[obm-l] Alguns problemas da prova da OBM (errata)
No ex: 1 é para N maior de 0 Lembrei do ex: 2 Na seguinte equação: x² + (r+s)x + rs - 2010 = 0 Para x, r e s inteiros, a quantidade de valores de |r-s| é. Abraço :D
Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
Bem, agora que saiu o gabarito não tem muito propósito te falar as respostas, mas só pra comemorar que eu fechei a prova (ae!), pena que segunda fase conta muito pouco na classificação final. Parte A 1) 25 2) 8 3) 12 4) 2592 5) 1057 Parte B 1) 60º 2) 144 3) não há solução 4) 1004 Fernando
Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
Não tinha algo sobre não divulgar as questões da prova da OBM? Só vou comentar que o Salhab pulou k=8 ali na questão 3 da parte B. Além disso, as minhas respostas da 1B e 4B (só 3?) não batem com as suas... Fernando
Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
Na questão 5, vamos primeiro escrever da seguinte forma:
Prod{x=2, 4, 6, ..., 32} (x^4 + x^2 + 1) / ((x-1)^4 + (x-1)^2 + 1)
Fatorando, temos:
x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2 + x + 1)(x^2 -
x + 1)
Analogamente:
(x-1)^4 + (x-1)^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 - 3x + 3)
Desta maneira:
(x^4 + x^2 + 1) / ((x-1)^4 + (x-1)^2 + 1) = (x^2 + x + 1)/(x^2 - 3x + 3)
Vamos dizer que:
a_n = x^2 + x + 1
b_n = x^2 - 3x + 3
Assim, queremos determinar: Prod{n=2, 4, 6, ..., 32} a_n/b_n
Acho que falta só uma coisa:
a_(n-2) = (x-2)^2 + (x-2) + 1 = x^2 - 4x + 4 + x - 2 + 1 = x^2 - 3x + 3 =
b_n
Um pouquinho mais de álgebra:
Prod{n=2, 4, .., 32} a_n/b_n =
= [ Prod{n=2, 4, ..., 32} a_n ] / [ Prod{n=2, 4, ..., 32} b_n ] =
= [ Prod{n=4, 6, ..., 34} a_(n-2) ] / [ Prod{n=2, 4, ..., 32} b_n ] =
= [ a_32 * Prod{n=4, 6, ..., 32} a_(n-2) ] / [ b_2 * Prod{n=4, ..., 32} b_n
]
= a_32 / b_2 =
= (32^2 + 32 + 1) / (2^2 - 3*2 + 3) =
= (1024 + 32 + 1) / (4 - 6 + 3) =
= 1057
abraços,
Salhab
2010/9/18 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
1) (O mais fácil) Um número inteiro N multiplicado por 33 resulta em um
número de base decimal cujos algarismos são todos 7. Para N menor que 0,
determine a soma dos algarismos do menor valor de N.
2) e 3) (Médio) (não me lembro)
4)(Médio) Dado um retangulo com duas linhas e quatro colunas, sabe-se que
suas 8 casas devem ser coloridas de 3 cores distintas. Uma coluna é corte
quando suas duas casas são da mesma cor, determine o número de configurações
possíveis com apenas um corte.
5) (Um pouquinho difícil, mas a mais legal) Calcule:
(2^4 + 2² + 1).(4^4 + 4² + 1).(6^4 + 6² + 1)...(32^4 + 32² + 1)
--Enviar-
- barra de divisão
(1^4 + 1² + 1).(3^4 + 3² + 1).(5^4 + 5² + 1)...(31^4 + 31² + 1)
Parte B
1) (Médio) - não lembro
2) (Fácil) Determine o conjunto verdade do sistema:
x + y + z = 77
xy + yz + zx + xyz = 946
Para x=y=z
3) (Um pouquinho difícil) Escobar gosta de jogar futebol. Entretanto ele
descobriu que sofre lesões se jogar dois dias consecutivos. Determine de
quantas maneiras Escobar pode jogar futebol em 10 dias sem sofrer lesões (a
cconfiguração em que ele não joga em nenhum dia também conta).
4) (Não tive tempo de fazer, chutei ) Em uma mesa de bilhar quadrada
determine a quantidade de ângulos de reflexão em que podemos posicionar uma
bola em um vértice do quadrado e ao bater na bola ela rebater 2010 vezes na
mesa e acertar outro vértice.
