1) Sabemos que 2^n = soma(2^(n-1) + 2^(n-2)... 2^0) + 1
2) seja n o número da pergunta de maior número de pontos (começando pela
pergunta zero!), e T o total de pontos obtidos com as respostas, de forma
que:
T = 2^n + resto, com resto positivo, na forma soma(2^(n-1) + 2^(n-2)...
2^0). Como
Pessoal
E se pensarmos mais ou menos assim:
(1) O número de diferentes combinações de casais num salão com K homens e K
mulheres será K!.
(2) Seja o casal (H1, Ma) (H2, Mb). Sabemos que se a dupla de casal é:
a-) Estável: Logo, (H1, Mb) (H2, Ma) é uma dupla Instável
b-) Instável: Logo,
Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11
patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem
participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tem somente um
homem em comum. Determine o múmero de voluntários e integrantes de uma
Pessoal
Sem querer ser chato, mas acho que jeito muito mais simples de demostrar
isso.
1- Vamos imaginar um polígono de N vértices, ordenados no sentido horário.
Considere o vértice N+1 = vértice 1
2- Agora, vamos chamar de Tn o trapézio formado pelos vértices (Xn,
Yn)(Xn+1,Yn+1)(Xn+1,0)(Xn,0).
Resposta: 2 cores
Pegue um ponto de uma região qualquer e veja quantos círculos contém este
ponto. Se for um número ímpar, pinte de verde. Se for par, de amarelo.
Prova: Basta analisar duas regiões de fronteira. São delimitadas por uma
circunferência, ou seja, uma região possui N e a outra N+1
6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas
no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4
esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as
esferas.
Não é óbvio se esta é a única configuração que satisfaz o enunciado;
dento de um cubo (era IME-95)
On Fri, Dec 27, 2002 at 06:12:27PM -0300, João Gilberto Ponciano Pereira
wrote:
6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas
no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4
esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo
Sugiro alterar o nome da lista de: OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática
para: LGE - Lista do Gabarito Errado.
-Original Message-
From: A. C. Morgado [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Sent: Wednesday, February 05, 2003 4:41 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] trigonometria
(2x^2 + x + 5)/ x=0
O numerador vai ser positivo para qualquer x. Logo, o denominador vai
determinar a desigualdade...
x positivo, a desigualdade é falsa.
x=0, indeterminado
x negativo, a desigualdade é verdadeira.
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL
2) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de
5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao
menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do
mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo.
Primeiramente podemos distribuir todas as pessoas
)
( 3,1002,1997)
...
(333,1334,1335)
e
(334, 668,2000)
(335, 667,1998)
...
(667, 999,1336)
SDS
JG
-Original Message-
From: João Gilberto Ponciano Pereira [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Sent: Thursday, February 20, 2003 3:43 PM
To: '[EMAIL PROTECTED]'
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Partição
Ops
em cada subconjuntinho
eram todas distintas:
1335 1334 1333 ... 1003 1002 1668 1667 ...
1337 1336
Além disso: 3003 - 1668 = 1335 == todos os
complementos estavam em A3.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: João Gilberto Ponciano Pereira
[EMAIL
Esta é legal... E acho que sai se fizermos uma análise geométrica do
problema...
Vamos chamar a_n = c * bn, de forma que Soma(B_n) = 1 e a_n+1 a_n.
Agora vamos imaginar um quadrado de lado 1 onde temos que encaixar os
retângulos (b1,b2), (b2,b3)...
Acho que já vi uma solução semelhante, mas
Tome uma partição QUALQUER de {1,2,...,2n} em dois conjuntos A e B com n
elementos cada. Ponha os elementos de A em ordem crescente a_1...a_n e os
de B em ordem decrescente b_1...b_n. Prove que:
|a_1-b_1| + ... + |a_n-b_n| = n^2
Acabei esquecendo de mandar a resposta, mas aqui vai ela, espero
Este é um problema interessante! Mas acho que faltou dizer que as cidades em
questão fazem parte do mesmo país, ou seja, a cidade A pertence a um país C
se existe pelo menos uma estrada que vá de A para alguma cidade pertencente
a C.
