Re: [obm-l] Equacao funcional.
f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 y=0 f(x^2)=f(f(x)) f(x)=0 f(x^2+y)+f(-y)=2f(0)+2y^2 y=0 f(0)=f(x^2) x^2=0 x=0 e raiz f(0)=0 f(1)=1 f(x^2+x)+f(f(x)-x)=2ff(x)+2x^2 f(4)+f(f(2)-2)=2ff(2)+8 f(2)+f(f(1)-1)=2ff(1)+2 f(2)=4 f(4)=4+2f(4) f(4)=-4 f(3)+f(f(2)+1)=2ff(2)+2 f(3)+f(5)=-6 f(y)+f(-y)=2y^2 f(-1)=1 1+f(3)=4 f(3)=-3 f(5)=-3 f(6)=-4 f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 f(7)+1=-8+18 f(7)=9 f(8)=0 f(9)=41 f(10)=4 f(11)+162-41=4 f(11)=-117 e so encontrar varios pontos, plotar e encontrar as funções que se adaptam melhor aos pontos. 2014-08-26 22:42 GMT-03:00 Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com: Aproveitando o momento alguém poderia me ajudar nessa questão?? Determine todas as funções contínuas que projeta três termos sucessivos de uma progressão aritmética em três termos de uma progressão geométrica. Desde já agradeço qualquer ajuda. Em 26 de agosto de 2014 07:40, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Espetaculo, muito obrigado!! Em 26 de agosto de 2014 05:26, g...@impa.br escreveu: Caro Douglas, Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2. Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4. Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos f(y)+f(-y)=2y^2, mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde necessariamente f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real. Abraços, Gugu Quoting Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!! Problema: Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t pertencentes aos reais, determinar todas as funções f:R-R. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Equacao funcional.
Caro Douglas, Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2. Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4. Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos f(y)+f(-y)=2y^2, mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde necessariamente f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real. Abraços, Gugu Quoting Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!! Problema: Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t pertencentes aos reais, determinar todas as funções f:R-R. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao funcional.
Espetaculo, muito obrigado!! Em 26 de agosto de 2014 05:26, g...@impa.br escreveu: Caro Douglas, Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2. Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4. Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos f(y)+f(-y)=2y^2, mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde necessariamente f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real. Abraços, Gugu Quoting Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!! Problema: Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t pertencentes aos reais, determinar todas as funções f:R-R. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Equacao funcional.
Aproveitando o momento alguém poderia me ajudar nessa questão?? Determine todas as funções contínuas que projeta três termos sucessivos de uma progressão aritmética em três termos de uma progressão geométrica. Desde já agradeço qualquer ajuda. Em 26 de agosto de 2014 07:40, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Espetaculo, muito obrigado!! Em 26 de agosto de 2014 05:26, g...@impa.br escreveu: Caro Douglas, Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2. Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4. Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos f(y)+f(-y)=2y^2, mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde necessariamente f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real. Abraços, Gugu Quoting Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!! Problema: Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t pertencentes aos reais, determinar todas as funções f:R-R. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Equacao funcional.
Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!! Problema: Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t pertencentes aos reais, determinar todas as funções f:R-R. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] equacao funcional
Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
RE: [obm-l] equacao funcional
DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] equacao funcionalTo: obm-l@mat.puc-rio.br Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
RE: [obm-l] equacao funcional
Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante. Suponhamos que f é não constante; Assim existe algum x nos reais, digamos x_1, tal que f(x_1) é diferente de f(x_2), x_2 também nos reais e x_1 diferente de x_2. Assim f(x_1+x_2) = f(x_1*x_2); f(x_1+0) = f(0*0) , isto é f(x_1) = f(0). f(x_2+0) = f(x_2*0), que nos dá f(x_2) = f(0) O que nos mostra que f(x_1) = f(x_2). O que é absurdo pois supomos que f é não constante. Logo, concluímos que f é função constante. Anselmo :-) _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