Abraço ai gente, tentei ai e me falem suas respostas pra eu ver se bateu,
embaixo estão as minhas.
1) 25
2) 8
3) 12
4) 2 mil e alguma coisa
5) 1057
ParteB
1) 36º
2) sem solução
3) 140
4) 3
Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
Na questão 3 da parte B: a_n = numero de maneiras de jogar sem lesao por n dias, jogando no último dia b_n = numero de maneiras de jogar sem lesao por n dias, nao jogando no último dia Nossa resposta é a_10 + b_10. a_1 = 1, b_1 = 1 a_2 = 1, b_2 = 2 (faça os 4 casos para conferir) Generalizando: a_n = b_(n-1) b_n = a_(n-1) + b_(n-1) [se ele não vai jogar no último, tanto faz se ele jogou ou não no dia anterior] Vamos usar o seguinte par ordenado (a_k, b_k). Assim: k=1: (1, 1) k=2: (1, 2) k=3: (2, 3) k=4: (3, 5) k=5: (5, 8) k=6: (8, 13) k=7: (13, 21) k=9: (21, 34) k=10: (34, 55) Logo, a resposta é: 34 + 55 = 89 É interessante notar que: b_n = a_(n-1) + b_(n-1) = b_(n-2) + b_(n-1) = Quase Série de Fibonacci!! A diferença são os termos iniciais: b_1 = 1, b_2 = 2, hehehe! Mas: a_n = b_(n-1) = b_(n-2) + b_(n-3) = a_(n-1) + a_(n-2) = Série de Fibonacci!! Sim, desta vez os termos iniciais são a_1 = 1 e a_2 = 1!! hehehe! Assim, nossa resposta é: a_n + b_n = b_(n+1) = Fib(n+1) Logo, nossa resposta para n=10, é Fib(11) = 89 abraços, Salhab 2010/9/18 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com 1) (O mais fácil) Um número inteiro N multiplicado por 33 resulta em um número de base decimal cujos algarismos são todos 7. Para N menor que 0, determine a soma dos algarismos do menor valor de N. 2) e 3) (Médio) (não me lembro) 4)(Médio) Dado um retangulo com duas linhas e quatro colunas, sabe-se que suas 8 casas devem ser coloridas de 3 cores distintas. Uma coluna é corte quando suas duas casas são da mesma cor, determine o número de configurações possíveis com apenas um corte. 5) (Um pouquinho difícil, mas a mais legal) Calcule: (2^4 + 2² + 1).(4^4 + 4² + 1).(6^4 + 6² + 1)...(32^4 + 32² + 1) --Enviar- - barra de divisão (1^4 + 1² + 1).(3^4 + 3² + 1).(5^4 + 5² + 1)...(31^4 + 31² + 1) Parte B 1) (Médio) - não lembro 2) (Fácil) Determine o conjunto verdade do sistema: x + y + z = 77 xy + yz + zx + xyz = 946 Para x=y=z 3) (Um pouquinho difícil) Escobar gosta de jogar futebol. Entretanto ele descobriu que sofre lesões se jogar dois dias consecutivos. Determine de quantas maneiras Escobar pode jogar futebol em 10 dias sem sofrer lesões (a cconfiguração em que ele não joga em nenhum dia também conta). 4) (Não tive tempo de fazer, chutei ) Em uma mesa de bilhar quadrada determine a quantidade de ângulos de reflexão em que podemos posicionar uma bola em um vértice do quadrado e ao bater na bola ela rebater 2010 vezes na mesa e acertar outro vértice. Abraço ai gente, tentei ai e me falem suas respostas pra eu ver se bateu, embaixo estão as minhas. 1) 25 2) 8 3) 12 4) 2 mil e alguma coisa 5) 1057 ParteB 1) 36º 2) sem solução 3) 140 4) 3
Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
Não vejo nada de errado na sua solução.
Pelo contrário, excelente fatoração!!
Comecei a brincar com: (x+y+z)^2 e com a fatoração x^3+y^3+z^3-3xyz =
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz),
cheguei em expressões interessantes, mas nenhuma que me ajudasse a tirar
uma conclusão. ;)
abraços,
Salhab
2010/9/19 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Na questão 3 resolvi assim:
Somando as duas equações e ainda somando 1 em ambos os lados chegamos a:
(x+1).(y+1).(z+1) = 2^10
x,y,z podem ser 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63
Os únicos cuja soma é 77 são:
63, 7, 7
31, 31, 15
No primeiro caso (x+1).(y+1).(z+1) = 2^6.2^3.2^3 = 2^12
No segundo caso: 2^5.2^5.2^4 = 2^14
Ou seja, problema sem solução.
