Foi
citado L´Hopital. De fato funciona, e o que temos no primeiro caso eh, por
definicao, a derivada de f(x) = x^(1/3) no ponto x = a, ou seja f'(a) = (1/3) *
a^(-2/3) No segundo caso, eh simplesmente a derivada desta funcao em x
=8.
Mas
para chegarmos a esta formula, este limite teve inicialmente que ser calculado
de outra forma. A aplicacao da regra de L´Hopital jah pressupoe o
conhecimento das derivadas. Seja a funcao f(x) = x^m, x em R, m inteiro
positivo. Pelo Binomio de Newton, eh facil concluir que x -> 0 => ( 1+
x)^m ~ 1 + m*x. Baseados nesta equivalencia nas proximidades de x =0 e com
alguma algebra, chegamos a que f'(x) = m * x^(m-1).
Se m
for inteiro negativo, podemos considerar, alem da equivalencia anterior, o fato
de que x -> 0 => 1/(1+x) ~1 -x. E se n = p/q for um racional,
entao as conclusoes anteriores e um pouco de algebra levam a que f'(x) = n*
x^(n-1). Este eh o caso do exercicio.
Para n
=0 a funcao f eh constante a a formula vale trivialmente.
Se n
for um real qualquer, logo incluindo os irracionais, aih temos que considerar
que x^n = e^(n* ln(x)), x >0, e tomar por base a definicao e as propriedades
da funcao exponencial, dada por uma serie de potencias, e da sua
inversa.
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Natan Padoin
Enviada em: quarta-feira, 3 de maio de 2006 00:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Cálculo de Limites
Alguém pode me ajudar a resolver estes limites?lim [RAIZ CÚBICA _ (x) - RAIZ CÚBICA _ (a)] / (x - a)(x -> a)lim [RAIZ CÚBICA _ (8 + h) - 2] / h(h -> 0)Abraço.
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