Re: [obm-l] equacao funcional
Note que para todo t = 2, podemos encontrar um s real positivo tal que t = s + 1/s = (s^2+1)/s. Com efeito, s^2 - ts + 1 = 0, onde o discriminante é t^2 - 4. Daí tiramos que f(t) = f(s + 1/s) = f(1) para t = 2. Para todo t, 1 t 2, encontramos s, 1 s (t) 2, tal que s^2 = t. Assim f(t) = f(s*s) = f(s+s (2) ) = f(1). Finalmente, para 0 t 1, f(t) = f(1*t) = f(1 + t) = f(1). Bruno 2007/12/20, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]: Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante. -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento! -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] equacao funcional
como f(x+y)=f(xy), fazendo x=1 f(y+1)=f(y) assim se provarmos que f(t) é constante para t pertencente a (0,1] acaba. da propriedade acima tambem temos tambem que f(nx)=f(x) e f(n+x)=f(x) para x real positivo e n natural. seja r um irracional e b natural, temos que f(br)=f(r) e tambem temos que f( br )= f( [br] + {br} )=f( [br]{br} )=f( {br} ) pois [br] é natural.. onde [br] é o menor inteiro maior ou igual a br e {br} é a parte fracionaria. assim f( {br} ) = f(r) Pelo teorema de Kronecker temos que {br} é denso em (0,1) logo, como f( {br} ) = f(r) para b natural, temos que f(x) é constante para x pertencente a (0,1). Como f(1)=f(1/2+ 1/2)=f(1/4) acabou. espero que esteja correto. Abraços, Felipe Diniz On Dec 20, 2007 10:57 AM, Anselmo Alves de Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO -- Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800 From: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] equacao funcional To: obm-l@mat.puc-rio.br Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante. -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento! -- Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu! http://www.amigosdomessenger.com.br
RES: [obm-l] equacao funcional
Nesta prova, não foi implicitamente admitida a continuidae de f? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Felipe Diniz Enviada em: quinta-feira, 20 de dezembro de 2007 13:24 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] equacao funcional como f(x+y)=f(xy), fazendo x=1 f(y+1)=f(y) assim se provarmos que f(t) é constante para t pertencente a (0,1] acaba. da propriedade acima tambem temos tambem que f(nx)=f(x) e f(n+x)=f(x) para x real positivo e n natural. seja r um irracional e b natural, temos que f(br)=f(r) e tambem temos que f( br )= f( [br] + {br} )=f( [br]{br} )=f( {br} ) pois [br] é natural.. onde [br] é o menor inteiro maior ou igual a br e {br} é a parte fracionaria. assim f( {br} ) = f(r) Pelo teorema de Kronecker temos que {br} é denso em (0,1) logo, como f( {br} ) = f(r) para b natural, temos que f(x) é constante para x pertencente a (0,1). Como f(1)=f(1/2+ 1/2)=f(1/4) acabou. espero que esteja correto. Abraços, Felipe Diniz On Dec 20, 2007 10:57 AM, Anselmo Alves de Sousa [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] wrote: DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO _ Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800 From: [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] equacao funcional To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante. _ Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento! _ Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu!http://www.amigosdomessenger.com.br
Res: [obm-l] Equacao funcional II
Olá Shine, obrigado pelo esclarecimento. Contudo, ainda tenho algumas dúvidas. Como que eu construo f nos inteiros? Como eu acho f(2) , f(3), f(5)... tentei aqui, mas num consegui não. E tb por que definiu-se f(p_n) = p_(n-1) p/ n par ; 1/p_(n+1) p/ n impar? O que lhe chamou a atenção pra provar que f é multiplicativa? Grato. - Mensagem original De: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 25 de Julho de 2007 19:00:30 Assunto: Re: [obm-l] Equacao funcional II Oi Klaus, O fato central que mostra que a função só precisa ser definida nos primos é que a função é multiplicativa, ou seja, que f(xy) = f(x)f(y) (o que foi feito no artigo). Assim, no seu exemplo, f(4) = f(2).f(2), e precisamos só definir f(2), e 2 é primo. Mas permita-me dar um argumento tentativamente mais convincente. Primeiro, vou provar que só precisamos definir f nos inteiros: como f é de Q+ em Q+, então só precisamos definir f(x), com x = m/n, m, n inteiros positivos (note que Q+ é o conjunto dos racionais positivos). Note que nx = m, e como f é multiplicativa f(m) = f(n)f(x) = f(x) = f(m)/f(n). Por exemplo, f(3/7) = f(3)/f(7). Assim, encontrados os valores da função em Z+, encontramos os valores da função em Q+. Agora, os primos. Primeiro, note que f(1) = f(1)f(1) e, sendo f de Q+ em Q+, f(1) = 1 (note que f só assume valores racionais positivos, logo f(x) não pode ser igual a zero). Agora, note que todo inteiro maior do que 1 pode ser escrito como produto de primos. Por exemplo, 6000 = 2^4 . 