Re: Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas qual?)
OK, Nicolau. Obrigado pela sua observacao. Nao foi um erro de tecla, foi um uma especie de ato falho, por causa da apresentacao tradicional dos quaternions com i, j, k (e mais o 1, eh claro, que fazem 4). E por falar nisto, mais uma vez os complexos: assim como o corpo dos complexos eh isomorfo ao das matrizes reais 2x2 da forma (a;-b) (1a linha); (b;a) (2a linha),com a adicao e multiplicacao usuais de matrizes, os quaternions podem ser apresentados como as matrizes complexas 2x2 em que a primeira linha eh (z ; -conj(w)) e a segunda linha (w ; conj(z)) (alguem confira, pois estou citando de cabeca), e as operacoes usuais de matrizes. Como cada complexo equivale a 2 reais, olha o R^4 ahi outa vez. Interessante esta sua informacao sobre o R^8, que para mim eh novidade. JP -Mensagem original- De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 27 de Outubro de 2000 20:44 Assunto: Re: Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas qual?) On Fri, 27 Oct 2000, José Paulo Carneiro wrote: Metendo minha colher no papo entre o Jorge e o Ralph: 1) Voce pode definir quantas operacoes quiser com vetores, Jorge, mas eh claro que so levarao voce a serio se essas operacoes tiverem aplicacoes interessantes. 2) A grande (imensa!) vantagem do produto de complexos eh que ela (juntamente com a adicao vetorial) torna o plano (algebricamente) um corpo. E ja se sabe que nao eh possivel inventar multiplicacao semelhante em nenhum R^n com n2 . O maximo que se consegue em R^3 eh um "quase corpo" (um anel de divisao) em que a multiplicacao nap eh comutativa. O JP provavelmente se distraiu ou errou de tecla: quem tem estrutura de quase corpo é R^4, os quatérnios. Os quatérnios são expressões da forma a + bi + cj + dk onde a, b, c, d são reais, definimos a soma coordenada a coordenada (i.e., (a + bi + cj + dk) + (e + fi + gj + hk) = (a+e) + (b+f)i + (c+g)j + (d+h)k) e a multiplicação por i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j (assim, (a + bi + cj + dk) * (e + fi + gj + hk) = (ae - bf - cg - dh) + (af + be + ch - dg)i + (ag - bh + ce + df)j + (ah + bg - cf + de)k). R^3 pode ser interpretado como o conjunto dos quatérnios de parte real nula. Neste caso o produto escalar é menos a parte real do produto e o produto vetorial é a parte imaginária do produto. Existe um produto não associativo importante em R^8; com este produto os elementos de R^8 são chamados de octônios. Estes (1,2,4,8) são os únicos valores de n para os quais R^n admite um produto com certas propriedades legais (*acho* que são distributividade em relação à soma dos dois lados, conter uma cópia de R com as operações usuais e todo elemento não nulo ter inverso multiplicativo). O que eu sei com certeza é que R e C são os únicos R^n que são corpos e que os quatérnios são o único R^n que é um "quase corpo". []s, N.
Re: Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas qual?)
Metendo minha colher no papo entre o Jorge e o Ralph: 1) Voce pode definir quantas operacoes quiser com vetores, Jorge, mas eh claro que so levarao voce a serio se essas operacoes tiverem aplicacoes interessantes. 2) A grande (imensa!) vantagem do produto de complexos eh que ela (juntamente com a adicao vetorial) torna o plano (algebricamente) um corpo. E ja se sabe que nao eh possivel inventar multiplicacao semelhante em nenhum R^n com n2 . O maximo que se consegue em R^3 eh um "quase corpo" (um anel de divisao) em que a multiplicacao nap eh comutativa. 3) Mesmo assim, os complexos nao se dao por vencidos. O produto escalar de u por v eh a parte real do produto (complexo) : conj(u). v, enquanto o produto vetorial eh a parte imaginaria do mesmo produto conj(u).v, multiplicado pelo unitario k. JP -Mensagem original- De: Ralph Costa Teixeira [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 26 de Outubro de 2000 23:54 Assunto: Re: Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas qual?) Jorge Peixoto Morais wrote: Antes de tudo: valeu, Ralph, pela atencao aa minha pergunta; seu e-mail foi extremamente instrutivo. Agora o principal: seu último e-mail me deixou com umas duvidas (se achar inconveniente me responder, me indique um bom livro): a) pelas regras que voce definiu, parece que mesmo atuando soh nos vetores em que z=0 (ou seja, no plano xy) as regras sao totalmente diferentes das que regem o plano dos complexos! Por que? Bom, sim, esse produto cartesiano a esse produto escalar realmente não batem com o produto de números complexos quando z=0... Por quê? Bom, para dizer a verdade, não esperaria que fossem o mesmo, de fato... a2) Vendo que essas regras sao diferentes das que regem o plano de Gauss, me pergunto: de onde, entao, elas vem? b)"ixj=-j. Mas isso nao eh perpendicular ao plano determinado por i e j! Oops... Se eu digitei isto, eu errei. Era pra ser ixj=k e ixk=-j. De onde elas vem... Bom, eu não sei historicamente onde que elas surgiram... Mas eu costumo pensar assim: quando eu tento arrumar a fórmula para o ângulo entre dois vetores, a conta u1v1+u2v2+u3v3 aparace; quando eu tento achar a projecao de u na direcao de v, a conta acima tambem aparece; depois de achar um monte de lugares onde ela aparece, eu resolvi dar um nome para ela para facilitar a minha vida: o PRODUTO ESCALAR. Imagino algo semelhante para o produto cartesiano... mas o fato é que a necessidade do conceito só parece intuitiva para alguém *DEPOIS* que o conceito é bastante usado... Se alguém souber melhor, favor me ajudar aqui. :) Na minha cabeça, produto escalar é uma ferramenta para achar ângulos entre vetores, e o produto cartesiano para achar a área de seu paralelogramo. *Começa* assim, e depois você vai achando um monte de outras utilidades... Abraço, Ralph Mais uma vez, obrigado pelo trabalho de me escrever e-mails tao longos (mas com uma enorme densidade de informacao)
Re: Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas qual?)
