Muito obrigado.Será que é muito complicado provar que mdc( a^2+b^2,4ab+1) = 1?
Date: Wed, 19 Jan 2011 03:05:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Olá, Marcone,expandindo temos:
(a^2 + b^2)x^2 - (4ab + 1)x + a^2 + b^2 = 0
Supondo a^2 + b^2 != 0, temos:
x^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) x + 1 = 0
Seja k a raiz inteira. Temos que k^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) k + 1 = 0
Como k^2 e 1 são inteiros, temos que ter (4ab+1)/(a^2+b^2) k inteiro.
Assim, temos que: a^2+b^2 | (4ab+1)k.
Seja w sua outra raiz. Então:
(i) k + w = (4ab + 1)/(a^2+b^2)
(ii) k*w = 1
Por (ii), se descobrirmos k, sabemos w.
Acho que temos que trabalhar com:
a^2+b^2 | (4ab+1)k
Será que temos mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1?
Se sim, acho que acabamos, visto que ficamos com: a^2+b^2 | k.
Da equação original, temos: (a^2 + b^2)k^2 - (4ab + 1)k + a^2 + b^2 = 0.
Dividindo por k, temos: (a^2+b^2)k - (4ab+1) + (a^2+b^2)/k = 0.
De onde tiramos que k | a^2+b^2.
Mas, se k | a^2+b^2 e a^2+b^2 | k, temos que k = a^2+b^2.
Assim, w = 1/(a^2+b^2).
Substituindo na equação original, ficamos com:
(a^2 + b^2)(a^2+b^2)^2 - (4ab + 1)(a^2+b^2) + a^2 + b^2 = 0
Dividindo por a^2+b^2, temos:
(a^2 + b^2)^2 - (4ab+1) + 1 = 0
(a^2 + b^2)^2 = 4ab
As únicas soluções inteiras de (a^2+b^2)^2 = 4ab são:
(a, b) \in { (0, 0), (1, 1), (-1, -1) }
(0, 0) não pode ser.
Caso 1: (1, 1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Pode testar que funciona, pois 2(x-1)^2 = x tem raízes 2 e 1/2.
Caso 2: (-1, -1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Mas não funciona, visto que: 2(x+1)^2 = x não tem solução!
2x^2 + 4x + 2 = x
2x^2 + 3x + 2 = 0
Delta = 9 - 4*2*2 < 0, logo, não tem raízes reais.
Bom, tudo isso supondo que mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1.
Ainda falta provar isso :)
Se não for verdadeiro, ignore tudo o que escrevi! hehehe
Abraços,
Salhab
2011/1/9 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>
Sejam a,b números inteiros .Sabendo que a equação (ax - b)^2 + ( bx - a)^2 = x
tem uma raiz inteira,encontre os valores de suas raizes.
Conto com a habitual atenção de todos,pela qual agradeço antecipadamente.
