Re: [obm-l] Equacao funcional.

2014-08-27 Por tôpico saulo nilson
f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2
y=0
f(x^2)=f(f(x))
f(x)=0
f(x^2+y)+f(-y)=2f(0)+2y^2
y=0
f(0)=f(x^2)
x^2=0
x=0 e raiz
f(0)=0
f(1)=1
f(x^2+x)+f(f(x)-x)=2ff(x)+2x^2
f(4)+f(f(2)-2)=2ff(2)+8
f(2)+f(f(1)-1)=2ff(1)+2
f(2)=4
f(4)=4+2f(4)
f(4)=-4
f(3)+f(f(2)+1)=2ff(2)+2
f(3)+f(5)=-6
f(y)+f(-y)=2y^2
f(-1)=1
1+f(3)=4
f(3)=-3
f(5)=-3
f(6)=-4
f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2
f(7)+1=-8+18
f(7)=9
f(8)=0
f(9)=41
f(10)=4
f(11)+162-41=4
f(11)=-117
e so encontrar varios pontos, plotar e encontrar as funções que se adaptam
melhor aos pontos.



2014-08-26 22:42 GMT-03:00 Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com:

 Aproveitando o momento alguém poderia me ajudar nessa questão??

 Determine todas as funções contínuas que projeta três termos sucessivos de
 uma progressão aritmética em três termos de uma progressão geométrica.
 Desde já agradeço qualquer ajuda.


 Em 26 de agosto de 2014 07:40, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Espetaculo, muito obrigado!!


 Em 26 de agosto de 2014 05:26, g...@impa.br escreveu:

Caro Douglas,
Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou
 f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos f(y)+f(-y)=2y^2,
 mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde necessariamente
 f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real.
Abraços,
  Gugu


 Quoting Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com:

  Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja
 agradeço!!

 Problema:  Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t
 pertencentes
 aos reais, determinar todas as funções f:R-R.

 Douglas Oliveira.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.





 
 This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 
 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.



Re: [obm-l] Equacao funcional.

2014-08-26 Por tôpico gugu

   Caro Douglas,
   Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
   Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
   Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou  
f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos  
f(y)+f(-y)=2y^2, mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde  
necessariamente f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real.

   Abraços,
 Gugu

Quoting Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com:


Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!!

Problema:  Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t pertencentes
aos reais, determinar todas as funções f:R-R.

Douglas Oliveira.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.







This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


Re: [obm-l] Equacao funcional.

2014-08-26 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima
Espetaculo, muito obrigado!!


Em 26 de agosto de 2014 05:26, g...@impa.br escreveu:

Caro Douglas,
Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou
 f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos f(y)+f(-y)=2y^2,
 mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde necessariamente
 f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real.
Abraços,
  Gugu


 Quoting Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com:

  Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!!

 Problema:  Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t
 pertencentes
 aos reais, determinar todas as funções f:R-R.

 Douglas Oliveira.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.





 
 This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.



Re: [obm-l] Equacao funcional.

2014-08-26 Por tôpico Jeferson Almir
Aproveitando o momento alguém poderia me ajudar nessa questão??

Determine todas as funções contínuas que projeta três termos sucessivos de
uma progressão aritmética em três termos de uma progressão geométrica.
Desde já agradeço qualquer ajuda.


Em 26 de agosto de 2014 07:40, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Espetaculo, muito obrigado!!


 Em 26 de agosto de 2014 05:26, g...@impa.br escreveu:

Caro Douglas,
Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou
 f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos f(y)+f(-y)=2y^2,
 mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde necessariamente
 f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real.
Abraços,
  Gugu


 Quoting Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com:

  Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!!

 Problema:  Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t
 pertencentes
 aos reais, determinar todas as funções f:R-R.

 Douglas Oliveira.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.





 
 This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.



[obm-l] Equacao funcional.

2014-08-25 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima
Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!!

Problema:  Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t pertencentes
aos reais, determinar todas as funções f:R-R.

Douglas Oliveira.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.



[obm-l] equacao funcional

2007-12-20 Por tôpico Klaus Ferraz
Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para 
todo x e y positivos. Mostre que f é uma  funcao constante.