Foi assim que resolvi, já que errei o número 2 acho que se errar esse
também não passo pra terceira fase hehe )';
Será que está certo?
--
Date: Sun, 19 Sep 2010 02:50:01 -0300
Subject: Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Na questão 5, vamos primeiro escrever da seguinte forma:
Prod{x=2, 4, 6, ..., 32} (x^4 + x^2 + 1) / ((x-1)^4 + (x-1)^2 + 1)
Fatorando, temos:
x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2 + x + 1)(x^2
- x + 1)
Analogamente:
(x-1)^4 + (x-1)^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 - 3x + 3)
Desta maneira:
(x^4 + x^2 + 1) / ((x-1)^4 + (x-1)^2 + 1) = (x^2 + x + 1)/(x^2 - 3x + 3)
Vamos dizer que:
a_n = x^2 + x + 1
b_n = x^2 - 3x + 3
Assim, queremos determinar: Prod{n=2, 4, 6, ..., 32} a_n/b_n
Acho que falta só uma coisa:
a_(n-2) = (x-2)^2 + (x-2) + 1 = x^2 - 4x + 4 + x - 2 + 1 = x^2 - 3x + 3 =
b_n
Um pouquinho mais de álgebra:
Prod{n=2, 4, .., 32} a_n/b_n =
= [ Prod{n=2, 4, ..., 32} a_n ] / [ Prod{n=2, 4, ..., 32} b_n ] =
= [ Prod{n=4, 6, ..., 34} a_(n-2) ] / [ Prod{n=2, 4, ..., 32} b_n ] =
= [ a_32 * Prod{n=4, 6, ..., 32} a_(n-2) ] / [ b_2 * Prod{n=4, ..., 32} b_n
]
= a_32 / b_2 =
= (32^2 + 32 + 1) / (2^2 - 3*2 + 3) =
= (1024 + 32 + 1) / (4 - 6 + 3) =
= 1057
abraços,
Salhab
2010/9/18 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
1) (O mais fácil) Um número inteiro N multiplicado por 33 resulta em um
número de base decimal cujos algarismos são todos 7. Para N menor que 0,
determine a soma dos algarismos do menor valor de N.
2) e 3) (Médio) (não me lembro)
4)(Médio) Dado um retangulo com duas linhas e quatro colunas, sabe-se que
suas 8 casas devem ser coloridas de 3 cores distintas. Uma coluna é corte
quando suas duas casas são da mesma cor, determine o número de configurações
possíveis com apenas um corte.
5) (Um pouquinho difícil, mas a mais legal) Calcule:
(2^4 + 2² + 1).(4^4 + 4² + 1).(6^4 + 6² + 1)...(32^4 + 32² + 1)
--Enviar-
- barra de divisão
(1^4 + 1² + 1).(3^4 + 3² + 1).(5^4 + 5² + 1)...(31^4 + 31² + 1)
Parte B
1) (Médio) - não lembro
2) (Fácil) Determine o conjunto verdade do sistema:
x + y + z = 77
xy + yz + zx + xyz = 946
Para x=y=z
3) (Um pouquinho difícil) Escobar gosta de jogar futebol. Entretanto ele
descobriu que sofre lesões se jogar dois dias consecutivos. Determine de
quantas maneiras Escobar pode jogar futebol em 10 dias sem sofrer lesões (a
cconfiguração em que ele não joga em nenhum dia também conta).
4) (Não tive tempo de fazer, chutei ) Em uma mesa de bilhar quadrada
determine a quantidade de ângulos de reflexão em que podemos posicionar uma
bola em um vértice do quadrado e ao bater na bola ela rebater 2010 vezes na
mesa e acertar outro vértice.
Abraço ai gente, tentei ai e me falem suas respostas pra eu ver se bateu,
embaixo estão as minhas.
