Sauda,c~oes, oi Bernardo,
Obrigado.
É verdade. E a segunda também tem um typo.
O revisor da época comeu mosca.
Abs,
Luís
Date: Tue, 21 Jan 2014 15:09:15 -0200
Subject: Re: [obm-l] duas identidades
From: bernardo...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
2014/1/21 Luís qed_te...@hotmail.com:
Sauda,c~oes,
Como mostrar que
x^(2n) - 1 = (x^2-1)(x^(2n)+x^(2n-1)++1)=(x^2-1) X
\prod_{k=1}^{n-1} (x^2 - 2x cos(k\pi/n) + 1)
e
x^(2n+1) = (x+1)(x^(2n)-x^(2n-1)++1)=(x+1) X
\prod_{k=1}^{n} (x^2 - 2x cos((2k-1)/(2n+1)) + 1)
Olhe para as raízes complexas desses polinômios, e faça pares de
raízes conjugadas. Vou fazer o primeiro:
x^(2n) - 1 = 0 = x = exp(2 pi i * k /2n), para k = 0, 1, 2, … (2n -
1). Separe k = 0 e k = n, que dão as raízes x = 1 e x = -1, sobram as
raízes exp( +- 2 pi i * k / 2n) para k = 1, 2, … n-1 (usando que tudo
é periódico módulo 2n !!). Seja w = exp(2 pi i / 2n), agrupando os
fatores (x - w^k) e (x - w^(-k)) temos
(x^2 - (w^k + w^(-k))x + 1) = (x^2 - 2 cos(k * 2 pi/2n) x + 1).
Obs: a fatoração intermediária está errada, deveria começar em x^(2n -
2), para dar o grau certo.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
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