Oi, Kleber,
Se eu entendà o que você perguntou você quer saber a quantidade total
de sÃmbolos usados para escrever de 1 até 10^n -1 , é isto?
Por exemplo (se eu entendi...), para escrever de 1 a 99 no nosso
sistema decimal usual, é necessario usar 9 sÃmbolos para os números
de (1 a 9), mais 180 sÃmbolos para escrever de 10 a 99 (que
corresponde a 2 simbolos para cada um dos 90 números), etc:
Se minha interpretação esta correta, vamos lá:
- Decimal usual
Qde = (10 - 1) + 2* (100 - 10) + 3 * (1000 - 100) + ... + n [10^n - 10^(n-1) ]
Qde = n.10^n - [ 1 + 10 + 100 + 1000 + ...+ 10^(n-1) ] (note a PG)
Qde = n.10^n - (10^n - 1)/9
EgÃpcio
Suponha, por exemplo, que você escreveu os números de 1 a 99 e que
usou até ai X sÃmbolos. Para escrever os números de 101 a 999
precisamos "unir" as escritas destes 99 números números com:
- 1 sÃmbolo de 'centena' para escrever os números de 101 a 199 (falta o 100);
- 2 sÃmbolos de 'centena' para escrever os números de 201 a 299 (falta o 200);
- 3 sÃmbolos de 'centena' para escrever os números de 301 a 399
(falta o 300)...
...
- 9 sÃmbolos de 'centena' para escrever os números de 901 a 999;
Mas ficaram faltando o 100, 200, ... e o 900, o que exige um total
(1+2+...+9) sÃmbolos de centena, ou seja, 45 sÃmbolos a mais.
Então, no total, para escrevermos os números de 100 a 999 usamos 9X
+ 45 sÃmbolos !
De uma maneira geral (perceba que o raciocÃnio anterior se mantém),
chamando de Q(n) a quantidade de sÃmbolos para escrever os numeros de
1 a 10^n - 1 usaremos 9 vezes esta quantidade para completar a
escrita de 10^n até 10^(n+1) -1 acrescidos de 1+2+3+...+9 = 45 sÃmbolos.
Assim:
Q(n+1) = Q(n) + 9 Q(n) + 45 , ou seja, Q(n+1) = 10.Q(n) + 45 e
obviamente Q(1) = 45 (1 pauzinho mais 2 pauzinhos, etc)
Esta recorrência é clássica (uma progressão
aritmética-geométrica). Logo, Q(n) = 5(10^n - 1)
Espero não ter me distraÃdo...
Abraços,
Nehab
PS: Possivelmente para o caso egÃpcio n é no maximo 6 pois não
conheço sÃmbolo maior que 1 milhão neste sistema de numeração.
At 12:00 12/9/2007, you wrote:
Considere o sistema de numeração por agrupamento aditivo egÃpicio e
o sistema de numeração decimal indo-arábico.
Para cada n pertencente aos naturais, determine expressões para as
quantidades de sÃmbolos necessários para expressar todos os números
naturais menores que 10^n em cada um dos sistemas.
--
Kleber B. Bastos