[obm-l] 1+11+111+...
Olá Pessoal! Recebi essa questão para resolver: Encontre a soma 1 + 11 + 111 + 111...111, que tem n parcelas. Abaixo vou colocar o que melhor consegui responder. Porém achei meio vago, sem muita teoria, meio intuição sem provar por a + b, entendem? Vejam o que eu fiz e tentem mostrar por que, ou então achar um jeito melhor de responder. Resolução: Você pode escrever a conta para n pequeno, tipo se n = 1, 2, 3, 4, 5... n = 1 soma = 1 n = 2 soma = 1 + 11 = 12 n = 3 soma = 1 + 11 + 111 = 123 n = 4 soma = 1 + 11 + 111 + = 1234 n = 5 soma = 1 + 11 + 111 + + 1 = 12345 E assim vai. Agora precisamos ver o que acontece quando n passa de 9 porque até aí você pode ver que se n = 9 o resultado será 123456789, mas aí começa o problema de vai um. Se n = 10 teremos: n = 10 soma = 1234567900 n = 11 soma = 12345679011 E você já pode ver como deve ser a resposta. Ela vai ser algo do tipo: 123456790123456790123456790... Para ver se é isso mesmo você pode fazer uma conta maior, como por exemplo para n = 25, por exemplo. Ou então você pode colocar uma conta grande com reticências no lugar de algumas parcelas e deduzir o que acontece. 1 11 111 1 11 111 ... 1 11 111 1 - Você pode ver que os primeiros algarismos serão 1, 2, 3, 4...até 7. Depois viria o 8 e o nove. Mas em seguida viria 10, que não pode ser, tem que ir 1. Então no lugar do 9, você somaria 1 e ficaria com 10. Então fica o zero e vai um que soma com o oito, onde você tem 9 e aí não vai mais 1! Por isso você tem a sequência 1234567900. Aí você pode ir mais pra frente e ver que depois tem 11 uns que somam 11 e vai 1 que vai somar com o zero do 10 e o resto é o que nós vimos antes, então você terá 12345679011. E assim, você pode concluir o resto que vai ser sempre: 12345679012345679012345679... Sendo que o último algarismo será o último algarismo do número n de parcelas. Abraços, Rafael. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. http://mailplus.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] 1+11+111+...
From: Rafael [EMAIL PROTECTED] Olá Pessoal! Recebi essa questão para resolver: Encontre a soma 1 + 11 + 111 + 111...111, que tem n parcelas. 1 + 11 + 111 + 111...111 = (10^1 - 1)/9 + (10^2 - 1)/9 + ... + (10^n - 1)/9 = 1/9 [ (10^(n+1) - 1)/9 - n ] = ( 111...111 - n )/9 Onde aparecem (n+1) alagarismos 1 na fórmula final. Abaixo vou colocar o que melhor consegui responder. Porém achei meio vago, sem muita teoria, meio intuição sem provar por a + b, entendem? Vejam o que eu fiz e tentem mostrar por que, ou então achar um jeito melhor de responder. Resolução: Você pode escrever a conta para n pequeno, tipo se n = 1, 2, 3, 4, 5... n = 1 soma = 1 n = 2 soma = 1 + 11 = 12 n = 3 soma = 1 + 11 + 111 = 123 n = 4 soma = 1 + 11 + 111 + = 1234 n = 5 soma = 1 + 11 + 111 + + 1 = 12345 E assim vai. Agora precisamos ver o que acontece quando n passa de 9 porque até aí você pode ver que se n = 9 o resultado será 123456789, mas aí começa o problema de vai um. Se n = 10 teremos: n = 10 soma = 1234567900 n = 11 soma = 12345679011 E você já pode ver como deve ser a resposta. Ela vai ser algo do tipo: 123456790123456790123456790... Para ver se é isso mesmo você pode fazer uma conta maior, como por exemplo para n = 25, por exemplo. Ou então você pode colocar uma conta grande com reticências no lugar de algumas parcelas e deduzir o que acontece. 1 11 111 1 11 111 ... 1 11 111 1 - Você pode ver que os primeiros algarismos serão 1, 2, 3, 4...até 7. Depois viria o 8 e o nove. Mas em seguida viria 10, que não pode ser, tem que ir 1. Então no lugar do 9, você somaria 1 e ficaria com 10. Então fica o zero e vai um que soma com o oito, onde você tem 9 e aí não vai mais 1! Por isso você tem a sequência 1234567900. Aí você pode ir mais pra frente e ver que depois tem 11 uns que somam 11 e vai 1 que vai somar com o zero do 10 e o resto é o que nós vimos antes, então você terá 12345679011. E assim, você pode concluir o resto que vai ser sempre: 12345679012345679012345679... Sendo que o último algarismo será o último algarismo do número n de parcelas. Abraços, Rafael. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. http://mailplus.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re:[obm-l] 1+11+111+...111+...111
Calcular a seguinte soma 1+11+111+...111...111, que tem n parcelas. já pensou em fazer isso somatório de (10^x -1)/9 então: x=1 - (10-1)/9= 9/9 = 1 x=2 - (100-1)/9 = 99/9 = 11 x=3 - (1000-1)/9 = 999/9 = 111 . . . x=n+1 - (1000..001 -1)/9 = 999...999/9 = 111...111, que tem n parcelas se vc somar assim: S = (10^1 -1)/9 + (10^2 -1)/9 + (10^3 -1)/9 +...+ [10^ (n+1) -1)/9 S= 1/9*[10^1 -1 + 10^2 -1 + 10^3 -1 +...+ 10^(n+1) -1] S= 1/9[10^1 + 10^2 + 10^3 + ... + 10^(n+1) -(n+1)] então vc usa a fórmula da soma de uma P.G. finita e descobre um equação geral! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