1) 25
2) 8
3) 12
4) 2 mil e alguma coisa
5) 1057
ParteB
1) 36º
2) sem solução
3) 140
4) 3
RE: [obm-l] Alguns problemas da prova
Último ano fiquei por 2 pontos de passar pra 3ª fase
Você não sabe como to feliz de ter acertado essa kk :D
Até agora foi confirmado da parte A a 1 e a 5 e da parte B a 2.
Mas acho que ainda tenho que acertar uma da parte A pra poder passar )';
A 4 resolvi assim, vê se acha algum problema.
Construi o retângulo com oito lacunas (duas linhas e quatro colunas), vou
simplificar por
_ _ _ _
_ _ _ _
Vamos chamar as 3 cores de a,b,c
Com uma coluna corte temos, por exemplo:
a _ _ _
a _ _ _
Vamos analisar cada caso:
1-) Não ter mais nenhuma lacuna a. Note que ao colocarmos uma lacuna como b, a
de baixo é imediatamente c, e vice-versa. Temos 2³ = 8 modos aqui.
2-) Ter somente uma lacuna a, 6 possibilidades de see escolher. Além disso na
mesma coluna do a podem ter b ou c (2 possibilidades) e nas outras duas é como
na etapa 1 (se esclhermos o b teríamos o c imediatamente na abaixo ou acima -
2²). Total: 6.2³ = 48 aqui.
3-) Ter duas lacunas a, eu contei direitinho e deram 12 possibilidades. Do
mesmo modo temos 2³ de posicionar o resto. Total: 12.8 = 96 aqui.
4-) Ter três lacunas a (como não pode ter 2 a na mesma coluna ou ele fica
embaixo ou em cima, 2³ aqui). Para posicionar o resto temos novamente 2³.
Total: 8.8 = 64 aqui.
TOTAL: 8 + 48 + 96 + 64 = 216
Mas podemos ter a coluna a-a na primeira, segunda, terceira ou quarta coluna,
e além disso podemos escolher 3 cores.
TOTAL: 216.12 = 2592 possibilidades
To rezando aqui pra estar certo hehehehe :)
A 2 posto depois
Valeu Salhab
Abraço,
João
Date: Sun, 19 Sep 2010 13:39:13 -0300
Subject: Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Não vejo nada de errado na sua solução.Pelo contrário, excelente fatoração!!
Comecei a brincar com: (x+y+z)^2 e com a fatoração x^3+y^3+z^3-3xyz =
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz),cheguei em expressões interessantes, mas
nenhuma que me ajudasse a tirar uma conclusão. ;)
abraços,Salhab
2010/9/19 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Na questão 3 resolvi assim:
Somando as duas equações e ainda somando 1 em ambos os lados chegamos a:
(x+1).(y+1).(z+1) = 2^10
x,y,z podem ser 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63
Os únicos cuja soma é 77 são:
63, 7, 7
31, 31, 15
No primeiro caso (x+1).(y+1).(z+1) = 2^6.2^3.2^3 = 2^12
No segundo caso: 2^5.2^5.2^4 = 2^14
Ou seja, problema sem solução.
Foi assim que resolvi, já que errei o número 2 acho que se errar esse também
não passo pra terceira fase hehe )';
Será que está certo?
Date: Sun, 19 Sep 2010 02:50:01 -0300
Subject: Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Na questão 5, vamos primeiro escrever da seguinte forma:Prod{x=2, 4, 6, ...,
32} (x^4 + x^2 + 1) / ((x-1)^4 + (x-1)^2 + 1)
Fatorando, temos:x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2
+ x + 1)(x^2 - x + 1)
Analogamente:(x-1)^4 + (x-1)^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 - 3x + 3)
Desta maneira:(x^4 + x^2 + 1) / ((x-1)^4 + (x-1)^2 + 1) = (x^2 + x + 1)/(x^2 -
3x + 3)
Vamos dizer que:a_n = x^2 + x + 1b_n = x^2 - 3x + 3
Assim, queremos determinar: Prod{n=2, 4, 6, ..., 32} a_n/b_n
Acho que falta só uma coisa:
a_(n-2) = (x-2)^2 + (x-2) + 1 = x^2 - 4x + 4 + x - 2 + 1 = x^2 - 3x + 3 = b_n
Um pouquinho mais de álgebra:Prod{n=2, 4, .., 32} a_n/b_n = = [ Prod{n=2, 4,
..., 32} a_n ] / [ Prod{n=2, 4, ..., 32} b_n ] =
= [ Prod{n=4, 6, ..., 34} a_(n-2) ] / [ Prod{n=2, 4, ..., 32} b_n ] == [ a_32 *
Prod{n=4, 6, ..., 32} a_(n-2) ] / [ b_2 * Prod{n=4, ..., 32} b_n ]= a_32 / b_2
== (32^2 + 32 + 1) / (2^2 - 3*2 + 3) =
= (1024 + 32 + 1) / (4 - 6 + 3) = = 1057
abraços,Salhab
2010/9/18 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
1) (O mais fácil) Um número inteiro N multiplicado por 33 resulta em um número
de base decimal cujos algarismos são todos 7. Para N menor que 0, determine a
soma dos algarismos do menor valor de N.