  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento!
http://br.mail.yahoo.com/

RE: [obm-l] equacao funcional

2007-12-20 Por tôpico Anselmo Alves de Sousa
 
 
DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO


Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] equacao 
funcionalTo: obm-l@mat.puc-rio.br




Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para 
todo x e y positivos. Mostre que f é uma  funcao constante.


Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! 
_
Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger!
http://www.amigosdomessenger.com.br/

RE: [obm-l] equacao funcional

2007-12-20 Por tôpico Anselmo Alves de Sousa





Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para 
todo x e y positivos. Mostre que f é uma  funcao constante.

Suponhamos que f é não constante; Assim existe algum x nos reais, digamos x_1, 
tal que f(x_1) é diferente de f(x_2), x_2 também nos reais e x_1 diferente de 
x_2.
 
Assim f(x_1+x_2) = f(x_1*x_2);
 
f(x_1+0) = f(0*0) , isto é f(x_1) = f(0).
f(x_2+0) = f(x_2*0), que nos dá f(x_2) = f(0)
 
O que nos mostra que f(x_1) = f(x_2). O que é absurdo pois supomos que f é não 
constante.
 
Logo, concluímos que f é função constante.
 
 
Anselmo :-)
_
Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver 
offline. Conheça  o MSN Mobile!
http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br

Re: [obm-l] equacao funcional

2007-12-20 Por tôpico Bruno França dos Reis
Note que para todo t = 2, podemos encontrar um s real positivo tal que t =
s + 1/s = (s^2+1)/s. Com efeito, s^2 - ts + 1 = 0, onde o discriminante é
t^2 - 4. Daí tiramos que f(t) = f(s + 1/s) = f(1) para t = 2.
Para todo t, 1  t  2, encontramos s, 1  s (t)  2, tal que s^2 = t.
Assim f(t) = f(s*s) = f(s+s (2) ) = f(1). Finalmente, para 0  t  1, f(t)
= f(1*t) = f(1 + t) = f(1).

Bruno

2007/12/20, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]:

 Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy)
 para todo x e y positivos. Mostre que f é uma  funcao constante.


 --
 Abra sua conta no Yahoo! 
 Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/,
 o único sem limite de espaço para armazenamento!




-- 
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

e^(pi*i)+1=0


Re: [obm-l] equacao funcional

2007-12-20 Por tôpico Felipe Diniz
como f(x+y)=f(xy), fazendo x=1
f(y+1)=f(y)
assim se provarmos que f(t) é constante para t pertencente a (0,1] acaba.

da propriedade acima tambem temos tambem que f(nx)=f(x) e f(n+x)=f(x) para x
real positivo e n natural.


seja r um irracional e b natural, temos que
f(br)=f(r)
e tambem temos que
f( br )=  f( [br] + {br} )=f( [br]{br} )=f( {br} ) pois [br] é natural..
onde [br] é o menor inteiro maior ou igual a br e {br} é a parte
fracionaria.
assim f( {br} ) = f(r)
Pelo teorema de Kronecker temos que {br} é denso em (0,1) logo, como f( {br}
) = f(r) para b natural, temos que f(x) é constante para x pertencente a
(0,1).

Como f(1)=f(1/2+ 1/2)=f(1/4) acabou.


espero que esteja correto.

Abraços,
Felipe Diniz




On Dec 20, 2007 10:57 AM, Anselmo Alves de Sousa [EMAIL PROTECTED] 
wrote:





 DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO


  --
 Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800
 From: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] equacao funcional
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

  Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy)
 para todo x e y positivos. Mostre que f é uma  funcao constante.


 --
 Abra sua conta no Yahoo! 
 Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/,
 o único sem limite de espaço para armazenamento!


 --
 Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie
 já o seu! http://www.amigosdomessenger.com.br



RES: [obm-l] equacao funcional

2007-12-20 Por tôpico Artur Costa Steiner
Nesta prova, não foi implicitamente admitida a continuidae de f?
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Felipe Diniz
Enviada em: quinta-feira, 20 de dezembro de 2007 13:24
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] equacao funcional


como f(x+y)=f(xy), fazendo x=1
f(y+1)=f(y)
assim se provarmos que f(t) é constante para t pertencente a (0,1] acaba.

da propriedade acima tambem temos tambem que f(nx)=f(x) e f(n+x)=f(x) para x 
real positivo e n natural.


seja r um irracional e b natural, temos que
f(br)=f(r)
e tambem temos que
f( br )=  f( [br] + {br} )=f( [br]{br} )=f( {br} ) pois [br] é natural.. onde 
[br] é o menor inteiro maior ou igual a br e {br} é a parte fracionaria.
assim f( {br} ) = f(r)
Pelo teorema de Kronecker temos que {br} é denso em (0,1) logo, como f( {br} ) 
= f(r) para b natural, temos que f(x) é constante para x pertencente a (0,1).

