Re: [obm-l] polinômio divisor de zero
Oi, Domingos
Domingos Jr. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
Sejam p(x) e q(x) em R[x] tais que pq = 0. Chame d(f) = grau(f). Suponha que
d(p), d(q) 0 e que para todos p', q' não-nulos em R[x] com d(p')
d(p) e d(q') d(q) tenhamos
p' q !=0 e p q' != 0.
Seja p(x) = a_0 + ... + a_n x^n e q(x) = b_0 + ... + b_m x^m
Pelo raciocínio que eu empreguei na outra mensagem, verificamos que a_i
b_0^ = 0 para todo i.
Se b_0^k != 0 para todo k então b_0^ p = 0, o que contraria a hipótese.
Seja k o maior inteiro tal que b_0^k != 0. Se b_0^k q = 0 então também
caímos em contradição, mas
b_0^k q = b_0^ + b_0^k b_1 x + ... + b_0^k b_m x^m = x[b_0^k b_1 +
... + b_0^k b_m x^].
Chame r(x) = b_0^k b_1 + ... + b_0^k b_m x^, então
p q = 0 = p (b_0^k q) = 0 = p (x r) = 0 = x (p r) = 0 = p r = 0 =
absurdo pois d(r) d(q)!
Isso mostra que a suposição original nunca pode ser verdadeira. Boa sorte!
Ok, provando o seguinte lema nós matamos o problema:
Se p*q = 0, e existem p' com d(p') d(p) e q' com d(q') d(q) tais que
p'*q = 0 e p'*q' = 0, onde nenhum polinômio em questão é nulo, então existe
q'' não nulo com d(q'') d(q) tal que p*q'' = 0.
Observe que isto seria a extensão imediata da sua proposição (as hipóteses
seguem diretamente dela) para mostrar que é possível baixar o grau tanto
para q quando para p. Daí era só aplicar o resultado sucessivamente até
baixar o grau a zero e obter b em R\{ 0 } tal que p*b = 0.
Mas ainda não consegui provar isso.
[]s,
Daniel
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] polinômio divisor de zero
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Alguém pode ajudar?
Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é
um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b 0 em R tal que
b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m.
Consegui um resultado que talvez nos leve a resposta, mas estou sem
tempo pra tentar fechar (...sempre assim!).
Sejam p(x) e q(x) em R[x] tais que pq = 0. Chame d(f) = grau(f). Suponha que
d(p), d(q) 0 e que para todos p', q' não-nulos em R[x] com d(p')
d(p) e d(q') d(q) tenhamos
p' q !=0 e p q' != 0.
Seja p(x) = a_0 + ... + a_n x^n e q(x) = b_0 + ... + b_m x^m
Pelo raciocínio que eu empreguei na outra mensagem, verificamos que a_i
b_0^{i+1} = 0 para todo i.
Se b_0^k != 0 para todo k então b_0^{n+1} p = 0, o que contraria a hipótese.
Seja k o maior inteiro tal que b_0^k != 0. Se b_0^k q = 0 então também
caímos em contradição, mas
b_0^k q = b_0^{k+1} + b_0^k b_1 x + ... + b_0^k b_m x^m = x[b_0^k b_1 +
... + b_0^k b_m x^{m-1}].
Chame r(x) = b_0^k b_1 + ... + b_0^k b_m x^{m-1}, então
p q = 0 = p (b_0^k q) = 0 = p (x r) = 0 = x (p r) = 0 = p r = 0 =
absurdo pois d(r) d(q)!
Isso mostra que a suposição original nunca pode ser verdadeira. Boa sorte!