Acho que a solução é mais ou menos assim:
A pegadinha é provar
Pessoal
Não sei se foi eu que entendi errado, mas acho que o problema das aranhas é
mais simples:
1) Uma aranha tem uma meia e um sapato para cada uma de suas 8 pernas. De
quantas maneiras diferente a aranha pode colocar as meias e os sapatos,
supondo que , em cada perna, a meia tem de ser
É um problema engraçado... Intuitivamente, parece que não dá. Vamos chamar
de perímetro convexo a soma dos arcos convexos de cada pedaço recortado, e
perímetro côncavo a soma dos arcos côncavos de cada pedaço recortado.
A figura inicial tem um perímetro convexo igual a 2pi*r, e um perímetro
Tá, vai... Imprimi agora e resolvi a primeira que tá babinha
Item a: possível.
Resultados:
a 0 x 1 b
a 1 x 1 c
a 0 x 2 d
b 0 x 2 c
b 2 x 2 d
c 3 x 3 d
Item b: impossível.
Os gols sofridos de D (11 gols) está maior do que a soma de todos os gols
marcados de A, B e C juntos(10 gols)!
Outra interessante da Cone Sul:
Ex. 5:
Seja n = 3k+1, onde k é um inteiro, k=1. Constrói-se um arranjo triangular
de lado n formado por círculos de mesmo raio como o mostrado na figura para
n=7.
Determinar, para cada k, qual o maior número de círculos vermelhos tangentes
entre si.
Resposta:
Não sei se entendi direito o problema, mas acho que dá para resolver assim:
Suponha que vc conhece a solução otimizada. Vamos dar uma olhada na borda
inferior do reticulado:
Imagine que nesta borda você tenha a configuração do tipo
/ \. Neste caso, podemos inverter a segunda diagonal de forma a
Questão 1:
Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a
soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números
consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos.
100x + 10y + z = x3 + y3 + z3
e
100x + 10y + (z+1) = x3 + y3 + (z+1)3
Subtraindo uma da outra e
Acho que 2^k não abrange todas as possibilidades de conjunto. Consegui uma
configuração válida para n=12.
Vamos imaginar uma matriz nxn, onde DIA(A,B) é o dia do jogo do jogador A
versus o jogador B. Consideremos DIA(A,A) = 0, pois não faz sentido o
jogador A jogar contra si mesmo. Por
Pessoal
Sem querer ser chato, mas cheguei ao resultado de 55. O processo é um pouco
feio, mas chega lá.
De quantas maneiras podemos formar uma sequencia de oito bits(0 ou 1) de
forma que nunca apareça nesta sequencia zeros adjacentes
Seja A(n) o número de combinações dentro das regras que
Já que é assim, para a segunda:
P(x) = x3 + ax + b e b0 e P(x) possui 3 raízes reais, prove que a0
Se P(x) possui 3 raízes reais, P(x) não é estritamente crescente ou
estritamente decrescente. Logo, P'(x) terá 2 raízes reais.
P'(x) = 3x2 + a, com raízes x = (-a/3) ^.5, logo a =0.
Entretanto,
Olá, pessoal
Bem, Rogério, eu, como o prof. Nicolau, também tenho minhas dúvidas se ficou
provado que esta é a solução ótima. Acho que o principal motivo para isto é
o simples fato que no primeiro trecho, o dos 3 nanômetros, a última viagem é
feita sem que o camelo esteja 100% carregado. Ou seja,
Não sei não, hein? Intuitivamente, acho que uma altura de ~ 1/3 do diâmetro
não seria a configuração que daria chances iguais para todas as faces.
