Bom dia!
Só uma observação.
Se usarmos de rigorismo, deveremos fazer a restrição n>0, pois, 1 não
divide um produto de uma sequência sem termos, ou seja uma sequência vazia.
Saudações,
PJMS
Em 16 de novembro de 2016 21:12, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> Obrigado Pedro José
>
> Em 16 de novembro de 2016 10:29, Pedro José <petroc...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> O fato de haver um múltiplo para cada fator do fatorial não garante a
>> divisibilidade, posto que os múltiplos não são necessariamente diferentes e
>> nem todos os pares de fatores tem mdc igual a 1.
>>
>> Se zero fizer parte da sequência, está provado. pois n! | 0 para todo n.
>>
>> Veremos agora as sequências em que o zero não faz parte.
>> O produto de uma sequência de inteiros positivos, consecutiva de a-n+1,
>> a -n+2 ... a-1, a dividido por n! é o número combinatório de a n a n.
>> C(a,n); portanto inteiro. Caso seja uma sequência de fatores negativos,
>> o produto será (-1)^n. P, onde P é o produto dos módulos dos fatores da
>> sequência, e por conseguinte também é múltiplo de n!.
>>
>> De outra forma, se fatorarmos n!
>>
>> Temos que para cada p, primo, p<= n, que o expoente, a, de p na
>> fatoração é:
>>
>> a = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... e embora a série seja infinita a
>> parir de uma dada parcela todos os termos são zero e {z] é a função parte
>> inteira de z.
>>
>> Seja Y= (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x => Y = x!/(x-n)!, com x-n+1>= 1
>>
>> Seja b o expoente da fatoração de Y, c o expoente da fatoração de x! e d
>> o expoente da fatoração de (x-n)!.
>>
>> Então, b= c-d.
>>
>> c= [x/p] + [x/p^2] + [x/p^3] + ...
>>
>> d= [(x-n)/p] + [(x-n)/p^2] + [(x-n)/p^3] + ...
>>
>> x = r mod p^w, w um inteiro positivo e p, primo e p <= n e 0<= r <p^w
>> n = s mod p^w e 0<= s <p^w
>>
>> temos que x= q1*p^w + r e n= q2*p^w+s
>>
>>
>> Então [x/p^w] = q1, [n/p^w]=q2
>>
>> [(x-n)/p^w] = [(q1-q2)*p^w+r-s] = q1-q2 se r>=s e q1-q2-1 se r<s.
>>
>> Então [x/p^w] - [(x-n)/p^w] = q2 se r>=s e q2 +1 se r<s.==> [x/p^w] -
>> [(x-n)/p^w >= [n/p^w]=q2
>>
>> Se cada parcela de a é menor ou igual que cada subtração das parcelas
>> correspondentes de c-d, temos que para todo p <= n o expoente de p na
>> fatoração de n! é menor ou igual que o expoente correspondente a p na
>> fatoração de Y.
>>
>> Se for uma sequência de termos negativos, vale a mesma observação
>> destacada acima.
>>
>> Então n! | (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x, para qualquer x.
>>
>> Saudações,~
>> PJMS
>>
>>
>> Em 4 de novembro de 2016 06:03, Guilherme Oliveira <
>> guilhermeoliveira5...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Verdade, tem isso.
>>>
>>> Talvez seja melhor mudar de estratégia.
>>> Imagine um número primo p < n. Como a sequência de n! começa em 1, só
>>> teremos o primeiro múltiplo de p na p-ésima posição. Somente por causa
>>> disso a divisão dá certo. Se kp é o maior multiplo de p menor que n,
>>> teremos pelo menos k fatores p na sequência. O mesmo raciocínio pode ser
>>> feito para p^2, p^3, .... , o que completa o número de fatores p na
>>> sequência necessários para que ela seja divisível por n!.
>>>
>>> Isso também explica porque uma sequencia p não é necessariamente
>>> divisível por outra sequência q.
>>>
>>> Em 04/11/2016 05:16, "Tássio Naia" <t...@polignu.org> escreveu:
>>>
>>>> > n! contém um de cada fator anSe pegarmos uma sequência de n inteiros,
>>>> temos a certeza de que há pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que
>>>> k<n. Isso é válido para to k que seja um fator de n!tes dele. Seja k como
>>>> um desses desses fatores (k<n). Ele terá um múltiplo a cada k inteiros
>>>> consecutivos, começando por 0.
>>>> > Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há
>>>> pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que k<n. Isso é válido para to k
>>>> que seja um fator de n!
>>>>
>>>> Mas e se k, k', com 1< k < k' <= n têm o *mesmo* múltiplo no intervalo
>>>> p, p+1, ... , p + n -1 ? (Por exemplo, k=2, k' = 4)
>>>>
>>>> 2016-11-03 22:52 GMT+00:00 Guilherme Oliveira <
>>>> guilhermeoliveira5...@gmail.com>:
>>>>
>>>>> Boa noite, Israel.
>>>>>
>>>>> n! contém um de cada fator antes dele. Seja k como um desses desses
>>>>> fatores (k<n). Ele terá um múltiplo a cada k inteiros consecutivos,
>>>>> começando por 0.
>>>>>
>>>>> Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há
>>>>> pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que k<n. Isso é válido para to
>>>>> k
>>>>> que seja um fator de n!
>>>>>
>>>>> Portanto, Essa sequência é divisível por n!
>>>>>
>>>>> Em 3 de novembro de 2016 12:59, Israel Meireles Chrisostomo <
>>>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>>>
>>>>>> Olá pessoal como posso provar que n! divide o produto de quaisquer n
>>>>>> inteiros consecutivos
>>>>>>
>>>>>> --
>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>>>> *______________________________________________________________________________________*
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>>>>> *“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho
>>>>> original.”*
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>>>>> *Albert Eistein*
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