2) e 3) (Médio) (não me lembro)
4)(Médio) Dado um retangulo com duas linhas e quatro colunas, sabe-se que suas
8 casas devem ser coloridas de 3 cores distintas. Uma coluna é corte quando
suas duas casas são da mesma cor, determine o número de configurações possíveis
com apenas um corte.
5) (Um pouquinho difícil, mas a mais legal) Calcule:
(2^4 + 2² + 1).(4^4 + 4² + 1).(6^4 + 6² + 1)...(32^4 + 32² + 1)
--Enviar-
- barra de divisão
(1^4 + 1² + 1).(3^4 + 3² + 1).(5^4 + 5² + 1)...(31^4 + 31² + 1)
Parte B
1) (Médio) - não lembro
2) (Fácil) Determine o conjunto verdade do sistema:
x + y + z = 77
xy + yz + zx + xyz = 946
Para x=y=z
3) (Um pouquinho difícil) Escobar gosta de jogar futebol. Entretanto ele
descobriu que sofre lesões se jogar dois dias consecutivos. Determine de
quantas maneiras Escobar pode jogar futebol em 10 dias sem sofrer lesões (a
cconfiguração em que ele não joga em nenhum dia também conta).
4) (Não tive tempo de fazer, chutei ) Em uma mesa de bilhar quadrada determine
FW: [obm-l] Alguns problemas da prova
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Alguns problemas da prova
Date: Sun, 19 Sep 2010 15:04:43 -0300
A 2 foi assim:
Lembrando o enunciado -
Nessa equação:
x² -(r+s)x + rs + 2010 = 0(valeu lucas)
temos r, s e as duas raízes de x inteiras. A quantidade de valores que |r-s|
pode assumir é.
Resolvi assim
Por Bháscara temos:
a = 1
b = -(r+s)
c = (rs + 2010)
delta = (r+s)² -4.(rs + 2010) =
(r-s)² - 8040
Como delta é quadrado perfeito, podemos chamá-lo de a²
Além disso (r-s)² = a² + 8040 e podemos chamar r-s de a+b
Ou seja, temos
(a+b)² = a² + 8040
2ab + b² = 8040
a = (8040 - b²)/2b = 4020/b - b/2
Ou seja, temos que ter b par, além disso b tem que ser um divisor de 4020.
Decomponddo esse último:
4020 = 2².3.5.67, isolando o 2 (b par) temos 2.2.2.2 = 16 possibilidades para o
b e consequentemente 16 para o a e 16 para o r-s.
O problema estaria resolvido se não fosse aquele cretino daquele módulo na
prova.
Nos últimos minutos de prova consegui obter cada solução de b e calcular (a+b)
= 4020/b + b/2, e ver que existiam somente 8 módulos (cada resultado tinha um
simétrico). Ex: para b = 2 e b = 4020, temos:
Para b = 2 - (a+b) = (r-s) = 4020/2 + 2/2 = 2011
Para b = 4020 - 4020/4020 + 4020/2 = 2011
Nossa fiqui pasmo, o módulo até me ajudou agora, se não tivesse sido por ele eu
teria respondido 16. O problema é que fiz conta por conta (demorou um
tempinho). Não consegui achar um jeito de demonstrar tudo de uma vez.
Será que essa me salva?
Abraço,
João
Date: Sun, 19 Sep 2010 13:39:13 -0300
Subject: Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Não vejo nada de errado na sua solução.Pelo contrário, excelente fatoração!!
