Se f não é contínua, no enunciado nada me impede de fazer f(x) = 1 para todo x irracional e f(y) = pi para todo y racional, já que não tem nada exigindo injetividade ou sobrejetividade.
Por outro lado, se quiséssemos f contínua, realmente não é possível. Seja I um intervalo, f:I --> R satisfazendo as 3 condições. Seja X = Q inter I, e Y = Q* inter I (* indica complementar). Logo, I = X uniao Y. Como f é função, #f(X) <= #X <=#Q. E pela condição f(Y) contido em Q, temos #f(Y) <= #Q. Logo, f(I) é enumerável. No entanto, como f é contínua e I é conexo, f(I) também é conexo, o que aliado à enumerabilidade e ao fato de que estamos em R implica que f(I) é um ponto. Assim, como f(X) inter f(Y) é vazio, a única possibilidade é que I contenha apenas racionais ou apenas irracionais, logo, sendo intervalo, I só pode consistir num único ponto. Como isso não é interessante, fica provado (se é que não cometi erros, hehehe) que, para I não-degenerado, tal f não pode existir. []s, Daniel '>'-- Mensagem Original -- '>'From: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br '>'Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Função contínua de irr '>' acionais em racionais e vice versa '>'Date: Thu, 8 Dec 2005 15:58:36 -0200 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '>' '>' '>'Mesmo que vc nao exija continuidade, acho que esta funcao nao existe, certo? '>'Se existisse, o conjunto dos irracionais seria a imagem atraves de f do '>'conjunto Q, havendo assim uma sobrejecao de Q sobre os irracionais. Mas isto '>'eh impossivel, pois - mesmo argumento que vc usou - Q eh enumeravel e os '>'irracionais nao sao. Igual consideracao vale para intervalos limitados, '>'certo? '>' '>'Artur '>' '>' -----Mensagem original----- '>'De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome '>'de '>'Bruno França dos Reis '>'Enviada em: quinta-feira, 8 de dezembro de 2005 12:47 '>'Para: OBM '>'Assunto: [obm-l] Função contínua de irracionais em racionais e vice versa '>' '>' '>' '>'Olá '>' '>'Um amigo me propôs uma questão: construa uma função f definida em algum '>'intervalo dos reais (ou em todos os reais) de forma que: '>'(i) f leva um irracional a um racional '>'(ii) leva um racional a um irracional '>'(iii) seja contínua em todos os pontos '>' '>' '>'É fácil construir uma que atenda às condições (i) e (ii). É fácil também '>'construir uma que atenda às condições (i) e (ii) e que seja racional em uma '>'quantidade finita (ou enumerável) de pontos. '>' '>'Agora não sabíamos construir uma que fosse contínua em todos. Eu acho que '>'provei que não é possível. Seria possível alguém verificar a prova? '>' '>'Tome a e b no intervalo em que f está definida, de forma que a seja um '>'racional e b seja irracional. Considere o intervalo definido por [f(a), '>'f(b)] (f(a) != f(b), obviamente), que está contido na imagem de f (pois f '>'é '>'contínua). Então temos que todos os irracionais contidos no interval '>'[f(a),f(b)], isto é: [f(a),f(b)] inter (R - Q), devem ser imagem de '>'racionais no intervalo [a,b]. Seja g uma restrição de f aos racionais do '>'intervalo [a,b], com contradomínio igual ao conjunto de todos os irracionais '>'do intervalo [f(a),f(b)], que assume os mesmos valores que f. Essa função '>'g '>'deve ser sobrejetora (pois tem que assumir pelo menos uma vez cada valor '>'irracional do intervalo [f(a),f(b)], que é exatamente seu contradomínio). '>'Então queremos construir uma função sobrejetora de um conjunto enumerável '>'em '>'um conjunto não-enumerável, o que não é possível (há "mais" irracionais que '>'racionais, logo não há valores suficientes no domínio de g para que possamos '>'atingir todos os valores do contradomínio). Então f também não pode assumir '>'todos os valores irracionais entre f(a) e f(b) somente a partir dos '>'racionais entre a e b. Logo não existe tal função f. '>' '>'Tá certo issi aí? '>' '>'Abraço '>'Bruno '>' '>'-- '>'Bruno França dos Reis '>'email: bfreis - gmail.com <http://gmail.com> '>'gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key '>'<http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key> '>'icq: 12626000 '>' '>'e^(pi*i)+1=0 '>' ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================