[obm-l] Res: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS Help!!!
Eric,
Valeu pela ajuda com essas questões aqui.
Realmente, temp oé o que nos falta.
Abraço
De: Eric Campos Bastos Guedes fato...@hotmail.com
Para: Lista obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 11 de Novembro de 2009 10:29:59
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS Help!!!
01. Mostrar que 11 dividi infinitos números da forma 3636363636.36.
O numero 11 sera divisor de todo inteiro da forma b=36363636..36 que
tenha 22n algarismos, onde n eh inteiro positivo.
02. Existem 83 casas em uma rua. As casas são numeradas com números
entre 100 e 262, inclusive. mostre que pelo menos 2 casas tem numeros
consecutivos.
Considere os conjuntos: A_1 = {100,101}, A_2 = {102,103}, ...
... A_n = {98+2n,98+2n+1} ..., A_81 = {260,261}, A_82 = {262}
Os conjuntos A_i sao dois a dois disjuntos e sua uniao eh o
conjunto de todos os numeros entre 100 e 262 inclusive. Havendo 83
casas na rua, serao escolhidos 83 numeros. Mas há somente 82
conjuntos A_i, donde escolheremos necessariamente pelo menos dois
números num mesmo conjunto A_k; ora, os dois inteiros em A_k são
consecutivos por construcao, logo duas casas terao numeros consecutivos,
necessariamente.
03. Uma escola possui 46 classes com uma
média de 38 alunos por classe. o que se pode dizer a respeito do número
de alunos na maior?
Que ela nao tem menos que 38 alunos? Estou arriscando uma resposta...
Agradeço antecipadamente a quem dispôr de tempo para me ajudar com tais
questões.
Nao disponho de tempo, infelizmente. Se tivesse tempo ja teria feito
um verdadeiro milagre com os parcos recursos de que disponho. E quando
falo em 'milagre' eh isso mesmo que quero dizer. Imagino coisas tao
uteis e beneficas para a humandade que chego a questionar porque elas
simplesmente nao foram feitas antes. Nos ultimos 3 anos tenho estado
ocupadissimo tentando sobreviver, e por esse motivo nao pude desenvolver
essas ideias, que me deixariam proximo de um Einstein em materia de fama.
Estranhamente, a ideia de que eu pudesse ter um tal exito causa ojeriza
no poder historicamente constituido, ainda que toda especie humana fosse
beneficiada.
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[obm-l] Res: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números
Marcelo e Hugo, Muito obrigado pela ajuda. O que vocês fizeram já ajudou... A terceira questão é uma generalização da segunda... vou ver se consigo continuar de onde você parou. Bem vindo de volta, Marcelo. hehehee abraços De: Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 10 de Setembro de 2009 19:18:10 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números Olá Diogo, Nossa, qto tempo não participo aqui da OBI.. Bom, deixa eu tentar: 1) Veja que os únicos valores para x são 2 ou 2^k + 1, visto que qquer outro valor iria inserir um outro número primo ali e nunca teríamos a igualdade. Agora, basta testarmos: Para x=2, temos: 1 * (4+2+1) = 7, que não é igual a 2^n para nenhum n. Para x=2^k + 1, temos: (2^k + 1 - 1)((2^k+1)^2 + (2^k+1) + 1) = (2^k)*(2^(2k) + 2^(k+1) + 1 + (2^k+1) + 1) Mas: 2^(2k) + 2^(k+1) + 2^k + 3 é ímpar, possuindo um primo diferente de 2 e, portanto, nunca sendo igual a 2^n. 2) analisando x^2 = 2^n + 1 modulo 2, temos: x^2 == 1 (mod 2), portanto: x == 1 (mod 2), isto é, x é ímpar. x = 2k+1, então: x^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2^n + 1, e: 4k^2 + 4k = 2^n. Fatorando: 4k(k+1) = 2^n.. mas k(k+1) sempre terá um fator ímpar. Se este fator ímpar for 1, temos k=1 e 4*2 = 2^n, logo: n=3, portanto, o par (1, 3) Agora, se este fator for outro ímpar, teremos um fator primo diferente de 2 e a igualdade nunca será satisfeita. Logo, o único par é (1, 3). 