3) É um problema simples de Física que complica um pouco na Matemática.
O "truque" é começar de cima para baixo, quando verificamos que a maior
medida da
parte em balanço é 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5......em unidades do raio da moeda,
na medida
em que descemos pela pilha.
Assim, a "largura da pilha" seria dada pela soma dos primeiros termos de
uma
sucessão harmônica mais 2 (devido a moeda inicial, da base).
Para uma solução sem uso de computador, tratando-se de uma questão
olímpica de
matemática e não de uma maratona tipo ACM, podemos apenas avaliar
intervalo em
que se encontra a soma de n termos iniciais.
Uma proposta neste sentido é observar que a soma entre termos dicotômicos
tipo
S(j) = 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 +1/11 +
.......1/16) + (.....
......+ 1/j ,
é sempre maior que 1/2 (a primeira é igual).
Assim S(j) > (1/2)*ln (base2) [j] , (= logaritmo na base 2 de j).
Sendo n o número de moedas que devem ser superpostas a original, elas
devem "cobrir" uma distãncia no mínimo de 6 ( três moedas), logo , como a
primeira (superior) "cobre" 1, n = 2^(10) + 1. (esse 1 faz uma baita
diferença...).
[]s
Wilner
--- Em qua, 21/7/10, Rogério Possi Júnior <roposs...@hotmail.com> escreveu:
De: Rogério Possi Júnior <roposs...@hotmail.com>
Assunto: [obm-l] Probleminhas
Para: "Lista de Olímpiada OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 21 de Julho de 2010, 7:45
Pessoal,
Seguem 3 probleminhas para diversão:
1) Um móbile foi montado com 10 objetos de massas diferentes (1 a 10 kg) e
ficou completamente desequilibrado, como mostrado na figura abaixo:
Sabendo que a diferença de massa entre os lados de cada braço do móbile é menor
do que 4 kg, você consegue descobrir qual a massa de cada objeto?
Observação: os braços do móbile são os traços mais espessos no desenho e são 8
no total... a diferença de massa entre cada lado de cada braço não pode ser
maior que 3 kg.
2) Um garoto está no ponto P de um jardim cujo formato é o de um triângulo
equilátero. Ele deve encostar em duas cercas desse jardim e depois chegar a um
ponto Q. Supondo que o triângulo equilátero tem vértices A, B e C, que o ponto
P é o baricentro do triângulo ABC e que o ponto Q é o ponto médio entre P e A,
o menor percurso que o garoto pode fazer para sair de P, encostar na cerca BC,
depois na cerca AC e chegar ao ponto Q tem comprimento X. Qual o valor do
quadrado de X, se a distância entre P e Q mede 10 metros?
3) Uma moeda de 1 real é colocada sobre uma mesa horizontal. Sobre esta moeda é
apoiada outra moeda do mesmo valor, mas deslocada um pouco para a direita.
Sobre a segunda moeda, uma terceira moeda idêntica às outras duas é apoiada,
também com um deslocamento para a direita em relação à segunda moeda.
Quantas moedas, no mínimo, precisaremos usar para que a pilha de moedas
idênticas tenha uma largura (distância da borda esquerda da primeira moeda à
borda direita da projeção da última moeda sobre a mesa) de 4 ou mais moedas?
Sds,
Rogério
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