[obm-l] RES: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única
Apareceu sim, só falta o desafiante enviar o numerário para você. Judah _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Ralph Teixeira Enviada em: quarta-feira, 29 de agosto de 2012 10:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única Nao sei porque esta mensagem nao apareceu na lista Estou tentando de novo, para ver se ganho os R$50. -- Forwarded message -- From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Date: 2012/8/28 Subject: Re: [obm-l] Solução única To: obm-l@mat.puc-rio.br Hmmm Veja se voce conhece este fato: FATO: f(x)=(1+r/x)^x eh uma funcao crescente (para x=1) que tende para e^r quando x-+Inf. Ou seja, (1+r/x)^x e^r sempre que x=1. Agora sim! i) Nao ha solucao com ba=3. De fato, escrevendo b=a+r, vem: a^b-b^a = a^a.(a^r-(1+r/a)^a) a^a.(a^r-e^r) a^a.(a-e) 3^3.(0.2) 1 onde usei que r=1 para sumir com r (note que (a^r-e^r)=(a-e)(a^(r-1)+a^(r-2)+...+e^(r-1)) e este termo imenso eh =1), e que a=3 e que e=2.781828... no finzinho. ii) Nao ha solucao com 3=ba. De fato, escrevendo a=b+r, vem: a^b-b^a = b^b.((1+r/b)^b-b^r) b^b.(e^r-b^r) 0 pois be e r=1. Como obviamente tambem nao ha solucao com a=b, as unicas possiveis solucoes tem pelo menos um dos numeros menores do que 3. Agora eh soh analisar os casos a=1, a=2, b=1 e b=2: -- Se a=1 entao 1-b=1, nao presta. -- Se a=2, entao 2^b-b^2=1, isto eh, 2^b=b^2+1. Entao b eh impar, digamos, b=2k+1, entao 2^b=4k^2+4k+2 nao eh divisivel por 4, entao b=1. De fato (a,b)=(2,1) serve. -- Se b=1, entao a-1=1, isto eh, a=2, o que jah vimos acima. -- Se b=2, entao a^2-2^a=1, isto eh, 2^a=a^2-1=(a+1)(a-1). Entao ambos a-1 e a+1 tem que ser potencias de 2 (cuja diferenca eh 2!), ou seja, a-1=2 e a+1=4. Assim, a=3. Cade meus 50 reais? ;) Abraco, Ralph 2012/8/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Meu amigo me passou um desafio anteontem, falou que se eu resolvesse até ontem a meia-noite, ele me dava 50 reais. Acontece que por mais insistente que eu tenha sido não saiu muita coisa :) A aposta já acabou e ele também não sabe a resolução, e eu quero muito saber como se resolve isso! Se alguém puder me dar uma ajuda eu agradeço Prove que a^b - b^a = 1 admite única e exclusivamente a solução (3, 2), para a e b naturais maiores de 0. []'s João
[obm-l] RES: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única
Nananinanão!!! Eu resolvi primeiro! Mandei ver Catalan e pronto! Reconheço que é tiro de canhão pra matar mosca, mas as 50 pratas são minhas! Ralph, não me leve a mal, é que eu tô precisando dessa grana, pô! Albert Bouskela mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Ralph Teixeira Enviada em: quarta-feira, 29 de agosto de 2012 10:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única Nao sei porque esta mensagem nao apareceu na lista Estou tentando de novo, para ver se ganho os R$50. -- Forwarded message -- From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Date: 2012/8/28 Subject: Re: [obm-l] Solução única To: obm-l@mat.puc-rio.br Hmmm Veja se voce conhece este fato: FATO: f(x)=(1+r/x)^x eh uma funcao crescente (para x=1) que tende para e^r quando x-+Inf. Ou seja, (1+r/x)^x e^r sempre que x=1. Agora sim! i) Nao ha solucao com ba=3. De fato, escrevendo b=a+r, vem: a^b-b^a = a^a.(a^r-(1+r/a)^a) a^a.(a^r-e^r) a^a.(a-e) 3^3.(0.2) 1 onde usei que r=1 para sumir com r (note que (a^r-e^r)=(a-e)(a^(r-1)+a^(r-2)+...+e^(r-1)) e este termo imenso eh =1), e que a=3 e que e=2.781828... no finzinho. ii) Nao ha solucao com 3=ba. De fato, escrevendo a=b+r, vem: a^b-b^a = b^b.((1+r/b)^b-b^r) b^b.