Comecei a brincar com: (x+y+z)^2 e com a fatoração x^3+y^3+z^3-3xyz =
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz),cheguei em expressões interessantes, mas
nenhuma que me ajudasse a tirar uma conclusão. ;)
abraços,Salhab
2010/9/19 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Na questão 3 resolvi assim:
Somando as duas equações e ainda somando 1 em ambos os lados chegamos a:
(x+1).(y+1).(z+1) = 2^10
x,y,z podem ser 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63
Os únicos cuja soma é 77 são:
63, 7, 7
31, 31, 15
No primeiro caso (x+1).(y+1).(z+1) = 2^6.2^3.2^3 = 2^12
No segundo caso: 2^5.2^5.2^4 = 2^14
Ou seja, problema sem solução.
Foi assim que resolvi, já que errei o número 2 acho que se errar esse também
não passo pra terceira fase hehe )';
Será que está certo?
Date: Sun, 19 Sep 2010 02:50:01 -0300
Subject: Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Na questão 5, vamos primeiro escrever da seguinte forma:Prod{x=2, 4, 6, ...,
32} (x^4 + x^2 + 1) / ((x-1)^4 + (x-1)^2 + 1)
Fatorando, temos:x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2
+ x + 1)(x^2 - x + 1)
Analogamente:(x-1)^4 + (x-1)^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 - 3x + 3)
Desta maneira:(x^4 + x^2 + 1) / ((x-1)^4 + (x-1)^2 + 1) = (x^2 + x + 1)/(x^2 -
3x + 3)
Vamos dizer que:a_n = x^2 + x + 1b_n = x^2 - 3x + 3
Assim, queremos determinar: Prod{n=2, 4, 6, ..., 32} a_n/b_n
Acho que falta só uma coisa:
a_(n-2) = (x-2)^2 + (x-2) + 1 = x^2 - 4x + 4 + x - 2 + 1 = x^2 - 3x + 3 = b_n
Um pouquinho mais de álgebra:Prod{n=2, 4, .., 32} a_n/b_n = = [ Prod{n=2, 4,
..., 32} a_n ] / [ Prod{n=2, 4, ..., 32} b_n ] =
= [ Prod{n=4, 6, ..., 34} a_(n-2) ] / [ Prod{n=2, 4, ..., 32} b_n ] == [ a_32 *
Prod{n=4, 6, ..., 32} a_(n-2) ] / [ b_2 * Prod{n=4, ..., 32} b_n ]= a_32 / b_2
== (32^2 + 32 + 1) / (2^2 - 3*2 + 3) =
= (1024 + 32 + 1) / (4 - 6 + 3) = = 1057
abraços,Salhab
2010/9/18 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
1) (O mais fácil) Um número inteiro N multiplicado por 33 resulta em um número
de base decimal cujos algarismos são todos 7. Para N menor que 0, determine a
soma dos algarismos do menor valor de N.
2) e 3) (Médio) (não me lembro)
4)(Médio) Dado um retangulo com duas linhas e quatro colunas, sabe-se que suas
8 casas devem ser coloridas de 3 cores distintas. Uma coluna é corte quando
suas duas casas são da mesma cor, determine o número de configurações possíveis
com apenas um corte.
5) (Um pouquinho difícil, mas a mais legal) Calcule:
(2^4 + 2² + 1).(4^4 + 4² + 1).(6^4 + 6² + 1)...(32^4 + 32² + 1)
--Enviar-
- barra de divisão
(1^4 + 1² + 1).(3^4 + 3² + 1).(5^4 + 5² + 1)...(31^4 + 31² + 1)
Parte B
1) (Médio) - não lembro
2) (Fácil) Determine o conjunto verdade do sistema:
x + y + z = 77
xy + yz + zx + xyz = 946
Para x=y=z
3) (Um pouquinho difícil) Escobar gosta de jogar futebol. Entretanto ele
descobriu que sofre lesões se jogar dois dias consecutivos. Determine de
quantas maneiras Escobar pode jogar futebol em 10 dias sem sofrer lesões (a
cconfiguração em que ele não joga em nenhum dia também conta).