Tinha pensado assim: Imaginem que o cilindro tocou o plano. Neste momento, o
eixo está inclinado num ângulo Â, que pode variar de 0 a 360. Eu diria
Olha, não sei se burocrática seria a palavra correta, mas eu pensei em fazer
assim:
Seja o quadrilátero ABCD, de forma que o Área(ACD) Área(ABC)
Traçamos a reta r paralela a AC passando por B. Seja o ponto E a intersecção
de r com o prolongamento do lado AD. É fácil ver que Área(ABC)=Área(AEC),
Se vc considerar o 0 como natural, dá para fazer assim:
0 8 4
7 3 2
5 1 6
Mas o legal mesmo é fazer este exercício para uma matriz 20x20. Quem
advinha?
-Original Message-
From: Cloves Jr [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, March 23, 2004 4:37 PM
To: Grupo OBM
Subject: [obm-l]
Aliás, é um problema interessante. Eu sei que para qualque matriz N x N com
n ímpar é possível montar a tal da matriz. A formulação tradicional é para
os Naturais SEM o zero, e a soma das linhas ou colunas seria sempre igual a
N * ( N^2 + 1) / 2. (No caso da 3x3, a soma seria 15)
Agora, quando N
Tenho uma idéia...
Vamos pensar pequeno primeiro, um conjunto de 3 números (A, B, c), tal que
A+B A+C B+C. Um exemplo seria o conjunto (1, 2, 4), e o número de
somas diferentes seria o binomial (3,2).
Para 4, um exemplo seria (1,2,4,7), e o número de somas seria o binomial
(4,2), e a soma máxima
Pessoal
Estou com uma dúvida que anda me perturbando sobre o jogo do bicho. Sei que
é um jogo de azar, onde no final, quem sai ganhando é sempre a banca, mas me
fizeram a seguinte proposição:
Na aposta mais básica, a chance é de 1 em 25 bichos, ou seja, 4%. Neste
caso, o ganho é de 15 vezes o
Tudo bem, tudo bem, a grana é alta, mas tem algumas coisas que temos que
reavaliar
Na centésima aposta, o valor do jogo seria de R$1,00 * 1.1 ^99 = R$
12.527,83, e o prêmio seria de 15 vezes isso, ou seja, R$ 187.917,45, mas
como já gastamos R$ 137.796,12 , o lucro seria não de míseros
Só coloquei mais uma ressalva quando resolvi... A soma dos algarismos não
pode ser divisível por 3. Você consegue eliminar mais duas possibilidades
sem fazer contas absurdas. De qualquer forma, ainda acho o exercício muito
braçal por esta solução. Alguém viu coisa melhor?
-Original
Não sei se pode ser simples assim mas...
supondo Que um polinômio tenha grau N, o número máximo de raízes será N. E
como as funções do item 1 e item 2 tem infinitas raízes, não pode ser um
polinômio.
Já para o item 3, estou assumindo que um polinômio de grau N é sempre
derivável, resultando um
Olha, sem derivadas, eu pensei em usar séries de Fourrier... e provar que o
grau do poliômio seria infinito.
-Original Message-
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, June 01, 2004 1:57 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Cosseno nao
Só não entendi uma coisa Pq se cos(x) é Não é um polinômio, cos(k*x)
também não o será? Tá, intuitivamente isto é óbvio, mas e para provar isso?
E se k=0??? Daí cos(k*x) seria um polinômio!
-Original Message-
From: Claudio Buffara [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, June 01, 2004
Acho que dá para pensar assim:
AB = lado a
BC = lado b
CD = lado c
DA = lado d
A área do quadrilátero pode ser calculada como a área do triângulo ABC +
área do triângulo ACD.
Vamos supor que conhecemos a configuração final, de área máxima, apenas para
os pontos ABC. Ou seja, dada qualquer
Seja f(x) = 3(x^4) - 4(x^3) e g(x) = Ax + B
traçando as duas equações em um gráfico, fica evidente que f(x) - g(x) gera
um terceiro polinômio de grau 4 com 2 pares de raízes iguais. Em outras
palavras:
3x4 - 4x^3 - Ax - B = M (x - N)^2 (x-O)^2
Expandindo a segunda parte e igualando aos
Largando de preguiça e fazendo as contas, a equação da reta é:
-8/9 x - 4/27
SDS
JG
-Original Message-
From: João Gilberto Ponciano Pereira
Sent: Monday, September 13, 2004 10:58 AM
To: '[EMAIL PROTECTED]'
Subject: RE: [obm-l] obm 2004?
