RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Eu realmente nao conhecia esta definicao de sigma-algebra de Borel baseada em conjuntos compactos. O livro do Rudin um classico, mas bastante avancado. Eh dificil comecar por ele. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de alencar1980Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 2:46 PMPara: obm-lCc: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel Caro Artur, Muito obrigado pela sua resposta. Achei bastante proveitosa. Tenho o livro do Bartle; odo Rudin eu não tenho mas já ouvi falar, vou procurá-lo na biblioteca para dar uma olhada nele mais a fundo. Pelo menos ele fala na sigma-algebra gerado por abertos de um espaço topológico qualquer. Pena que nenhum do material que você conhece trate do assunto da sigma-algebra de Borel gerado por conjuntos compactos. Torçopara que alguém da lista talvez possa indicar alguma referência sobre o assunto. Além disso espero que o conteúdo do site em que encontrei o material seja confiável. Mais uma vez muito obrigado.
Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
TALVEZ , esteja ocorrendo uma confusaozinha ai...na reta os compactos sao no fundo do tipo [a,b] assim a Sigma-Algebra de Borel que pode ser gerada por abertos ou fechados (em Esp. Top. gerais) tambem pode ser gerada tambem por compactos . Mas acho que isso acontece so na reta não é?Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu realmente nao conhecia esta definicao de sigma-algebra de Borel baseada em conjuntos compactos. O livro do Rudin um classico, mas bastante avancado. Eh dificil comecar por ele. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de alencar1980Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 2:46 PMPara: obm-lCc: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel Caro Artur, Muito obrigado pela sua resposta. Achei bastante proveitosa. Tenho o livro do Bartle; odo Rudin eu não tenho mas já ouvi falar, vou procurá-lo na biblioteca para dar uma olhada nele mais a fundo. Pelo menos ele fala na sigma-algebra gerado por abertos de um espaço topológico qualquer. Pena que nenhum do material que você conhece trate do assunto da sigma-algebra de Borel gerado por conjuntos compactos. Torçopara que alguém da lista talvez possa indicar alguma referência sobre o assunto. Além disso espero que o conteúdo do site em que encontrei o material seja confiável. Mais uma vez muito obrigado. __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.htmla igualdadeda sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos ocorrem quando "the topological space is a locally compact separable metric space". E não apenas na reta. O texto do site é: "In general topological spaces, even locally compact ones, the two structures are different. They are however identical whenever the topological space is a locally compact separable metric space." Estou tentando encontrar mais detalhes sobre o assunto mas até agora não consegui nada. []'s -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 26 Jan 2005 16:22:54 -0300 (ART) Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel TALVEZ , esteja ocorrendo uma confusaozinha ai...na reta os compactos sao no fundo do tipo [a,b] assim a Sigma-Algebra de Borel que pode ser gerada por abertos ou fechados (em Esp. Top. gerais) tambem pode ser gerada tambem por compactos . Mas acho que isso acontece so na reta não é? Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>wrote:Eu realmente nao conhecia esta definicao de sigma-algebra de Borel baseada em conjuntos compactos. O livro do Rudin um classico, mas bastante avancado. Eh dificil comecar por ele. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de alencar1980 Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 2:46 PM Para: obm-l Cc: obm-l Assunto: Re:RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel Caro Artur, Muito obrigado pela sua resposta. Achei bastante proveitosa. Tenho o livro do Bartle; o do Rudin eu não tenho mas já ouvi falar, vou procurá-lo na biblioteca para dar uma olhada nele mais a fundo. Pelo menos ele fala na sigma-algebra gerado por abertos de um espaço topológico qualquer. Pena que nenhum do material que você conhece trate do assunto da sigma-algebra de Borel gerado por conjuntos compactos. Torço para que alguém da lista talvez possa indicar alguma referência sobre o assunto. Além disso espero que o conteúdo do site em que encontrei o material seja confiável. Mais uma vez muito obrigado. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Bom, a reta real e os espacosR^n em geral, assim como os complexos, sao separaveis e localmente compactos.Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de alencar1980Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 5:41 PMPara: obm-lAssunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.htmla igualdadeda sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos ocorrem quando "the topological space is a locally compact separable metric space". E não apenas na reta. O texto do site é: "In general topological spaces, even locally compact ones, the two structures are different. They are however identical whenever the topological space is a locally compact separable metric space." Estou tentando encontrar mais detalhes sobre o assunto mas até agora não consegui nada. []'s -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 26 Jan 2005 16:22:54 -0300 (ART) Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel TALVEZ , esteja ocorrendo uma confusaozinha ai...na reta os compactos sao no fundo do tipo [a,b] assim a Sigma-Algebra de Borel que pode ser gerada por abertos ou fechados (em Esp. Top. gerais) tambem pode ser gerada tambem por compactos . Mas acho que isso acontece so na reta não é? Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>wrote:Eu realmente nao conhecia esta definicao de sigma-algebra de Borel baseada em conjuntos compactos. O livro do Rudin um classico, mas bastante avancado. Eh dificil comecar por ele. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de alencar1980 Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 2:46 PM Para: obm-l Cc: obm-l Assunto: Re:RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel Caro Artur, Muito obrigado pela sua resposta. Achei bastante proveitosa. Tenho o livro do Bartle; o do Rudin eu não tenho mas já ouvi falar, vou procurá-lo na biblioteca para dar uma olhada nele mais a fundo. Pelo menos ele fala na sigma-algebra gerado por abertos de um espaço topológico qualquer. Pena que nenhum do material que você conhece trate do assunto da sigma-algebra de Borel gerado por conjuntos compactos. Torço para que alguém da lista talvez possa indicar alguma referência sobre o assunto. Além disso espero que o conteúdo do site em que encontrei o material seja confiável. Mais uma vez muito obrigado. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Será que alguem ai pode confirmar isso ? Afinal sites na internet nao sao 100% confiáveis. O fato é muito interessante e pelo menos pra mim, nada natural. Na minha cabeca os compactos da topologia sao conjuntos mais peculiares do que abertos ou fechados. O fato afirmado é: vale a igualdadeda sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos em Esp. Top. Localmente Compactos e Separáveis.Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom, a reta real e os espacosR^n em geral, assim como os complexos, sao separaveis e localmente compactos.Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de alencar1980Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 5:41 PMPara: obm-lAssunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.htmla igualdadeda sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos ocorrem quando "the topological space is a locally compact separable metric space". E não apenas na reta. O texto do site é: "In general topological spaces, even locally compact ones, the two structures are different. They are however identical whenever the topological space is a locally compact separable metric space." Estou tentando encontrar mais detalhes sobre o assunto mas até agora não consegui nada. []'s Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Acho que podemos
raciocinar da seguintemaneira. Seja S um espaco
metricoseparavele localmente compacto.Por ser separavel,
S contem um conjunto D que eh denso e enumeravel. Seja (x_n) uma enumeracao dos
elementos de D. A cada x_n associemos, baseados na compacticidade localde
S, uma vizinhanca B_n cujo fecho B'_n seja compacto. O fato de D ser denso
implica que {B_n} sejauma base topologica enumeravel de S, o que,
por sua vez, implica que {B'_n} seja uma cobertura enumeravelde S composta por
conjuntos compactos.
Seja F um conjunto fechadode S. Entao, a colecao
{B'_n inter F} eh enumeravel e cobre F. Alem disto, eh composta por conjuntos
compactos, pois a interseccao de um conjunto compacto com um fechado eh
compacta.A conclusao a que chegamos e que todo conjunto fechado de S eh
dado por uma uniao enumeravel de conjuntos compactos.
Se M eh a sigma-algebra gerada em S pelos seus conjuntos
compactos, enato a definicao de sigma-algebra implica queM contem a
colecao dos fechados de S e , portanto, contem a sigma-algebra de Borel, pois
esta ultima eh tambem gerada pelos conjuntos fechados S. . Por outro lado a sigma-algebra de Borel contem a colecao dos
compactos, pois todo compacto eh fechado. Assim a colecao dos compactos, a dos
abertos e a dos fechados, todas geram a mesma sigma-algebra de
Borel.
Eu estava a ponto de
dizer que isto pode ser extendido aespacos deHausdorff, mas era um
equivoco. Em espacos nao metricos, separabilidade nao implica a existencia de
base topologica enumeravel. Mas se o espaco for Hausdorff e tiver uma base
enumeravel, acho que a conclusao eh preservada.
Este raciocinio esta
OK?
Artur
Mensagem original-De:
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de
alencar1980Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 5:41
PMPara: obm-lAssunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra
Borel
Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.htmla
igualdadeda sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por
compactos ocorrem quando "the topological space is a locally
compact separable metric space".
E não apenas na reta.
O texto do site é:
"In general topological spaces, even locally compact ones, the two
structures are different. They are however identical whenever the topological
space is a locally compact separable metric space."
.yahoo.com/messenger/
Re:RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Não sou especialista, na realidade conheço muito pouco sobre o assunto, mas a sua argumentação me pareceu bastante coerente.