Como f(1)=f(1/2+ 1/2)=f(1/4) acabou.


espero que esteja correto.

Abraços,
Felipe Diniz





On Dec 20, 2007 10:57 AM, Anselmo Alves de Sousa  [EMAIL PROTECTED] 
mailto:[EMAIL PROTECTED]  wrote:






DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO




  _

Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800
From: [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] equacao funcional
To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br


Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para 
todo x e y positivos. Mostre que f é uma  funcao constante.


  _

Abra sua conta no Yahoo! 
Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o 
único sem limite de espaço para armazenamento!


  _

Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie 
já o seu!http://www.amigosdomessenger.com.br




Res: [obm-l] Equacao funcional II

2007-07-26 Por tôpico Klaus Ferraz
Olá Shine,
obrigado pelo esclarecimento. Contudo, ainda tenho algumas 
dúvidas.
Como que eu construo f nos inteiros? Como eu acho f(2) , f(3), f(5)... tentei 
aqui, mas num consegui não. E tb por que definiu-se f(p_n) = p_(n-1) p/ n par ; 
1/p_(n+1) p/ n impar?
O que lhe chamou a atenção pra provar que f é multiplicativa? 
Grato.


- Mensagem original 
De: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 25 de Julho de 2007 19:00:30
Assunto: Re: [obm-l] Equacao funcional II


Oi Klaus,
 
O fato central que mostra que a função só precisa ser definida nos primos é que 
a função é multiplicativa, ou seja, que f(xy) = f(x)f(y) (o que foi feito no 
artigo). Assim, no seu exemplo, f(4) = f(2).f(2), e precisamos só definir 
f(2), e 2 é primo.
 
Mas permita-me dar um argumento tentativamente mais convincente. Primeiro, vou 
provar que só precisamos definir f nos inteiros: como f é de Q+ em Q+, então só 
precisamos definir f(x), com x = m/n, m, n inteiros positivos (note que Q+ é o 
conjunto dos racionais positivos). Note que nx = m, e como f é multiplicativa 
f(m) = f(n)f(x) = f(x) = f(m)/f(n). Por exemplo, f(3/7) = f(3)/f(7). Assim, 
encontrados os valores da função em Z+, encontramos os valores da função em Q+.
 
Agora, os primos. Primeiro, note que f(1) = f(1)f(1) e, sendo f de Q+ em Q+, 
f(1) = 1 (note que f só assume valores racionais positivos, logo f(x) não pode 
ser igual a zero). Agora, note que todo inteiro maior do que 1 pode ser escrito 
como produto de primos. Por exemplo, 6000 = 2^4 . 3 . 5^3. Aí, como f é 
multiplicativa, f(n) é igual ao produto da f dos primos de sua fatoração. No 
nosso exemplo,  f(6000) = (f(2))^4 . f(3) . (f(5))^3. Observe também que f(mnp) 
= f(m)f(np) = f(m)f(n)f(p), ou seja, uma função multiplicativa a é para mais de 
dois fatores também (a demonstração formal disso é por indução sobre a 
quantidade de fatores, mas tenho certeza de que você consegue enxergá-la).

Bom, talvez a sua dúvida seja por que a função é multiplicativa. Para isso, 
faça x = 1 para ver que  f(f(y)) = f(1)/y e, sendo f(1) diferente de zero, 
f(f(y)) é uma função bijetora e, portanto, f também é bijetora, em particular 
injetora (a demonstração da injetividade é bem rápida: f(x) = f(y) = f(f(x)) = 
  f(f(y)) = f(1)/x = f(1)/y = x = y).

