[obm-l] IV Olimpíada De Maio - octógono
Olá, pessoal ! O chão do pátio tem desenhado um octógono regular. Emiliano escreve nos vértices deste os números de 1 a 8 em qualquer ordem. Deixa uma pedra no ponto 1. Caminha em direção ao ponto 2 e, havendo percorrido 1/2 do caminho, se detém e deixa a segunda pedra. Daí caminha em direção ao ponto 3 e, havendo percorrido 1/3 do caminho, se detém e deixa a terceira pedra. Daí caminha em direção ao ponto 4 e, havendo percorrido 1/4 do caminho, se detém e deixa a quarta pedra. Deste modo segue até que, depois de deixar a sétima pedra, caminha em direção ao ponto 8, e havendo percorrido 1/8 do caminho, deixa a oitava pedra. A quantidade de pedras que ficarem no centro do octógono depende da ordem em que ele escreveu os números nos vértices. Qual é a maior quantidade de pedras que podem ficar no centro? []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
Re: Octógono
Oi, Marcelo. Minha dica (complete os pontinhos): Os triângulos APE, BPF, CPG e DPH têm algo especial, não? Afinal, AE, BF, CG e DH são diâmetros, então ...e portanto PA^2+PD^2 = ... e PB^2+PF^2=... e... e... Voilá! :) Abraço, Ralph Marcelo Souza wrote: E aê, galera! Será que alguém pode resolver este problema para mim? 1. Um octógono regular ABCDEFGH está inscrito num círculo de raio 1. P é um ponto arbitrário no menor arco FG. Calcule o valor de: PA^2 + PB^2 + PC^2 ++ PH^2 Obrigado Abraços Marcelo
Octógono
E aê, galera! Será que alguém pode resolver este problema para mim? 1. Um octógono regular ABCDEFGH está inscrito num círculo de raio 1. P é um ponto arbitrário no menor arco FG. Calcule o valor de: PA^2 + PB^2 + PC^2 ++ PH^2 Obrigado Abraços Marcelo Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
RES: Octógono
Tente fazer o problema por trigonometria. Chame de x o angulo que OP (onde O é o centro do circulo) forma com OG por exemplo. Desse jeito voce consegue calcular quanto vale PG em funcao de sen(x/2). Mas aí, o angulo entre OP e OH será x + 360/8 = x+45. Portanto voce também consegue descobrir quanto vale PH em função de sen(x/2 +45). Analogamente, voce consegue calcular PA, PB, PC, PD, PE, PF e obviamente, consegue tambem calcular os seus quadrados. Aí voce tem dois caminhos a seguir. Nesse seu caso particular de um octógono, voce pode ir calculando tudo no braço mesmo e calcular quanto vale a soma dos quadrados (que a princípio pode ser dada em função de x). Para tratar um caso geral, voce pode transformar cada sen^2 num cos usando a expressão cosx = 1 - 2sen^2 (x/2). Aí o problema passa a ser achar uma expressão que simplifique algo do tipo cosa + cos(a+t) + cos(a+2t) + ... + cos(a+nt). Isso voce pode fazer usando numeros complexos ou tentando multiplicar e dividir a soma por algum termo de modo a torna-la "cancelável", ou telescópica como se diz (nao é muito facil). Desculpe pela falta de detalhes... Qualquer duvida pergunte. Abraços, Marcio -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Marcelo Souza Enviada em: Sábado, 20 de Maio de 2000 16:29 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Octógono E aê, galera! Será que alguém pode resolver este problema para mim? 1. Um octógono regular ABCDEFGH está inscrito num círculo de raio 1. P é um ponto arbitrário no menor arco FG. Calcule o valor de: PA^2 + PB^2 + PC^2 ++ PH^2 Obrigado Abraços Marcelo Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
