Re: [obm-l] dertivada como limite de uma seq. de funcoes continuas
Eh isso aih, Bernardo! Depois me ocorreu uma outra solucao, que acho que tambem funciona. Se definirmos t_n - (b-x)/(n+1), acho que dah certo. Abracos. Artur --- Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Com risco de chegar dobrado, vou tentar mandar de novo (deu um erro aqui, mas sei la) Bom, vou tentar dar uma soluç~ao para este problema. Se você tem (a, +oo) ou (-oo, a), está bom, certo? Agora, você quer algo que seja suficiente em (a, b). Se você realmente se permite (a, b) aberto, com a e b finitos, eu acho que você faz assim: Estou supondo b-a 2, mas tudo pode ser escalado suficientemente (p.ex., começando mais longe no n) Primeiro, pra cada n, trunque f nos pontos a+1/n e b-1/n, e prolongue linearmente até a e b, seguindo a inclinaç~ao que você quiser, gerando f_n. Daí, defina g_n(x) = 3n( f_n(x+1/3n) - f(x) ) (o limite fundamental com 1/3n). Repare que g_n( (a+1/3n)+ ) está definido, como limite de constantes, assim como para g_n( (b-2/3n)- ). Finalmente, prolongue constantemente a funç~ao no resto do intervalo (a, a+1/3n) e (b-2/3n, b). Repare que g_n é contínua, e que, para todo x pertencente a (a, b) temos que, em algum momento (= para n suficientemente grande), n~ao teremos truncado em volta da bola de raio 1/3n em volta de x, o que diz que, a partir daí, SE A DERIVADA EM x EXISTIR, g_n(x) - f'(x). (na verdade, basta lateral à direita, que é o que estamos calculando) Acho que é isso. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/2/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu estou tentando demonstrar a seguinte afirmacao, mas encontrei dificuldade em alguns casos particulares. Se f eh dervavel em um intervalo aberto I, entao f' eh dada pelo limite de uma sequencia de funcoes continuas em I. Inicialmente, suponhamos que I seja da forma (a, oo), com a real or -inf. Uma abordagem eh definir uma sequencia t_n que convirja para 0 e satisfaca a t_n 0 para todo n. Definindo-se agora g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n), verificamos que cada g_n eh continua e que g_n = f'. Para intervalos do tipo (-oo, a) a abordagem eh similar. Um caso um pouco mais sutil sao os intervalos da forma (a,b), com a e b reais. Admitindo-se que f tenha limite L em b-, podemos supor que t_n esta em (0, b-a) para todo e definir g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n) se a x b - t_n e g_n(x) = (L - f(b -t_n))/(t_n) se b-t_n = x b. Cada g_n eh entao continua em (a,b) e, como para n suficientemente grande temos x b - t_n para todo x de (a,b), segue-se que g_n = f'. De modo similar, podemos abordar o caso em que f apresenta limite em a+. Pode entretanto ocorrer o caso em que a e b sejam reais e f nao tenha limite nem em a+ e nem em b-. Neste caso, nenhuma das duas abordagens apresentadas da certo. Me ocorreu uma outra, qual seja, definir agora t_n 1 para todo n com t_n = 1 e definir g_n por g_n(x) = (f((t_n)* x) - f(x))/((t_n - 1)*x) para todo x0 de (a,b). Se 0 nao estiver em (a,b) esta abordagem da certo, pois as g_n sao continuas e a sequencia (g_n) converge para f'. Mas se 0 estiver em (a,b) nao funciona para x =0, nem mesmo se admitirmos que f' eh continua em x =0. Nao dah para definir f(0) de modo a garantir que as g_n sejam sempre continuas em (a,b). Alem disto, de modo geral (g_n(0)) nao converge para f'(0). Assim, faltou um arremate final, talvez alguem possa dar uma sugestao. Uma conclusao interessante deste teorema eh que o conjunto das descontinuidades de f' em I eh magro, segundo a classificacao de Baire (eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos fechados com interior vazio). Logo, o conjunto das continuidades eh denso em (a, b), o que significa que derivadas nunca sao muito descontinuas. Mas isto nao siginfica que o conjunto das descontinuidades tenha medida nula Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Click here to donate to the Hurricane Katrina relief effort. http://store.yahoo.com/redcross-donate3/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] dertivada como limite de uma seq. de funcoes continuas