Agora, note que f(f(xy)) = f(1)/xy (é só trocar x por 1 e y por xy) e 
f(f(x)f(y)) = f(f(x))/y = f(1)/xy (troque x por f(x) e lembre que f(f(x)) = 
f(1)/x). Logo f(f(xy)) = f(f(x)f(y)) e, sendo f injetora, f(xy) =   f(x)f(y).
 
[]'s
Shine
 
- Original Message 
From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, July 25, 2007 5:54:36 PM
Subject: [obm-l] Equacao funcional II


No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre 
equações funcionais do Eduardo Tengan. 
Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa 
uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a 
solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função 
para  os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por 
quê?  e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu 
para os primos.
Grato. 

Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais. 





Need a vacation? Get great deals to amazing places on Yahoo! Travel.


  Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê.
http://www.flickr.com.br/

[obm-l] Equacao funcional II

2007-07-25 Por tôpico Klaus Ferraz
No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre 
equações funcionais do Eduardo Tengan. 
Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa 
uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a 
solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função 
para  os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por 
quê?  e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu 
para os primos.
Grato.


  Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê.
http://www.flickr.com.br/

Re: [obm-l] Equacao funcional II

2007-07-25 Por tôpico Carlos Yuzo Shine
Oi Klaus,

O fato central que mostra que a função só precisa ser definida nos primos é que 
a função é multiplicativa, ou seja, que f(xy) = f(x)f(y) (o que foi feito no 
artigo). Assim, no seu exemplo, f(4) = f(2).f(2), e precisamos só definir 
f(2), e 2 é primo.

Mas permita-me dar um argumento tentativamente mais convincente. Primeiro, vou 
provar que só precisamos definir f nos inteiros: como f é de Q+ em Q+, então só 
precisamos definir f(x), com x = m/n, m, n inteiros positivos (note que Q+ é o 
conjunto dos racionais positivos). Note que nx = m, e como f é multiplicativa 
f(m) = f(n)f(x) = f(x) = f(m)/f(n). Por exemplo, f(3/7) = f(3)/f(7). Assim, 
encontrados os valores da função em Z+, encontramos os valores da função em Q+.

Agora, os primos. Primeiro, note que f(1) = f(1)f(1) e, sendo f de Q+ em Q+, 
f(1) = 1 (note que f só assume valores racionais positivos, logo f(x) não pode 
ser igual a zero). Agora, note que todo inteiro maior do que 1 pode ser escrito 
como produto de primos. Por exemplo, 6000 = 2^4 . 3 . 5^3. Aí, como f é 
multiplicativa, f(n) é igual ao produto da f dos primos de sua fatoração. No 
nosso exemplo,  f(6000) = (f(2))^4 . f(3) . (f(5))^3. Observe também que f(mnp) 
= f(m)f(np) = f(m)f(n)f(p), ou seja, uma função multiplicativa a é para mais de 
dois fatores também (a demonstração formal disso é por indução sobre a 
quantidade de fatores, mas tenho certeza de que você consegue enxergá-la).

Bom, talvez a sua dúvida seja por que a função é multiplicativa. Para isso, 
faça x = 1 para ver que  f(f(y)) = f(1)/y e, sendo f(1) diferente de zero, 
f(f(y)) é uma função bijetora e, portanto, f também é bijetora, em particular 
injetora (a demonstração da injetividade é bem rápida: f(x) = f(y) = f(f(x)) = 
  f(f(y)) = f(1)/x = f(1)/y = x = y).

Agora, note que f(f(xy)) = f(1)/xy (é só trocar x por 1 e y por xy) e 
f(f(x)f(y)) = f(f(x))/y = f(1)/xy (troque x por f(x) e lembre que f(f(x)) = 
f(1)/x). Logo f(f(xy)) = f(f(x)f(y)) e, sendo f injetora, f(xy) =   f(x)f(y).

[]'s
Shine

- Original Message 
From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, July 25, 2007 5:54:36 PM
Subject: [obm-l] Equacao funcional II


No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre 
equações funcionais do Eduardo Tengan. 
Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa 
uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a 
solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função 
para  os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por 
quê?  e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu 
para os primos.
Grato. 

Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.


   

Building a website is a piece of cake. Yahoo! Small Business gives you all the 
tools to get online.
http://smallbusiness.yahoo.com/webhosting