[obm-l] Diferenciabilidade de funcoes monotonicas
Oi, Sabemos que se f eh monotonica em um intervalo I, entao o conjunto das descontinuidades de f em I eh enumeravel. Eu tenho 3 duvidas: 1) Os pontos de descontinuidade de f em I tem que ser isolados? Aparentemente sao, mas nao tenho certeza. 2) Existe alguma conclusao que possamos tirar a respeito do conjuto dos pontos de I nos quais f nao eh diferenciavel? Ele tambem eh enumeravel? 3) Se I for compacto, entao f eh integravel em I mesmo que seja descontinua, certo? A prova disto eh simples? Ana __ Do you Yahoo!? Y! Messenger - Communicate in real time. Download now. http://messenger.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Diferenciabilidade de funcoes monotonicas
Oi Ana, 1) Nao, nao tem. Os pontos de descontinuidade de uma f monotonica podem muito bem ser pontos de acumulacao do conjunto das descontinuidades. Eu jah vi um exemplo disto, soh que no momento nao me lembro. Acho que nao era muito patologico, nao. 2) O conjunto dos pontos em que uma f monotonica eh descontinua tem medida (de Lebesgue) nula (nao me peca para provar isto, eh um assunto que eu estou estudando - mas tem em qualquer livro de teoria de medidas). Isto, porem, nao significa que este conjunto seja enumeravel. Caso vc ainda nao tenha ouvido falar em conjuntos de medida (de Lebesgue) nula, este eh um conceito ligado aa teoria de medidas. Mas, na reta real, dizer que A tem medida nula eh equivalente a dizer que, para todo eps0, existe uma cobertura enumeravel de A por intervalos abertos (a_n, b_n) tal que Soma (i=1, oo) (b_n - a_n) eps. Todo subconjunto enumeravel de R tem medida nula, mas a reciproca nao eh verdadeira. Na linguagem da t. de medidas, quando uma propriedade P eh satisfeita em um conjunto C com possivel excecao de um subconjunto de C que tenha medida nula, diz-se que P eh satisfeita em quase todo o C. Assim, se f eh monotonica em I, entao f eh diferenciavel em quase todo o I (e continua tambem). Em tempo: quando se usa a palavra medida sem especificar qual medida eh, normalmente subentende-se que eh a de lebesgue. Conjuntos de medida nula sao usualmente denominados de conjuntos nulos. 3) Sim. A prova disto baseada diretamente na definicao de integral, por particoes, refinamentos e somas de Riemann, eh um tanto trabalhosa, embora nao seja dificil (tem em qualquer livro de calculo). Mas se vc considerar o criterio de Lebesgue para a integrabilidade de Riemann (que nem todo livro de calculo cita), eh imediato. Segundo este criterio, uma f eh Riemann integravel em [a,b] se, e somente se, f for limitada em [a,b]e continua em quase todo [a,b]. Se f eh monotonica em [a,b], entao f eh automaticamente limitada neste intervalo. E como o conjunto de suas decontinuidades em [a,b] eh enumeravel, tem medida nula, de modo que f eh continua em quase todo o [a,b]. Logo, f eh Riemann integravel. (Detalhe: Eh claro que esta prova simples so eh possivel depois de termos demonstrado o criterio de Lebesgue - cuja demonstracao nao eh assim tao imediata) Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Diferenciabilidade de funcoes monotonicas Data: 26/10/04 13:52 Oi, Sabemos que se f eh monotonica em um intervalo I, entao o conjunto das descontinuidades de f em I eh enumeravel. Eu tenho 3 duvidas: 1) Os pontos de descontinuidade de f em I tem que ser isolados? Aparentemente sao, mas nao tenho certeza. 2) Existe alguma conclusao que possamos tirar a respeito do conjuto dos pontos de I nos quais f nao eh diferenciavel? Ele tambem eh enumeravel? 3) Se I for compacto, entao f eh integravel em I mesmo que seja descontinua, certo? A prova disto eh simples? OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Diferenciabilidade de funcoes monotonicas
Corrigindo, no item 2 eh o conjunto dos pontos em que uma f monotonica nao eh diferenciavel tem medida (de Lebesgue) nula. Claro, jah que falavamos de diferenciabilidade. Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Diferenciabilidade de funcoes monotonicas
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Tue, 26 Oct 2004 07:35:26 -0700 (PDT)
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[obm-l] Diferenciabilidade de funcoes monotonicas
Oi,
Sabemos que se f eh monotonica em um intervalo I,
entao o conjunto das descontinuidades de f em I eh
enumeravel. Eu tenho 3 duvidas:
1) Os pontos de descontinuidade de f em I tem que ser
isolados? Aparentemente sao, mas nao tenho certeza.
Não.
Seja f:(-1,1) - R dada por:
f(x) = -2, se -1 x 0;
f(0) = -1;
f(x) = 1/n, se 1/(n+1) = x 1/n, para n = 1, 2, 3, ...
f é monótona não-decrescente e descontínua no conjunto:
{0} união {1/n | n = 2, 3, 4, ... }
Naturalmente, 0 é ponto de acumulação do conjunto dos pontos de descontinuidade de f.
[]s,
Claudio.
Re:[obm-l] Diferenciabilidade de funcoes monotonicas
Obrigada. De fato, nao e uma funcao assim tao
patologica.
Ana
--- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
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Data:Tue, 26 Oct 2004 07:35:26 -0700 (PDT)
Assunto:[obm-l] Diferenciabilidade de funcoes
monotonicas
Oi,
Sabemos que se f eh monotonica em um intervalo I,
entao o conjunto das descontinuidades de f em I eh
enumeravel. Eu tenho 3 duvidas:
1) Os pontos de descontinuidade de f em I tem que
ser
isolados? Aparentemente sao, mas nao tenho
certeza.
Não.
Seja f:(-1,1) - R dada por:
f(x) = -2, se -1 x 0;
f(0) = -1;
f(x) = 1/n, se 1/(n+1) = x 1/n, para n = 1, 2, 3,
...
f é monótona não-decrescente e descontínua no
conjunto:
{0} união {1/n | n = 2, 3, 4, ... }
Naturalmente, 0 é ponto de acumulação do conjunto
dos pontos de descontinuidade de f.
[]s,
Claudio.
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