3 . 5^3. Aí, como f é multiplicativa, f(n) é igual ao produto da f dos primos de sua fatoração. No nosso exemplo, f(6000) = (f(2))^4 . f(3) . (f(5))^3. Observe também que f(mnp) = f(m)f(np) = f(m)f(n)f(p), ou seja, uma função multiplicativa a é para mais de dois fatores também (a demonstração formal disso é por indução sobre a quantidade de fatores, mas tenho certeza de que você consegue enxergá-la). Bom, talvez a sua dúvida seja por que a função é multiplicativa. Para isso, faça x = 1 para ver que f(f(y)) = f(1)/y e, sendo f(1) diferente de zero, f(f(y)) é uma função bijetora e, portanto, f também é bijetora, em particular injetora (a demonstração da injetividade é bem rápida: f(x) = f(y) = f(f(x)) = f(f(y)) = f(1)/x = f(1)/y = x = y). Agora, note que f(f(xy)) = f(1)/xy (é só trocar x por 1 e y por xy) e f(f(x)f(y)) = f(f(x))/y = f(1)/xy (troque x por f(x) e lembre que f(f(x)) = f(1)/x). Logo f(f(xy)) = f(f(x)f(y)) e, sendo f injetora, f(xy) = f(x)f(y). []'s Shine - Original Message From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, July 25, 2007 5:54:36 PM Subject: [obm-l] Equacao funcional II No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre equações funcionais do Eduardo Tengan. Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por quê? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu para os primos. Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais. Need a vacation? Get great deals to amazing places on Yahoo! Travel. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
[obm-l] Equacao funcional II
No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre equações funcionais do Eduardo Tengan. Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por quê? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu para os primos. Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
Re: [obm-l] Equacao funcional II
Oi Klaus, O fato central que mostra que a função só precisa ser definida nos primos é que a função é multiplicativa, ou seja, que f(xy) = f(x)f(y) (o que foi feito no artigo). Assim, no seu exemplo, f(4) = f(2).f(2), e precisamos só definir f(2), e 2 é primo. Mas permita-me dar um argumento tentativamente mais convincente. Primeiro, vou provar que só precisamos definir f nos inteiros: como f é de Q+ em Q+, então só precisamos definir f(x), com x = m/n, m, n inteiros positivos (note que Q+ é o conjunto dos racionais positivos). Note que nx = m, e como f é multiplicativa f(m) = f(n)f(x) = f(x) = f(m)/f(n). Por exemplo, f(3/7) = f(3)/f(7). Assim, encontrados os valores da função em Z+, encontramos os valores da função em Q+. Agora, os primos. Primeiro, note que f(1) = f(1)f(1) e, sendo f de Q+ em Q+, f(1) = 1 (note que f só assume valores racionais positivos, logo f(x) não pode ser igual a zero). Agora, note que todo inteiro maior do que 1 pode ser escrito como produto de primos. Por exemplo, 6000 = 2^4 . 3 . 5^3. Aí, como f é multiplicativa, f(n) é igual ao produto da f dos primos de sua fatoração. No nosso exemplo, f(6000) = (f(2))^4 . f(3) . (f(5))^3. Observe também que f(mnp) = f(m)f(np) = f(m)f(n)f(p), ou seja, uma função multiplicativa a é para mais de dois fatores também (a demonstração formal disso é por indução sobre a quantidade de fatores, mas tenho certeza de que você consegue enxergá-la). Bom, talvez a sua dúvida seja por que a função é multiplicativa. Para isso, faça x = 1 para ver que f(f(y)) = f(1)/y e, sendo f(1) diferente de zero, f(f(y)) é uma função bijetora e, portanto, f também é bijetora, em particular injetora (a demonstração da injetividade é bem rápida: f(x) = f(y) = f(f(x)) = f(f(y)) = f(1)/x = f(1)/y = x = y). Agora, note que f(f(xy)) = f(1)/xy (é só trocar x por 1 e y por xy) e f(f(x)f(y)) = f(f(x))/y = f(1)/xy (troque x por f(x) e lembre que f(f(x)) = f(1)/x). Logo f(f(xy)) = f(f(x)f(y)) e, sendo f injetora, f(xy) = f(x)f(y). []'s Shine - Original Message From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, July 25, 2007 5:54:36 PM Subject: [obm-l] Equacao funcional II No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre equações funcionais do Eduardo Tengan. Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por quê? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu para os primos. Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais. Building a website is a piece of cake. Yahoo! Small Business gives you all the tools to get online. http://smallbusiness.yahoo.com/webhosting