[ ]'s
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Re: [obm-l] polinômio divisor de zero
[EMAIL PROTECTED] wrote: O problema é que podemos ter b_i^k = 0, não? tem razão... ainda não sei resolver o problema = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] polinômio divisor de zero
Alguém pode ajudar? Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b 0 em R tal que b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] polinômio divisor de zero
loi gente, me desculpem o desconhecimentoo q é um polinômio divisor de zero? tipo, o q significa isso? brigada Kellem - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, January 16, 2005 12:40 PM Subject: [obm-l] polinômio divisor de zero Alguém pode ajudar? Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b 0 em R tal que b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio divisor de zero
ele vezes outro polinomio diferente de zero é igual a zero.Aplique identidade de polinomio que resolve. --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: loi gente, me desculpem o desconhecimentoo q é um polinômio divisor de zero? tipo, o q significa isso? brigada Kellem - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, January 16, 2005 12:40 PM Subject: [obm-l] polinômio divisor de zero Alguém pode ajudar? Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b 0 em R tal que b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio divisor de zero
Oi, Se f(x) é divisor de zero então para algum p(x) não nulo tem-se f(x)*p(x) = 0, e não para TODO p(x) tem-se f(x)*p(x) = 0. Exemplo: a em R tal que a seja divisor de zero, f(x) = a + a*x. Se R não contém elementos nilpotentes, então a^2 0, o que implica f(x)*f(x) 0 mesmo sendo f(x) divisor de zero. Por isso não me parece tão trivial assim como vc falou, mas pode ser que eu esteja enganado... Em todo caso, continuo sem saber resolver! f(X) = a_0 + ... + a_m*X^m, g(X) = c_0 + ... + c_k*X^k, onde g, f não nulos. (f*g)(X) = r_0 + ... + r_(m+k)*X^(m+k) = 0, ou seja, 0 = r_i = a_0*c_i + a_1*c_(i - 1) + ... + a_i*c_0 para todo i. Tá, mas como a partir disso como exibir um ÚNICO b não nulo tal que b*a_i = 0 para todo i? []s, Daniel Chicao Valadares ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: ele vezes outro polinomio diferente de zero é igual a zero.Aplique identidade de polinomio que resolve. Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b 0 em R tal que b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinômio divisor de zero
[EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém pode ajudar? Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b 0 em R tal que b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m. seja b_0 + ... + b_n X^n tal que (1)... (a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m)(b_0 + ... + b_n X^n) = 0 então a_0*b_0 = 0 a_0 b_1 + a_1 b_0 = 0, mas a_0 b_0 b_1 + a_1 b_0^2 = a_1 b_0^2 = 0 a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 = 0, mas a_0 b_0^2 b_2 + a_1 b_0^2 b_1 + a_2 b_0^3 = 0 = a_2 b_0^3 = 0 temos que b_0^3 multiplicado por a_0, a_1 e a_2 resulta em 0. ... E por aí vai, entendeu? A idéia é trabalhar com os polinômios nos a_i's e b_i's respectivos a cada coeficiente do produto (1), multiplicando esses polinômios por uma potência adequada de b_0 cancelamos todos exceto o termo que inclue um novo a_i. Claro que uma prova formal exige o uso de indução finita, mas isso eu deixo com você. [ ]'s PS: tem uma pequena falha de argumentação, tente advinhar qual é... vou dar um espaço pra você corrigir minha prova... notou que b_0 pode ser 0? bem, nesse caso tome o primeiro b_i não nulo e aplique a mesma idéia. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinômio divisor de zero
O problema é que podemos ter b_i^k = 0, não? Domingos Jr. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém pode ajudar? Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b 0 em R tal que b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m. seja b_0 + ... + b_n X^n tal que (1)... (a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m)(b_0 + ... + b_n X^n) = 0 então a_0*b_0 = 0 a_0 b_1 + a_1 b_0 = 0, mas a_0 b_0 b_1 + a_1 b_0^2 = a_1 b_0^2 = 0 a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 = 0, mas a_0 b_0^2 b_2 + a_1 b_0^2 b_1 + a_2 b_0^3 = 0 = a_2 b_0^3 = 0 temos que b_0^3 multiplicado por a_0, a_1 e a_2 resulta em 0. ... E por aí vai, entendeu? A idéia é trabalhar com os polinômios nos a_i's e b_i's respectivos a cada coeficiente do produto (1), multiplicando esses polinômios por uma potência adequada de b_0 cancelamos todos exceto o termo que inclue um novo a_i. Claro que uma prova formal exige o uso de indução finita, mas isso eu deixo com você. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