Seja f(x) = 3(x^4) - 4(x^3) e g(x) = Ax + B
Acho que o grande problema da matemática é que, às vezes, nos prendemos
muito às teorias e definições, esquecendo às vezes das utilidades práticas
ou dos motivos pelos quais estamos estudando determinado tópico.
Eu, particularmente na minha modesta opinião, sempre encarei o conjunto N
como função
100 * 9 = 900
100 - 11
89x Acho que não deu certo...
-Original Message-
From: Marcos Paulo [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, September 14, 2004 1:21 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Regras aritméticas
Olá amigos da lista,
me deparei com umas regras aritméticas e
Acredito que o grande problema da questão é o enunciado em si.
O fato é que se existe uma sequencia de 3 inteiros (N-2, N e N+2), cuja soma
é um determinado M também inteiros, essa sequencia é única, independente de
ser ímpar ou par. Quando falamos em 3 pares consecutivos, é como se
estivéssemos
1- Imaginem 125 cubos iguais, numerados sequencialmente de 1 a 125. Prove
que é possível rearranjá-los, formando um cubo 5x5x5, de tal forma que
qualquer fatia 5x5x1 do cubo apresente a soma dos números dos cubinhos
constante.
2- Para quais valores de N é possível montar um cubo NxNxN com as
Hum... Vamos de um jeito mais bonito então
Chamando Mod(k^5,10) = M (M é o resto da divisão de k^5 por M)
Quando k = 0, M=0
Sabemos também que:
(K+1)^5 = K^5 + 5*k^4 + 10*K^3 + 10*K^2 + 5*K + 1
(K+1)^5 = K^5 + 5*k*(k^3+1) + 10*K^2(K+1) + 1
Observem que o termo 5*k*(k^3+1) será sempre
De um jeito chato:
720 = 2^4 * 3^2 * 5
os divisores de 720 serão todas as combinações de 2^n * 3^m * 5^o, com n,m,o
=0 e menor ou igual a, respectivamente, 4,2 e 1.
Bem, vamos chamar a soma das combinações de 5 de S1 = 5^1 + 5^0 = 6
seja S2 a soma das combinações de 3 e 5 - S2 =
Não sei se esta foi a idéia do Cláudio, mas vamos tentar...
f(x) = x2 + 5x + 23, para x inteiro, o menos valor de f(x) = 17 quando x=-2
seja d(x) = f(x+1) - f(x) = (x2 + 2x+1) - x2 + (5x + 5) - 5x +23 - 23 = 2x +
6
d(-2) = 2
d(-1) = 4
d(0) = 6
...
Logo, os possíveis valores de f(x) serão da
Imaginei assim:
Sejam as 3 parcelas X, Y e Z tais que X = Y= Z. Logo, X=667.
1- supondo X fixo ímpar, temos que Y pode variar de X (inclusive) a (2002 -
1 - x)/2. Em outras palavras, quando X=1 temos (2002 - 1 - 1)/2 = 1000
valores possíveis para Y válidos, logo, 1000 possíveis variações.
Bom, se eu não me engano, o problema original era traçar o quadrilátero de
maior área dados o comprimento de 3 segmentos.
De qualquer forma, na nova versão, acho que se pensarmos que dados os lados,
o quadrilátero de maior área é o inscritivel (tem que provar isso!!!),
talvez ajude na construção
Este me faz lembrar o problema do carnaval Que tem solução.