4) (Não tive tempo de fazer, chutei ) Em uma mesa de bilhar quadrada
RE: [obm-l] Alguns problemas da prova
Esta do N multiplicado por 3 eu não sabia como fazer... Pode me explicar? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Alguns problemas da prova Date: Sat, 18 Sep 2010 18:06:54 -0300 1) (O mais fácil) Um número inteiro N multiplicado por 33 resulta em um número de base decimal cujos algarismos são todos 7. Para N menor que 0, determine a soma dos algarismos do menor valor de N. 2) e 3) (Médio) (não me lembro) 4)(Médio) Dado um retangulo com duas linhas e quatro colunas, sabe-se que suas 8 casas devem ser coloridas de 3 cores distintas. Uma coluna é corte quando suas duas casas são da mesma cor, determine o número de configurações possíveis com apenas um corte. 5) (Um pouquinho difícil, mas a mais legal) Calcule: (2^4 + 2² + 1).(4^4 + 4² + 1).(6^4 + 6² + 1)...(32^4 + 32² + 1) --Enviar- - barra de divisão (1^4 + 1² + 1).(3^4 + 3² + 1).(5^4 + 5² + 1)...(31^4 + 31² + 1) Parte B 1) (Médio) - não lembro 2) (Fácil) Determine o conjunto verdade do sistema: x + y + z = 77 xy + yz + zx + xyz = 946 Para x=y=z 3) (Um pouquinho difícil) Escobar gosta de jogar futebol. Entretanto ele descobriu que sofre lesões se jogar dois dias consecutivos. Determine de quantas maneiras Escobar pode jogar futebol em 10 dias sem sofrer lesões (a cconfiguração em que ele não joga em nenhum dia também conta). 4) (Não tive tempo de fazer, chutei ) Em uma mesa de bilhar quadrada determine a quantidade de ângulos de reflexão em que podemos posicionar uma bola em um vértice do quadrado e ao bater na bola ela rebater 2010 vezes na mesa e acertar outro vértice. Abraço ai gente, tentei ai e me falem suas respostas pra eu ver se bateu, embaixo estão as minhas. 1) 25 2) 8 3) 12 4) 2 mil e alguma coisa 5) 1057 ParteB 1) 36º 2) sem solução 3) 140 4) 3
RE: [obm-l] Alguns problemas da prova
1)O numero 77...7=33*N=7*(11...1) é multiplo de 3 e de 11.Por isso,o numero 11...1,tambem é.Dai, tem uma quantidade de algarismos q é um multiplo de 3.Testando 111,não serve,pois não é multiplo de 11,mas 11 serve,porque é multiplo de 3 e de 11.Portanto,N=(7*11)/33=77/33=23569.Creio q é isso. Abraços. From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Alguns problemas da prova Date: Sat, 18 Sep 2010 18:06:54 -0300 1) (O mais fácil) Um número inteiro N multiplicado por 33 resulta em um número de base decimal cujos algarismos são todos 7. Para N menor que 0, determine a soma dos algarismos do menor valor de N. 2) e 3) (Médio) (não me lembro) 4)(Médio) Dado um retangulo com duas linhas e quatro colunas, sabe-se que suas 8 casas devem ser coloridas de 3 cores distintas. Uma coluna é corte quando suas duas casas são da mesma cor, determine o número de configurações possíveis com apenas um corte. 5) (Um pouquinho difícil, mas a mais legal) Calcule: (2^4 + 2² + 1).(4^4 + 4² + 1).(6^4 + 6² + 1)...(32^4 + 32² + 1) --Enviar- - barra de divisão (1^4 + 1² + 1).(3^4 + 3² + 1).(5^4 + 5² + 1)...(31^4 + 31² + 1) Parte B 1) (Médio) - não lembro 2) (Fácil) Determine o conjunto verdade do sistema: x + y + z = 77 xy + yz + zx + xyz = 946 Para x=y=z 3) (Um pouquinho difícil) Escobar gosta de jogar futebol. Entretanto ele descobriu que sofre lesões se jogar dois dias consecutivos. Determine de quantas maneiras Escobar pode jogar futebol em 10 dias sem sofrer lesões (a cconfiguração em que ele não joga em nenhum dia também conta). 4) (Não tive tempo de fazer, chutei ) Em uma mesa de bilhar quadrada determine a quantidade de ângulos de reflexão em que podemos posicionar uma bola em um vértice do quadrado e ao bater na bola ela rebater 2010 vezes na mesa e acertar outro vértice. Abraço ai gente, tentei ai e me falem suas respostas pra eu ver se bateu, embaixo estão as minhas. 1) 25 2) 8 3) 12 4) 2 mil e alguma coisa 5) 1057 ParteB 1) 36º 2) sem solução 3) 140 4) 3
