RE: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
Ola Fabiola, Prof da Fabiola e carissimo Ralph,
Vou fazer um esboço de prova aqui. Considere os triângulos OPiPi+1 e OQiQi+1.
Como as areas são iguais e PiPi+1 e igual a QiQi+1 e, além disso, PiPi+1 é
paralelo a QiQi+1 então as distancias OP ( de O ate PiPi+1) e OQ ( de O até
QiQi+1 ) são iguais, vale dizer :
1) QiQi+1 está na reta onde esta PiPi+1 ou2) QiQi+1 está na reta diametralmente
oposta a reta que contem PiPi+1. Vou aqui esquecer o caso 2) que tera um
raciocinio identico.Consideremos então o caso 1. Eu afirmo que QiQi+1 coincide
com PiPi+1 ! Por que ? Porque se não coincidirem traçamos Qi+1Qi+2 paralelo a
Pi+1Pi+2 e a distancia de O a Qi+1Qi+2 sera diferente da distancia de O a
Pi+1Pi+2 e os triangulos necessariamente deverão ter areas diferentes ...
absurdo !
Assim, QiQi+1 coincide com PiPi+1. E como ste raciocinio vale para qualquer
i=1...nentão segue que os poligonos são congruentes.
Penso que é so aperfeiçoar esta linha de raciocinio qu o problema sai fácil
UM abração a todos !
Date: Mon, 8 Jun 2015 21:03:00 -0300
Subject: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola a todos.
Eu e minha aluna de Mestrado Fabiola encontramos um problema bem facil de
enunciar que esclareceria um ponto da dissertacao de mestrado dela... No
entanto, a gente soh encontrou umas solucoes bem complicadas na literatura, e
mesmo assim parecem ser apenas para alguns casos particulares simetricos...
Entao coloco aqui -- quem tiver uma solucao elegante ganha um agradecimento na
dissertacao! :) :)
(Eu pensei ateh em sugerir esse problema para alguma OBM, mas como ainda nao
sei resolver e acabei mostrando a alguns alunos, vou soltar logo ele aqui.)
Sao dados dois poligonos convexos P1P2...Pn e Q1Q2...Qn (onde n4) contendo a
origem O em seu interior. Sabe-se que:-- Eles tem lados respectivamente
paralelos (isto eh, PiP_{i+1} // QiQ_{i+1} para i=1,2,...,n, indices modulo
n);-- Triangulos com vertice em O e um lado do poligono tem areas
respectivamente iguais (isto eh, Area(OPiP_{i+1}) = Area(OQiQ_{i+1}) para
i=1,2,...n, indices modulo n).Pergunta-se: os poligonos tem que ser
congruentes?
Quem quiser brincar, vide o Geogebra anexo que ilustra o caso n=6 (fiz uma
copia de Q longe da origem para facilitar a visualizacao -- a origem para Q
eh O_1). Pode brincar como quiser com os Q's, e com P_1 -- os outros pontos sao
calculados para satisfazer as condicoes acima... Mas alguem consegue fazer o
poligono P fechar (isto eh, P1=P7) sem que ele seja congruente ao Q (mas
mantendo ambos convexos e mantendo a origem O dentro de P?)
Nota: se n=4, dois paralelogramos distintos de mesma area centrados na origem
sao contra-exemplo!
Abraco, Ralph.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
2015-06-09 19:54 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Oi, Paulo. Mas aqui que estah o problema -- nao eh dado que PiPi+1 e igual a QiQi+1, soh que sao paralelos... :) Oi Ralph, Paulo e colegas da lista! Primeiro, um pedido de clemência: eu não tive muito tempo para pensar além de ler os emails, e escrever este daqui ;-). Dado que existe um contra-exemplo para N=4, e que você dá uma condição a mais para cada novo lado, eu chuto (contando parâmetros, se você preferir) que sempre haverá contra-exemplos para cada N. O problema é verificar as condições de fechar o polígono... Para isso, eu gostaria de pensar no seu problema como uma questão de descobrir os parâmetros (pontos da reta real) da aplicação de Schwarz-Christoffel. Os expoentes da fórmula estão fixos (já que eles determinam os ângulos do problema, que são dados pelo primeiro polígono). Mas (curiosamente) o problema dá exatamente N dados reais (as N áreas dos triângulos) e o problema requer N+2 parâmetros (os N pontos reais e um ponto no interior - que conta por 2 - que corresponde à origem O). Eu acho que eu estou esquecendo de cancelar alguma simetria, provavelmente uma translação simultânea de todos os pontos na direção real. Isso dá N+1 parâmetros. Espero que eu não tenha adivinhado o problema original ;-) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
Oi, Paulo.
