RE: [obm-l] Credo!!!
Oi,
Seja A a expresao dada. Entao, Ln(A) = (1/x)* Ln{[(1^x) + (2^x) + (3^x) +
... + (n^x)]/n} = Ln(B)/x, sendo B =[(1^x) + (2^x) + (3^x) + ... + (n^x)]/n
. Vemos que B-> 1 quando x-> 0, logo Ln(B) -> 0 quando x->0. Podemos usar a
equivalencia, quando B->1, Ln(B) ~ B -1, a qual decorre do desenvolvimento
do log. Neperiano em serie de Taylor. Logo, quando x->0, Ln(B)/x ~ (B-1)/x.
Com um pouco de Algebra, temos que (B-1)/x = [(1^x-1)/x + (2^x-1)/x +
(n^x-1)/x]/(n*). Observamos que, quando x->0, cada uma das n parcela que
compoe o numerador tende aa derivada em x=0 de k^x, k=1,2...n. cada uma
destas derivadas eh k^x * Ln(k) em x=0, ou seja, Ln(k). Logo, Ln(A) =
Ln(B)/x -> (B-1)/x -> [Ln(1) +Ln(n)]/n = Ln(n!)/n . Finalmente,
concluimos que, qundo x->0, A -> e^[Ln(n!)/n] = [e^[Ln(n!)]^(1/n) =
(n!)^(1/n). Nos poderiamos chegar mais rapidamente a este resultado
empregando a Regra de L'Hopital. Mas eu preferi uma solucao que, a meu ver,
mostra melhor o que estah acontecendo.
Um abraco.
Artur
>5 horas pensando e nada...:
>
>limite, pra x tendendo a zero dessa expressão:
>
> {[(1^x) + (2^x) + (3^x) + ... + (n^x)]/(n)}^(1/x)
>
>adoraria que alguém me ajudasse... a resposta é
>
> (n!)^(1/n)
>
>muito obrigado
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Credo!!!
Oi, amigos da lista.
Dado x real não nulo, e a_1,a_2,...,a_n reais
positivos, o valor
M(x) = ((a_1^x + a_2^x + ... + a_n^x)/n)^(1/x)
é chamado média potencial de ordem x de a_1, a_2, ...,
a_n. Para x=0, definimos M(0) como a média geométrica
de a_1,a_2,...,a_n, ou seja,
M(0) = (a_1a_2...a_n)^(1/n)
O que foi pedido é o limite de M(x) quando x tende a
zero e a_i = i. Considerando a definição de M(0), é
conveniente que o resultado dê (n!)^(1/n).
Vamos provar que a definição de M(0) é consistente com
o limite de M(x) para x indo a zero.
De fato, tirando log (na base e) de M(x),
log(M(x)) = log((a_1^x + a_2^x + ... + a_n^x)/n)/x
Observe que quando x tende a zero, o numerador da
última expressão, que é log((a_1^x + a_2^x + ... +
a_n^x)/n), tende a 0 (cada a_i^x tende a 1; somamos n
números próximos de 1 e obtemos um número próximo de
n; um número próximo de n dividido por n é próximo de
1 e log de um número próximo de 1 é próximo de 0). O
denominador, que é x, também. Podemos, então aplicar a
regra de L'Hospital para obter
lim(log(M(x)), x->0 =
([log(a_1)*a_1^x + ... + log(a_n)*a_n^x]/n):
[(a_1^x + a_2^x + ... + a_n^x)/n]
= [log(a_1) + ... + log(a_n)]/n
= log(a_1a_2...a_n)^(1/n)
Logo lim(M(x)), x->0 = (a_1a_2...a_n)^(1/n).
[]'s
Shine
--- Ricardo Bittencourt <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Eduardo Henrique Leitner wrote:
> > limite, pra x tendendo a zero dessa expressão:
> >{[(1^x) + (2^x) + (3^x) + ... +
> (n^x)]/(n)}^(1/x)
> > adoraria que alguém me ajudasse... a resposta é
> > (n!)^(1/n)
>
> Eu acho que consegui:
>
> Seja a(i)=i^x. A média aritmética de todos os a(i)
> é aquilo que está dentro das chaves. Mas sabemos que
> AM>=GM,
> com igualdade apenas quando todos os termos são
> iguais.
>
> Mas, no limite pra x tendendo a zero, todos os a(i)
> tendem a 1 e portanto todos tendem a ficar iguais.
> Por isso,
> AM=GM no limite para x indo a 0. Daí tiramos que:
>
> AM^(1/x)=GM^(1/x)
>
> GM= { produtorio de a(i) } ^(1/n)
> = {1^x . 2^x . ... n^x} ^(1/n)
> = {(n!)^x}^(1/n)= {(n!)^(1/n)}^x
>
> Logo
> AM^(1/x)=GM^(1/x)={(n!)^(1/n)}^x^(1/x)=(n!)^(1/n)
> e o limite pra x indo a zero é (n!)^(1/n).
>
>
> Ricardo Bittencourt
> http://www.mundobizarro.tk
> [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara
> sanpo shimashou"
> -- União contra o forward - crie suas proprias
> piadas --
>
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Credo!!!
Eduardo Henrique Leitner wrote:
limite, pra x tendendo a zero dessa expressão:
{[(1^x) + (2^x) + (3^x) + ... + (n^x)]/(n)}^(1/x)
adoraria que alguém me ajudasse... a resposta é
(n!)^(1/n)
Eu acho que consegui:
Seja a(i)=i^x. A média aritmética de todos os a(i)
é aquilo que está dentro das chaves. Mas sabemos que AM>=GM,
com igualdade apenas quando todos os termos são iguais.
Mas, no limite pra x tendendo a zero, todos os a(i)
tendem a 1 e portanto todos tendem a ficar iguais. Por isso,
AM=GM no limite para x indo a 0. Daí tiramos que:
AM^(1/x)=GM^(1/x)
GM= { produtorio de a(i) } ^(1/n)
= {1^x . 2^x . ... n^x} ^(1/n)
= {(n!)^x}^(1/n)= {(n!)^(1/n)}^x
Logo AM^(1/x)=GM^(1/x)={(n!)^(1/n)}^x^(1/x)=(n!)^(1/n)
e o limite pra x indo a zero é (n!)^(1/n).
Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
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limite, pra x tendendo a zero dessa expressão:
{[(1^x) + (2^x) + (3^x) + ... + (n^x)]/(n)}^(1/x)
adoraria que alguém me ajudasse... a resposta é
(n!)^(1/n)
muito obrigado
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