[obm-l] trigo (essa eh f**!)
prove a identidade abaixo, sabendo que os arcos estao em pa de razao r:
cos(a_1) + cos(a_2) + cos(a_3) +... + cos(a_n) = {cos[(a_1/2 +
a_n/2)]*sen(nr/2)}/sen(r/2)
valeu e bom domingo pra vcs!
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Re: [obm-l] trigo (essa eh f**!)
Questao classica, jah caiu igual no IME.
seja y=cisx e a=cisz, com cisx= cosx + isenxS= a+ay+ay²+ay³+...+ay^(n-1) =a(y^n -1)/(y-1) = a(cosnx -1 +isen(nx))/(cosx -1 +isenx)como cosx -1 = -2(sen(x/2))² e senx=2sen(x/2)cos(x/2)S=a[-2(sen(nx/2))²+2isen(nx/2)cos(nx/2)]/[-2(sen(x/2))²+2isen(x/2)cos(x/2)
S=a[(2isen(nx/2))(cos(nx/2) + isen(nx/2))]/[(2isen(x/2))(cos(x/2) + isen(x/2))]S=cisz[sen(nx/2)cis(nx/2)]/[sen(x/2)cis(x/2)]=sen(nx/2)cis[nx/2 +z -x/2]/sen(x/2)S=sen(nx/2)cis[((n-1)x/2 +z]/sen(x/2)Note que a soma dos cossenos igual à parte REAL da soma dos (cis) logo, cos(a_1) + cos(a_1 +r) + cos(a_1 +2r) + ... + cos(a_1 +(n-1)r)=sen(nr/2)cos[((n-1)r/2 +a_1]/sen(r/2)
Logo, como a_n=a_1 + (n-1)r , a_1+ (n-1)r/2 = (a_1 + a_n)/2
cos(a_1) + cos(a_1 +r) + cos(a_1 +2r) + ... + cos(a_1 +(n-1)r)=sen(nr/2)cos[(a_1 + a_n)/2]/sen(r/2)
c.q.d.
Tambem dá uma outra solução.. um pouco mais simples, e nao menos elegante.. eh so multiplicar a soma de cossenos por sen(r/2) em cima e em baixo.. usar a transformacao de produto em soma.. e manipular um pouco.. que tambem chega à solucao.
Renato Lira.
On 11/6/05, Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED] wrote:
prove a identidade abaixo, sabendo que os arcos estao em pa de razao r:cos(a_1) + cos(a_2) + cos(a_3) +... + cos(a_n) = {cos[(a_1/2 +
a_n/2)]*sen(nr/2)}/sen(r/2)valeu e bom domingo pra vcs!_MSN Messenger: converse online com seus amigos .
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Re: [obm-l] trigo (essa eh f**!)
Acho que vc pode fazer o seguinte: Chame o primeiro membro de Y , por exemplo, e depois multiplique tudo por 2sen(r/2), lembre de que a_2 = a_1 + r, a_3= a_1 + 2r,, Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED] escreveu:
prove a identidade abaixo, sabendo que os arcos estao em pa de razao r:cos(a_1) + cos(a_2) + cos(a_3) +... + cos(a_n) = {cos[(a_1/2 + a_n/2)]*sen(nr/2)}/sen(r/2)valeu e bom domingo pra vcs!_MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
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Re: [obm-l] trigo (essa eh f**!)
O objetivo é transformar a soma do primeiro membro numa soma telescópica.Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED] escreveu:
prove a identidade abaixo, sabendo que os arcos estao em pa de razao r:cos(a_1) + cos(a_2) + cos(a_3) +... + cos(a_n) = {cos[(a_1/2 + a_n/2)]*sen(nr/2)}/sen(r/2)valeu e bom domingo pra vcs!_MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
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