Espero que alguém mais experiente possa conferir realmente sua dedução.
[]'s
-- Início da mensagem original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Data: Wed, 26 Jan 2005 19:10:26 -0200
Assunto: RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Acho que podemos raciocinar da seguinte maneira. Seja S um espaco metrico
separavel e localmente compacto. Por ser separavel, S contem um conjunto D
que eh denso e enumeravel. Seja (x_n) uma enumeracao dos elementos de D. A
cada x_n associemos, baseados na compacticidade local de S, uma vizinhanca
B_n cujo fecho B'_n seja compacto. O fato de D ser denso implica que {B_n}
seja uma base topologica enumeravel de S, o que, por sua vez, implica que
{B'_n} seja uma cobertura enumeravelde S composta por conjuntos compactos.
Seja F um conjunto fechado de S. Entao, a colecao {B'_n inter F} eh
enumeravel e cobre F. Alem disto, eh composta por conjuntos compactos, pois
a interseccao de um conjunto compacto com um fechado eh compacta. A
conclusao a que chegamos e que todo conjunto fechado de S eh dado por uma
uniao enumeravel de conjuntos compactos.
Se M eh a sigma-algebra gerada em S pelos seus conjuntos compactos, enato a
definicao de sigma-algebra implica que M contem a colecao dos fechados de S
e , portanto, contem a sigma-algebra de Borel, pois esta ultima eh tambem
gerada pelos conjuntos fechados S. . Por outro lado a sigma-algebra de
Borel contem a colecao dos compactos, pois todo compacto eh fechado. Assim a
colecao dos compactos, a dos abertos e a dos fechados, todas geram a mesma
sigma-algebra de Borel.
Eu estava a ponto de dizer que isto pode ser extendido a espacos de
Hausdorff, mas era um equivoco. Em espacos nao metricos, separabilidade nao
implica a existencia de base topologica enumeravel. Mas se o espaco for
Hausdorff e tiver uma base enumeravel, acho que a conclusao eh preservada.
Este raciocinio esta OK?
Artur
Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
alencar1980
Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 5:41 PM
Para: obm-l
Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html
a igualdade da
sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos ocorrem
quando "the topological space is a locally compact separable metric
space".
E não apenas na reta.
O texto do site é:
"In general topological spaces, even locally compact ones, the two
structures are different. They are however identical whenever the
topological space is a locally compact separable metric space."
.yahoo.com/messenger/
Re: RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel
Realmente confirmar em sites da internet é um pouco complicado, especialmente sem conhecer o autor do artigo publicado. O resultado: "Em um espaço métrico separável localmente compacto a sigma álgebra gerada pelos conj. abertos e a gerada pelos conj. compactos coincidem" me chamou bastante a atenção. Especialmente me chamou a atenção o fato do autor apresentar duas definições para a sigma álgebra de Borel: (1) menor sigma algebra gerada pelos conjuntos abertos (definição comumente encontrada nos livros) e (2) a menor sigma-álgebra gerada pelos compactos. Continuo buscando maiores referências para tal assunto. Talvez o livro: A course on Borel Sets (Graduate Text Mathematics 180) Autor: Srivastava, S. M. Editora: Springer-Verlag possa apresenter maiores detalhes sobre o assunto. []'s -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Wed, 26 Jan 2005 17:34:52 -0300 (ART) Assunto: Re: RES: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel Será que alguem ai pode confirmar isso ? Afinal sites na internet nao sao 100% confiáveis. O fato é muito interessante e pelo menos pra mim, nada natural. Na minha cabeca os compactos da topologia sao conjuntos mais peculiares do que abertos ou fechados. O fato afirmado é: vale a igualdade da sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos em Esp. Top. Localmente Compactos e Separáveis. Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Bom, a reta real e os espacos R^n em geral, assim como os complexos, sao separaveis e localmente compactos. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de alencar1980 Enviada em: Wednesday, January 26, 2005 5:41 PM Para: obm-l Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Sigma-Algebra Borel Segundo o site: http://www.e-paranoids.com/b/bo/borel_algebra.html a igualdade da sigma-algebra de borel gerada por abertos e a gerada por compactos ocorrem quando "the topological space is a locally compact separable metric space". E não apenas na reta. O texto do site é: "In general topological spaces, even locally compact ones, the two structures are different. They are however identical whenever the topological space is a locally compact separable metric space." Estou tentando encontrar mais detalhes sobre o assunto mas até agora não consegui nada. []'s - Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