Dois homens encontram duas mulheres no carnaval e todos decidem ir para a
cama. Entretanto, só haviam 2 camisinhas disponíveis. Como deve ser feito
para que cada homem tenha relações com as duas mulheres, sem correr o risco
de
Claudio
Vamos ver se entendi direito. Vamos supor N peças de cada cor. Peças da
mesma cor não se ultrapassam, correto? logo, supondo peças B1, B2, B2, BN
irão sempre ter a mesma ordem. Logo, partindo da configuração inicial até a
final, serão necessários N+1 movimentos com cada peça para que ela
Ai, gente... apesar de achar meio off-topic, o que acontece é o seguinte:
Imaginem que circule em todo Brasil um total de R$3000, aproximadamente
US$1000. O governo decide injetar mais R$500 só para as pessoas carentes,
aumentando o poder aquisitivo delas, rodando mais dinheiro, fazendo os
preços
Hum... eu diria que é apenas um par, dois sapatos.
3 pares podem fazer a configuração AB, BC, CA.
-Original Message-
From: Rogerio Ponce [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 20, 2005 2:28 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] ENUNCIADO ORIGINAL!
Olá Jorge,
de
Opa... peraí... Pelo que entendi, a regra valeria apenas para um dígito.
Veja o caso de 59768758231 (que é divisível por 7)
5976875 - 2*8231 = 5960413
596 - 2*413 = -230 (que não é divisível por 7!!!)
Isso pq essa regra funciona pois 2*10 mod 7 = -1.
Para funcionar para números grandes,
Bom... Pelo que entendi, o ponto A terá sempre coordenadas (a/2,0),
justamente pela propriedade de ser o ponto médio do segmento BP. Logo,
levando em consideração a derivada da reta, podemos dizer que (a/2)*f'(a) =
f(a).
Daí fica mais fácil... Acho que nem precisa entrar no mérito de equações
2^0
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Behalf Of Murilo RFL
Sent: Tuesday, December 13, 2005 1:35 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] numeros primos
Sabemos q o menor numero q pode ser representado por 3^a é 3 e por 2^b é 2
Logo 3^a sempre
Acho que o interessante do problema é chegar nesses números (92 e 47). Até o
momento, a única coisa que consegui concluir é que a soma dos números não pode
ser par, ou seja, um dos números é par e o outro é ímpar.
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Cheguei em 23...
A lógica que usei é a seguinte Temos que conseguir o menor número das
unidades. Após isso, basta somar 2 vezes a cota de 2 bombons de 5.
Temos então que achar a combinação de bombons tal que o total seja o mínimo,
para cada uma das unidades. Temos então:
0 == 0 = 0x5 +
possível...
Em 08/03/06, João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Cheguei em 23...
A lógica que usei é a seguinte Temos que conseguir o menor número das
unidades. Após isso, basta somar 2 vezes a cota de 2 bombons de 5.
Temos então que achar a combinação de bombons tal
um numero muito grande...
existe uma forma que se eu me recordo eh...no caso de dois numeros X e Y primos
entre si.. que eh
número maximo = X . Y - ( X + Y )
alguem sabe provar isso???
deve envolver teoria combinatoria dos numeros .. não sei ..
Em 08/03/06, João Gilberto Ponciano Pereira
Estava pensando numa forma mais simples...
Dividir o cubo unitário em 125 cubinhos de lado 1/5
Por casa dos pombos, ao menos um desses cubinhos possui 4 pontos em seu
interior. E como uma esfera de raio 1/5 contém um cubo de raio 1/5
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
51 rs
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Behalf Of Alexandre Bastos
Sent: Thursday, April 06, 2006 12:11 PM
To: OBM
Subject: [obm-l] Probleminha legal
O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos,
incluindo
Dica... Veja que não se fala de quíntuplos, sextuplos, etc.
Chamando:
2X o número de filhos gêmeos duplos;
3Y o número de filhos gêmeos triplos;
4Z o número de filhos gêmeos quádruplos;
R o resto (quítuplos, sextuplos, etc...)
Então.. da primeira frase, temos:
3Y + 4Z + R = 39
da segunda:
62 matches
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