RES: [obm-l] Determinar imagem
A
pergunta é: para que y existe algum x tal que f(x)=y? Em outras palavras, f(x)=y
tem solução em x?
Então
faça assim:
(1) Se
f(x)=y então
raiz(x(x-2))=y
x(x-2)=y^2 (e y>=0, pois y é raiz de alguma coisa)
Agora,
x(x-2)=y^2 sse x^2-2x-y^2=0. Isto tem solução em x (era a pergunta, lembra, se
tem solução em x) quando DELTA>=0, isto é, 4+4y^2>=0, ou seja, sempre.
Assim, f(x)=y tem solução para todo y>=0, e a imagem é
[0,+Inf).
(2) O
truque acima fica complicado demais, mas dá para fatorar as
coisas:
g(x)=
(x+4)(x-1)(x+3)(x-3) / ((x+4)(x-3)(x+3)) (imagino que seja
isso).
g(x) =
x-1 (exceto para x=3, x=-3 e x=-4, onde g(x) não existe)
A
imagem da função x-1 é a reta real toda, já que esta é bijetiva. No entanto,
como no domínio não temos os valores x=3, x=-3, x=4 e a função x-1 é
bijetiva então temos de retirar da imagem os valores 3-1=2, -3-1=-4 e
4-1=3. Assim:
Im
g=(-Inf,-4) U (-4,2) U (2,3) U (3,+Inf) = R - {-4,2,3}
Abraço,
Ralph
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de MiguelEnviada
em: sexta-feira, 7 de abril de 2006 14:56Para:
obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Determinar
imagem
Olá a todos.
Qual o procedimento para determinar imagens de funções numéricas?
tipo:
(1) f(x) = raiz(x(x - 2))
(2) g(x) = (x^2 + 3x - 4)(x^2 - 9)/(x^2 + x - 12)(x + 3)
Desde já, agradeço.
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Re: [obm-l] Determinar imagem
Por isso me referi a função como "numérica". Neste caso, quando outras indicações não são dadas (domínio e contradomínio), subentende-se sempre que o domínio de f é o domínio de existência da expressão algébrica dada no conjunto dos reais. Se não me engano, isso se chama Regra do domínio máximo. Ronaldo Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Qual é o domínio? Quando você especifica uma função, tem que dizer o domínio e o contradomínio... senão não dá para achar a imagem. Pelo que eu li a tempos atrás (li isso em um livro de topologia geral) a função f:[0,1] --> C tal que f(x) = 2x é diferente de f: R --> tal que f(x) = 2x, apesar delas terem a mesma fórmula analítica ... Acho que precisa ser mais explícito para poder ter um algoritmo computacional (ou mesmo uma técnica algébrica) ... Matemáticos que me corrijam, por favor. Gandhi. - Original Message - From: Miguel To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, April 07, 2006 2:56 PM Subject: [obm-l] Determinar imagemOlá a todos. Qual o procedimento para determinar imagens de funções numéricas? tipo: (1) f(x) = raiz(x(x - 2)) (2) g(x) = (x^2 + 3x - 4)(x^2 - 9)/(x^2 + x - 12)(x + 3) Desde já, agradeço. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re: [obm-l] Determinar imagem
Olá Miguel e pessoal da lista!!! A imagem de uma função são todos os valores que ela pode assumir a partir de todos possíveis valores do domínio. (1) Como existe uma raiz quadrada, e acredito que o domínio pertence aos números reais, o que está dentro da raiz (radicando) precisa ser maior ou igual a zero. Portanto: x*(x-2) >= 0 Para que a multiplicação acima seja maior ou igual a zero, temos que verificar para quais valores de x isso é verdadeiro (ambos os termos -- x e x-2 -- positivos ou ambos negativos). Separando os dois termos sendo multiplicados, x >= 0 e x-2 >= 0. Se colocarmos em uma linha reta que representa os valores reais: x >= 0 --> -.0+2+. x-2 >= 0 --> x >= 2 -> -.0-.2...+. x*(x-2) --> +0-.2...