(e^r-b^r) 0 pois be e r=1. Como obviamente tambem nao ha solucao com a=b, as unicas possiveis solucoes tem pelo menos um dos numeros menores do que 3. Agora eh soh analisar os casos a=1, a=2, b=1 e b=2: -- Se a=1 entao 1-b=1, nao presta. -- Se a=2, entao 2^b-b^2=1, isto eh, 2^b=b^2+1. Entao b eh impar, digamos, b=2k+1, entao 2^b=4k^2+4k+2 nao eh divisivel por 4, entao b=1. De fato (a,b)=(2,1) serve. -- Se b=1, entao a-1=1, isto eh, a=2, o que jah vimos acima. -- Se b=2, entao a^2-2^a=1, isto eh, 2^a=a^2-1=(a+1)(a-1). Entao ambos a-1 e a+1 tem que ser potencias de 2 (cuja diferenca eh 2!), ou seja, a-1=2 e a+1=4. Assim, a=3. Cade meus 50 reais? ;) Abraco, Ralph 2012/8/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Meu amigo me passou um desafio anteontem, falou que se eu resolvesse até ontem a meia-noite, ele me dava 50 reais. Acontece que por mais insistente que eu tenha sido não saiu muita coisa :) A aposta já acabou e ele também não sabe a resolução, e eu quero muito saber como se resolve isso! Se alguém puder me dar uma ajuda eu agradeço Prove que a^b - b^a = 1 admite única e exclusivamente a solução (3, 2), para a e b naturais maiores de 0. []'s João
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única
30 p/ mim, 20 p/ voce, e nao se fala mais nisso. ;) ;) ;) 2012/8/29 bousk...@gmail.com Nananinanão!!! ** ** Eu resolvi primeiro! Mandei ver Catalan e pronto! Reconheço que é tiro de canhão pra matar mosca, mas as 50 pratas são minhas! ** ** Ralph, não me leve a mal, é que eu tô precisando dessa grana, pô! ** ** *Albert Bouskela* bousk...@gmail.com ** ** *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Ralph Teixeira *Enviada em:* quarta-feira, 29 de agosto de 2012 10:34 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única ** ** Nao sei porque esta mensagem nao apareceu na lista Estou tentando de novo, para ver se ganho os R$50. -- Forwarded message -- From: *Ralph Teixeira* ralp...@gmail.com Date: 2012/8/28 Subject: Re: [obm-l] Solução única To: obm-l@mat.puc-rio.br Hmmm Veja se voce conhece este fato: FATO: f(x)=(1+r/x)^x eh uma funcao crescente (para x=1) que tende para e^r quando x-+Inf. Ou seja, (1+r/x)^x e^r sempre que x=1. Agora sim! i) Nao ha solucao com ba=3. De fato, escrevendo b=a+r, vem: a^b-b^a = a^a.(a^r-(1+r/a)^a) a^a.(a^r-e^r) a^a.(a-e) 3^3.(0.2) 1* *** onde usei que r=1 para sumir com r (note que (a^r-e^r)=(a-e)(a^(r-1)+a^(r-2)+...+e^(r-1)) e este termo imenso eh =1), e que a=3 e que e=2.781828... no finzinho. ii) Nao ha solucao com 3=ba. De fato, escrevendo a=b+r, vem: a^b-b^a = b^b.((1+r/b)^b-b^r) b^b.(e^r-b^r) 0 pois be e r=1. Como obviamente tambem nao ha solucao com a=b, as unicas possiveis solucoes tem pelo menos um dos numeros menores do que 3. Agora eh soh analisar os casos a=1, a=2, b=1 e b=2: -- Se a=1 entao 1-b=1, nao presta. -- Se a=2, entao 2^b-b^2=1, isto eh, 2^b=b^2+1. Entao b eh impar, digamos, b=2k+1, entao 2^b=4k^2+4k+2 nao eh divisivel por 4, entao b=1. De fato (a,b)=(2,1) serve. -- Se b=1, entao a-1=1, isto eh, a=2, o que jah vimos acima. -- Se b=2, entao a^2-2^a=1, isto eh, 2^a=a^2-1=(a+1)(a-1). Entao ambos a-1 e a+1 tem que ser potencias de 2 (cuja diferenca eh 2!), ou seja, a-1=2 e a+1=4. Assim, a=3. Cade meus 50 reais? ;) Abraco, Ralph 2012/8/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Meu amigo me passou um desafio anteontem, falou que se eu resolvesse até ontem a meia-noite, ele me dava 50 reais. Acontece que por mais insistente que eu tenha sido não saiu muita coisa :) A aposta já acabou e ele também não sabe a resolução, e eu quero muito saber como se resolve isso! Se alguém puder me dar uma ajuda eu agradeço Prove que a^b - b^a = 1 admite única e exclusivamente a solução (3, 2), para a e b naturais maiores de 0. []'s João ** ** ** **