Eu estou tentando demonstrar a seguinte afirmacao, mas encontrei dificuldade em alguns casos particulares. Se f eh dervavel em um intervalo aberto I, entao f' eh dada pelo limite de uma sequencia de funcoes continuas em I. Inicialmente, suponhamos que I seja da forma (a, oo), com a real or -inf. Uma abordagem eh definir uma sequencia t_n que convirja para 0 e satisfaca a t_n 0 para todo n. Definindo-se agora g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n), verificamos que cada g_n eh continua e que g_n = f'. Para intervalos do tipo (-oo, a) a abordagem eh similar. Um caso um pouco mais sutil sao os intervalos da forma (a,b), com a e b reais. Admitindo-se que f tenha limite L em b-, podemos supor que t_n esta em (0, b-a) para todo e definir g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n) se a x b - t_n e g_n(x) = (L - f(b -t_n))/(t_n) se b-t_n = x b. Cada g_n eh entao continua em (a,b) e, como para n suficientemente grande temos x b - t_n para todo x de (a,b), segue-se que g_n = f'. De modo similar, podemos abordar o caso em que f apresenta limite em a+. Pode entretanto ocorrer o caso em que a e b sejam reais e f nao tenha limite nem em a+ e nem em b-. Neste caso, nenhuma das duas abordagens apresentadas da certo. Me ocorreu uma outra, qual seja, definir agora t_n 1 para todo n com t_n = 1 e definir g_n por g_n(x) = (f((t_n)* x) - f(x))/((t_n - 1)*x) para todo x0 de (a,b). Se 0 nao estiver em (a,b) esta abordagem da certo, pois as g_n sao continuas e a sequencia (g_n) converge para f'. Mas se 0 estiver em (a,b) nao funciona para x =0, nem mesmo se admitirmos que f' eh continua em x =0. Nao dah para definir f(0) de modo a garantir que as g_n sejam sempre continuas em (a,b). Alem disto, de modo geral (g_n(0)) nao converge para f'(0). Assim, faltou um arremate final, talvez alguem possa dar uma sugestao. Uma conclusao interessante deste teorema eh que o conjunto das descontinuidades de f' em I eh magro, segundo a classificacao de Baire (eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos fechados com interior vazio). Logo, o conjunto das continuidades eh denso em (a, b), o que significa que derivadas nunca sao muito descontinuas. Mas isto nao siginfica que o conjunto das descontinuidades tenha medida nula Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dertivada como limite de uma seq. de funcoes continuas
Bom, vou tentar dar uma soluç~ao para este problema. Se você tem (a, +oo) ou (-oo, a), está bom, certo? Agora, você quer algo que seja suficiente em (a, b). Se você realmente se permite (a, b) aberto, com a e b finitos, eu acho que você faz assim: Estou supondo b-a 2, mas tudo pode ser escalado suficientemente (p.ex., começando mais longe no n) Primeiro, pra cada n, trunque f nos pontos a+1/n e b-1/n, e prolongue linearmente até a e b, seguindo a inclinaç~ao que você quiser, gerando f_n. Daí, defina g_n(x) = 3n( f_n(x+1/3n) - f(x) ) (o limite fundamental com 1/3n). Repare que g_n( (a+1/3n)+ ) está definido, como limite de constantes, assim como para g_n( (b-2/3n)- ). Finalmente, prolongue constantemente a funç~ao no resto do intervalo (a, a+1/3n) e (b-2/3n, b). Repare que g_n é contínua, e que, para todo x pertencente a (a, b) temos que, em algum momento (= para n suficientemente grande), n~ao teremos truncado em volta da bola de raio 1/3n em volta de x, o que diz que, a partir daí, SE A DERIVADA EM x EXISTIR, g_n(x) - f'(x). (na verdade, basta lateral à direita, que é o que estamos calculando) Acho que é isso. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/2/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu estou tentando demonstrar a seguinte afirmacao, mas encontrei dificuldade em alguns casos particulares. Se f eh dervavel em um intervalo aberto I, entao f' eh dada pelo limite de uma sequencia de funcoes continuas em I. Inicialmente, suponhamos que I seja da forma (a, oo), com a real or -inf. Uma abordagem eh definir uma sequencia t_n que convirja para 0 e satisfaca a t_n 0 para todo n. Definindo-se agora g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n), verificamos que cada g_n eh continua e que g_n = f'. Para intervalos do tipo (-oo, a) a abordagem eh similar. Um caso um pouco mais sutil sao os intervalos da forma (a,b), com a e b reais. Admitindo-se que f tenha limite L em b-, podemos supor que t_n esta em (0, b-a) para todo e definir g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n) se a x b - t_n e g_n(x) = (L - f(b -t_n))/(t_n) se b-t_n = x b. Cada g_n eh entao continua em (a,b) e, como para n suficientemente grande temos x b - t_n para todo x de (a,b), segue-se que g_n = f'. De modo similar, podemos abordar o caso em que f apresenta limite em a+. Pode entretanto ocorrer o caso em que a e b sejam reais e f nao tenha limite nem em a+ e nem em b-. Neste caso, nenhuma das duas abordagens apresentadas da certo. Me ocorreu uma outra, qual seja, definir agora t_n 1 para todo n com t_n = 1 e definir g_n por g_n(x) = (f((t_n)* x) - f(x))/((t_n - 1)*x) para todo x0 de (a,b). Se 0 nao estiver