+. Os sinais na última linha são encontrados utilizando as regras de multiplicação (sinais iguais dá +, diferentes dá - ). Dessa forma, quando calculamos f(2+) obtemos 0+ e f(0-) obtemos 0+, ou seja, Imagem = [0, inf). Os sinais de + e de - que coloquei ao lado dos números significa que continua à direita ou esquerda, aumentando os valores ou diminuindo. O gráfico seriam duas meia-parábolas (só os valores de y positivos) com eixo de simetria no eixo y e simétricas entre si pela reta x = 1; (2) Como a função possui denominador e este não pode assumir o valor 0, temos que x^2+x-12 <> 0 e x+3 <> 0, o que nos dá x <> -4, x<> 3 (raízes da primeira equação) e x <> -3 (raíz da segunda equação). Esses são pontos de descontinuidade, não existe um valor definido para g(x) nestes pontos. Podemos tentar simplificar a função e facilitar a visualização de sua imagem. Para simplificar distribui-se os termos de ambos numerador e denominador, sendo que depois efetua-se uma divisão dos dois polinômios encontrados: (x^2+3x-4)*(x^2-9) = x^4-9x^2+3x^3-27x-4x^2+36 = x^4+3x^3-13x^2-27x+36 (x^2+x-12)*(x+3) = x^3+3x^2+x^2+3x-12x-36 = x^3+4x^2-9x-36 Assim, a função pode ser reescrita: (x^4+3x^3-13x^2-27x+36)/(x^3+4x^2-9x-36) Após efetuar a divisão dos polinômios, chega-se ao quociente x-1 e ao resto 0 (o polinômio do numerador é divisível pelo do denominador), o que mostra que a função é uma reta. Para efetuar a divisão, coloque o polinômio do numerador na esquerda e o do denominador na direita do "L" da divisão (não lembro o nome deste símbolo) assim como para a divisão de dois números. A divisão é realizada pegando-se o primeiro termo do polinômio do numerador e divindo-se pelo primeiro termo do polinômio do denominador, ou seja, x^4 / x^3 = x que nos dá o primeiro termo no quociente. Multiplica-se este termo x por todos os termos do polinômio do denominador e subtrai-se do polinômio do lado esquerdo do "L", nos dando um resto igual a -x^3-4x^2+9x+36. Depois pega-se o primeiro termo no resto, -x^3, e divide-se pelo primeiro termo do divisor (polinômio do denominador), o que nos dá -1. Novamente, multiplica-se -1 por todos os termos do divisor e subtrai-se do polinômio que é o resto da divisão anterior, o que dará 0 como resto e x-1 como quociente. Portanto, a imagem da função g(x) são todos os números reais (uma função do 1º grau como x-1 pode assumir quaisquer valores) exceto nos pontos -4, -3 e 3 em que a função não é definida quando colocada na forma de divisão anterior. Qualquer dúvida ou alguma coisa que escrevi errado me avisem, Abraços!!! On 4/7/06, Miguel <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Olá a todos. > Qual o procedimento para determinar imagens de funções numéricas? tipo: > (1) f(x) = raiz(x(x - 2)) > (2) g(x) = (x^2 + 3x - 4)(x^2 - 9)/(x^2 + x - 12)(x + 3) > Desde já, agradeço. > > > > > Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular > e anti-spam realmente eficaz. > > -- Henrique "Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão pequeno que não possa ensinar." "There's no one that is so great that could not learn nor so small that could not teach." "O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais." - Piaget "The confident individual try more, err more, learn more." - Piaget = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Determinar imagem
Qual é o domínio? Quando você especifica uma função, tem que dizer o domínio e o contradomínio... senão não dá para achar a imagem. Pelo que eu li a tempos atrás (li isso em um livro de topologia geral) a função f:[0,1] --> C tal que f(x) = 2x é diferente de f: R --> tal que f(x) = 2x, apesar delas terem a mesma fórmula analítica ... Acho que precisa ser mais explícito para poder ter um algoritmo computacional (ou mesmo uma técnica algébrica) ... Matemáticos que me corrijam, por favor. Gandhi. - Original Message - From: Miguel To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, April 07, 2006 2:56 PM Subject: [obm-l] Determinar imagem Olá a todos. Qual o procedimento para determinar imagens de funções numéricas? tipo: (1) f(x) = raiz(x(x - 2)) (2) g(x) = (x^2 + 3x - 4)(x^2 - 9)/(x^2 + x - 12)(x + 3) Desde já, agradeço. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
[obm-l] Determinar imagem
Olá a todos. Qual o procedimento para determinar imagens de funções numéricas? tipo: (1) f(x) = raiz(x(x - 2)) (2) g(x) = (x^2 + 3x - 4)(x^2 - 9)/(x^2 + x - 12)(x + 3) Desde já, agradeço. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