Mas aqui que estah o problema -- nao eh dado que PiPi+1 e igual a QiQi+1,
soh que sao paralelos... :)
Abraco, Ralph.
2015-06-09 16:31 GMT-03:00 Paulo Santa Rita paulo.santar...@live.com:
Ola Fabiola, Prof da Fabiola e carissimo Ralph,
Vou fazer um esboço de prova aqui. Considere os triângulos OPiPi+1 e
OQiQi+1. Como as areas são iguais e PiPi+1 e igual a QiQi+1 e, além disso,
PiPi+1 é paralelo a QiQi+1 então as distancias OP ( de O ate PiPi+1) e OQ (
de O até QiQi+1 ) são iguais, vale dizer :
1) QiQi+1 está na reta onde esta PiPi+1 ou
2) QiQi+1 está na reta diametralmente oposta a reta que contem PiPi+1.
Vou aqui esquecer o caso 2) que tera um raciocinio identico.Consideremos
então o caso 1. Eu afirmo que QiQi+1 coincide com PiPi+1 ! Por que ? Porque
se não coincidirem traçamos Qi+1Qi+2 paralelo a Pi+1Pi+2 e a distancia de O
a Qi+1Qi+2 sera diferente da distancia de O a Pi+1Pi+2 e os triangulos
necessariamente deverão ter areas diferentes ... absurdo !
Assim, QiQi+1 coincide com PiPi+1. E como ste raciocinio vale para
qualquer i=1...n
então segue que os poligonos são congruentes.
Penso que é so aperfeiçoar esta linha de raciocinio qu o problema sai fácil
UM abração a todos !
--
Date: Mon, 8 Jun 2015 21:03:00 -0300
Subject: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola a todos.
Eu e minha aluna de Mestrado Fabiola encontramos um problema bem facil de
enunciar que esclareceria um ponto da dissertacao de mestrado dela... No
entanto, a gente soh encontrou umas solucoes bem complicadas na literatura,
e mesmo assim parecem ser apenas para alguns casos particulares
simetricos... Entao coloco aqui -- quem tiver uma solucao elegante ganha um
agradecimento na dissertacao! :) :)
(Eu pensei ateh em sugerir esse problema para alguma OBM, mas como ainda
nao sei resolver e acabei mostrando a alguns alunos, vou soltar logo ele
aqui.)
Sao dados dois poligonos convexos P1P2...Pn e Q1Q2...Qn (onde n4)
contendo a origem O em seu interior. Sabe-se que:
-- Eles tem lados respectivamente paralelos (isto eh, PiP_{i+1} //
QiQ_{i+1} para i=1,2,...,n, indices modulo n);
-- Triangulos com vertice em O e um lado do poligono tem areas
respectivamente iguais (isto eh, Area(OPiP_{i+1}) = Area(OQiQ_{i+1}) para
i=1,2,...n, indices modulo n).
Pergunta-se: os poligonos tem que ser congruentes?
Quem quiser brincar, vide o Geogebra anexo que ilustra o caso n=6 (fiz uma
copia de Q longe da origem para facilitar a visualizacao -- a origem para
Q eh O_1). Pode brincar como quiser com os Q's, e com P_1 -- os outros
pontos sao calculados para satisfazer as condicoes acima... Mas alguem
consegue fazer o poligono P fechar (isto eh, P1=P7) sem que ele seja
congruente ao Q (mas mantendo ambos convexos e mantendo a origem O dentro
de P?)
Nota: se n=4, dois paralelogramos distintos de mesma area centrados na
origem sao contra-exemplo!
Abraco, Ralph.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