On Fri, 27 Oct 2000, José Paulo Carneiro wrote: Metendo minha colher no papo entre o Jorge e o Ralph: 1) Voce pode definir quantas operacoes quiser com vetores, Jorge, mas eh claro que so levarao voce a serio se essas operacoes tiverem aplicacoes interessantes. 2) A grande (imensa!) vantagem do produto de complexos eh que ela (juntamente com a adicao vetorial) torna o plano (algebricamente) um corpo. E ja se sabe que nao eh possivel inventar multiplicacao semelhante em nenhum R^n com n2 . O maximo que se consegue em R^3 eh um "quase corpo" (um anel de divisao) em que a multiplicacao nap eh comutativa. O JP provavelmente se distraiu ou errou de tecla: quem tem estrutura de quase corpo é R^4, os quatérnios. Os quatérnios são expressões da forma a + bi + cj + dk onde a, b, c, d são reais, definimos a soma coordenada a coordenada (i.e., (a + bi + cj + dk) + (e + fi + gj + hk) = (a+e) + (b+f)i + (c+g)j + (d+h)k) e a multiplicação por i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j (assim, (a + bi + cj + dk) * (e + fi + gj + hk) = (ae - bf - cg - dh) + (af + be + ch - dg)i + (ag - bh + ce + df)j + (ah + bg - cf + de)k). R^3 pode ser interpretado como o conjunto dos quatérnios de parte real nula. Neste caso o produto escalar é menos a parte real do produto e o produto vetorial é a parte imaginária do produto. Existe um produto não associativo importante em R^8; com este produto os elementos de R^8 são chamados de octônios. Estes (1,2,4,8) são os únicos valores de n para os quais R^n admite um produto com certas propriedades legais (*acho* que são distributividade em relação à soma dos dois lados, conter uma cópia de R com as operações usuais e todo elemento não nulo ter inverso multiplicativo). O que eu sei com certeza é que R e C são os únicos R^n que são corpos e que os quatérnios são o único R^n que é um "quase corpo". []s, N.
Re: Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas qual?)
Jorge Peixoto Morais wrote: Antes de tudo: valeu, Ralph, pela atencao aa minha pergunta; seu e-mail foi extremamente instrutivo. Agora o principal: seu último e-mail me deixou com umas duvidas (se achar inconveniente me responder, me indique um bom livro): a) pelas regras que voce definiu, parece que mesmo atuando soh nos vetores em que z=0 (ou seja, no plano xy) as regras sao totalmente diferentes das que regem o plano dos complexos! Por que? Bom, sim, esse produto cartesiano a esse produto escalar realmente não batem com o produto de números complexos quando z=0... Por quê? Bom, para dizer a verdade, não esperaria que fossem o mesmo, de fato... a2) Vendo que essas regras sao diferentes das que regem o plano de Gauss, me pergunto: de onde, entao, elas vem? b)"ixj=-j. Mas isso nao eh perpendicular ao plano determinado por i e j! Oops... Se eu digitei isto, eu errei. Era pra ser ixj=k e ixk=-j. De onde elas vem... Bom, eu não sei historicamente onde que elas surgiram... Mas eu costumo pensar assim: quando eu tento arrumar a fórmula para o ângulo entre dois vetores, a conta u1v1+u2v2+u3v3 aparace; quando eu tento achar a projecao de u na direcao de v, a conta acima tambem aparece; depois de achar um monte de lugares onde ela aparece, eu resolvi dar um nome para ela para facilitar a minha vida: o PRODUTO ESCALAR. Imagino algo semelhante para o produto cartesiano... mas o fato é que a necessidade do conceito só parece intuitiva para alguém *DEPOIS* que o conceito é bastante usado... Se alguém souber melhor, favor me ajudar aqui. :) Na minha cabeça, produto escalar é uma ferramenta para achar ângulos entre vetores, e o produto cartesiano para achar a área de seu paralelogramo. *Começa* assim, e depois você vai achando um monte de outras utilidades... Abraço, Ralph Mais uma vez, obrigado pelo trabalho de me escrever e-mails tao longos (mas com uma enorme densidade de informacao)