em (a,b) esta abordagem da certo, pois as g_n sao continuas e a sequencia (g_n) converge para f'. Mas se 0 estiver em (a,b) nao funciona para x =0, nem mesmo se admitirmos que f' eh continua em x =0. Nao dah para definir f(0) de modo a garantir que as g_n sejam sempre continuas em (a,b). Alem disto, de modo geral (g_n(0)) nao converge para f'(0). Assim, faltou um arremate final, talvez alguem possa dar uma sugestao. Uma conclusao interessante deste teorema eh que o conjunto das descontinuidades de f' em I eh magro, segundo a classificacao de Baire (eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos fechados com interior vazio). Logo, o conjunto das continuidades eh denso em (a, b), o que significa que derivadas nunca sao muito descontinuas. Mas isto nao siginfica que o conjunto das descontinuidades tenha medida nula Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dertivada como limite de uma seq. de funcoes continuas
Com risco de chegar dobrado, vou tentar mandar de novo (deu um erro aqui, mas sei la) Bom, vou tentar dar uma soluç~ao para este problema. Se você tem (a, +oo) ou (-oo, a), está bom, certo? Agora, você quer algo que seja suficiente em (a, b). Se você realmente se permite (a, b) aberto, com a e b finitos, eu acho que você faz assim: Estou supondo b-a 2, mas tudo pode ser escalado suficientemente (p.ex., começando mais longe no n) Primeiro, pra cada n, trunque f nos pontos a+1/n e b-1/n, e prolongue linearmente até a e b, seguindo a inclinaç~ao que você quiser, gerando f_n. Daí, defina g_n(x) = 3n( f_n(x+1/3n) - f(x) ) (o limite fundamental com 1/3n). Repare que g_n( (a+1/3n)+ ) está definido, como limite de constantes, assim como para g_n( (b-2/3n)- ). Finalmente, prolongue constantemente a funç~ao no resto do intervalo (a, a+1/3n) e (b-2/3n, b). Repare que g_n é contínua, e que, para todo x pertencente a (a, b) temos que, em algum momento (= para n suficientemente grande), n~ao teremos truncado em volta da bola de raio 1/3n em volta de x, o que diz que, a partir daí, SE A DERIVADA EM x EXISTIR, g_n(x) - f'(x). (na verdade, basta lateral à direita, que é o que estamos calculando) Acho que é isso. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/2/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu estou tentando demonstrar a seguinte afirmacao, mas encontrei dificuldade em alguns casos particulares. Se f eh dervavel em um intervalo aberto I, entao f' eh dada pelo limite de uma sequencia de funcoes continuas em I. Inicialmente, suponhamos que I seja da forma (a, oo), com a real or -inf. Uma abordagem eh definir uma sequencia t_n que convirja para 0 e satisfaca a t_n 0 para todo n. Definindo-se agora g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n), verificamos que cada g_n eh continua e que g_n = f'. Para intervalos do tipo (-oo, a) a abordagem eh similar. Um caso um pouco mais sutil sao os intervalos da forma (a,b), com a e b reais. Admitindo-se que f tenha limite L em b-, podemos supor que t_n esta em (0, b-a) para todo e definir g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n) se a x b - t_n e g_n(x) = (L - f(b -t_n))/(t_n) se b-t_n = x b. Cada g_n eh entao continua em (a,b) e, como para n suficientemente grande temos x b - t_n para todo x de (a,b), segue-se que g_n = f'. De modo similar, podemos abordar o caso em que f apresenta limite em a+. Pode entretanto ocorrer o caso em que a e b sejam reais e f nao tenha limite nem em a+ e nem em b-. Neste caso, nenhuma das duas abordagens apresentadas da certo. Me ocorreu uma outra, qual seja, definir agora t_n 1 para todo n com t_n = 1 e definir g_n por g_n(x) = (f((t_n)* x) - f(x))/((t_n - 1)*x) para todo x0 de (a,b). Se 0 nao estiver em (a,b) esta abordagem da certo, pois as g_n sao continuas e a sequencia (g_n) converge para f'. Mas se 0 estiver em (a,b) nao funciona para x =0, nem mesmo se admitirmos que f' eh continua em x =0. Nao dah para definir f(0) de modo a garantir que as g_n sejam sempre continuas em (a,b). Alem disto, de modo geral (g_n(0)) nao converge para f'(0). Assim, faltou um arremate final, talvez alguem possa dar uma sugestao. Uma conclusao interessante deste teorema eh que o conjunto das descontinuidades de f' em I eh magro, segundo a classificacao de Baire (eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos fechados com interior vazio). Logo, o conjunto das continuidades eh denso em (a, b), o que significa que derivadas nunca sao muito descontinuas. Mas isto nao siginfica que o conjunto das descontinuidades tenha medida nula Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
