Nesta questao do seno, cosseno e exponencial, um ponto que me parece interessate eh o que eh definicao e o que eh consequencia. Se definirmos as funcoes trigonometricas atraves do circulo trigonometrico, entao as series aas mesmas associadas sao expansoes de Taylor. Mas, para isso, eh preciso definir de forma precisa o conceito intuitivo de comprimento.
Definindo-se seno e cosseno pelo circulo trigonometrico, entao todas as consequencias quanto a continuidade e diferenciabilidade basiam-se na desigualdade fundamental |sen(x)| <= |x| com igualdade sse x =0, a qual eh usualmente deduzida de forma geometrica com base no Postulado de Euclides. Além disso, a definicao baseada no circulo trigonometrico nao se aplica a complexos, de modo que, em livros de analise, seno e cosseno sao definidos por series de potencias. Neste caso, o argumento da funcao perde a conotacao geometrica de angulo. Mas eh interssante observar que em Fisica (forcas, velocidade aceleracao, campo eletrico, etc) e em Engenharia eh de suma importancia que estas argumentos sejam de fato "angulos" no sentido geometrico. Quanto aa funcao exponencial, eu nao sei como defin-la para os reais sem utilizar calculo. Para racionais, podmos defini-la sem calculo, mas para extende-la oas reais e, aos complexos nao sei como fazer sem recorrer ao calculo. Desta forma, as series de Taylor da funcoes exponenciasie trigonometricas sao, numa analise mais profunda, as suas definicoes (continuam sendo seris de Taylor porque a serie de Taylor de uma funcao analitica - dada por uma serie de potencias - eh a mesma serie que a define). Existem ainda outras formas de se definirem a exponencial e as funcoes trigonometricas, as quais levam aas series de potenciad. Podemos, por exemplo, definir a funcao exponencial E como aquela tal que E'(z) = E(z) para todo complexo z e E(0) =1. Podemos tambem definir o seno S por S(0) = 0, S'(0) = 1 e S''(z) = -S(z) para todo complexo z. Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Demetrio Freitas Enviada em: quinta-feira, 22 de setembro de 2005 18:00 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em Complexos A fórmula mais importante da matemática, segundo alguns. Você pode mostrar escrevendo a série de taylor para exp(iy) e comparando com a soma das séries de cos(y) + isen(y).... --- Paulo Cesar <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Boa Tarde > Alguém sabe me dizer o porquê da igualdade: exp(iy) > = cosy + iseny ? > Abraços > PC > __________________________________________________ Faça ligações para outros computadores com o novo Yahoo! Messenger http://br.beta.messenger.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================