerar também, então deve ser alguma coisa que
> COMEÇA com dx * dy. Deve ter termos "de mais alto grau" (tipo
> dx*dx*dy, ou dx*dy*dy*dy), mas estes a gente vai poder jogar fora
> depois. Se preocupe com o termo que vai aparecer multiplicando o
> dx*dy - esta será sua aproximação.
> 3) Agora, faça um monte de retângulos (ou quadrados, se é você quem
> escolhe!!) dentro do círculo. Se você rodar cada um, vai dar um
> volume. Se você somar todos os volumes, dá o volume do círculo
> rodado.
> - Mas peraí: não dá para preencher o círculo com quadrados do mesmo
> tamanho. É verdade. Vai sobrar (ou faltar) um treco no bordo. Mas
> isso deve (também!) tender a zero quando você diminuir o lado do
> quadrado.
> 4) Isso que você escreveu é uma "soma de Riemann" (que alguns gregos -
> tipo Arquimedes - já sabiam fazer) para o volume do seu sólido de
> rotação. É uma soma dupla (tem quadradinhos nas duas direções), vai
> virar uma integral dupla.
> 5) Faça de novo um desenho: agora, de como você vai calcular a soma
> dupla, somando na horizontal ou na vertical primeiro. Repare que o
> número de quadradinhos muda em cada "fatia", aumentando e depois
> diminuindo. Este MESMO desenho te diz como vão ser os limites de
> integração da integral dupla.
> - Poxa, eu ainda estou em Cálculo 1, e você vem falar de integrais
> duplas. É. Acho que é mais natural montar o problema assim. Porque
> eu acho que a grande ideia do cálculo é justamente dividir em trecos
> minúsculos, aproximar, somar. A integral que vai aparecer, apareceu.
> Note que, só neste problema, você já vai ver uma das coisas mais
> legais de integrais duplas: que os limites de integração "de dentro"
> dependem da variável de integração "de fora" - já que tem mais
> quadradinhos no centro do disco do que nos bordos.
> 6) A integral, fazendo dx e dy serem "infinitesimais", também faz com
> que as aproximações sejam cada vez melhores, e que o erro no bordo
> também seja cada vez menor. Se você quiser pensar mais nisso, ótimo:
> você quer fazer (um tipo de) análise.
> 7) Agora, basta calcular a integral. Essa é a parte FÁCIL: o
> importante é entender como sair do problema "real" (ou matemático) e
> chegar na integral.
>
> > Primeiro eu preciso resolver usando dx e depois dy.
> > Por fim, o problema pede o valor do volume em termos de a e b.
>
> Fazer "primeiro com dx" de "depois com dy" é só "resolver a integral
> dupla" primeiro em y, ou primeiro em x. Também pode ser pensado
> "fatiando" o seu círculo não em retângulos pequenos nas duas direções,
> mas em apenas uma. Mas eu acho isso mais complicado do que precisa (e
> dá uns nomes estilosos tipo "cascas cilíndricas" e tal, mas não acho
> que seja muito iluminador se você não entendeu estes quadradinhos...)
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