3) x^m = p^n + 1... olhando esta equação modulo p, temos: x^m == 1 (mod p), isto é, x*x^(m-1) == 1 (mod p), isto é, só podem ser os números em possuem inversa modulo p, e cuja inversa é da forma x^(m-1). Desta maneira, sabemos que mdc(m, p) = 1, visto que é uma condição necessária e suficiente para um número possuir inversa módulo p. Analisando x^m = p^n + 1 módulo p^k, k=n, temos: x^m == 1 (mod p^k), então, vemos que x*x^(m-1) == 1 (mod p^k). Isto é, mdc(x, p^k) = 1... mas isso não é novidade, visto que mdc(x, p) = 1 implica mdc(x, p^k) = 1. O que acho importante é que x tem inversa x^(m-1) módulo p^k, k=n. Estou pensando em como determinar os valores de x e m sabendo p e n, mas ainda não cheguei a nada interessante ;) hehehe Espero que o que eu fiz sirva pra alguma coisa ;) Fica ai para alguém continuar. abraços, Salhab 2009/9/10 Diogo FN diog...@yahoo.com.br Eu tava estudando e não consegui resolver, essas 3 questões. 01. Mostre que não existe x (natural) tal que (x - 1)(x² + x +1) = 2^n 02. Determine todos os pares (x,n) (inteiros) tais que x² = 2^n + 1 03. Fazer um estudo sobre as soluções da equação x^m = p^n + 1 , onde x, m,n, p são naturais e p é primo. Agradeço a todos. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números
Muito obrigado colega Ralph. Tô impressionado. Ajudou muito mesmo! -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Ralph Teixeira Enviada em: domingo, 29 de março de 2009 16:32 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números Deixa eu ver aqui... de cabeca... 50^50 dah... isso mesmo deixa eu somar tudo 151. ;) ;) ;) 2009/3/29 fabio bernardo prof_fabioberna...@yahoo.com.br: Será q alguém pode ajudar com esse Qual a soma dos algarismos de 50^50? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Nenhum vírus encontrado nessa mensagem recebida. Verificado por AVG - www.avgbrasil.com.br Versão: 8.5.278 / Banco de dados de vírus: 270.11.29/2023 - Data de Lançamento: 03/25/09 18:54:00 __ Faça ligações para outros computadores com o novo Yahoo! Messenger http://br.beta.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Nao esta longo demais nao, boa solucao Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de rgc Enviada em: quarta-feira, 2 de maio de 2007 20:19 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números oi Ficou bem longo e o ralonso provou de um jeito bem mais curto mas fica como uma outra solução. Veja que quando o binomio (raiz(2)-1)^n for desenvolvido, para qualquer n, depois de somar os termos teremos um numero inteiro multiplicando raiz(2) e outro somado a isso. Digamos que para n=k (raiz(2)-1)^k = a*raiz(2) + b com a e b inteiros. Se fizermos m = b^2 ou m = b^2 + 1 sempre teremos raiz(m) ou raiz(m-1) um inteiro igual a b e m será inteiro. Logo devemos provar que escolhendo um desses valores para m sempre teremos a outra raiz (raiz(m) ou raiz(m-1), ou seja, a que não for igual a b) igual a a*raiz(2) e, nesse caso provamos que para todo n, m pode assumir valor inteiro. Vou tentar provar isso por indução: Seja n=1. Para esse n temos b = -1 então m deve ser igual a (-1)^2 + 1 = 2 ou (-1)^2 = 1. Resovendo achamos m = 2 então provamos para n=1. Seja n=k. Então (raiz(2)-1)^k = a*raiz(2) + b. Vamos assumir por hipótese que seja verdade que fazendo m = b^2 ou m = b^2 + 1 temos a outra raiz igual a a*raiz(2). Nesse caso, se m=b^2, raiz(m) = raiz(b^2) = b e raiz(m-1) = raiz(b^2 - 1) que supomos ser igual a a*raiz(2). Da mesma forma se m=b^2 + 1, raiz(m-1) = raiz(b^2+1-1) = b e raiz(m) = raiz (b^2 + 1) que supomos ser igual a a*raiz(2). Logo: (b^2 + 1) = a*raiz(2) ou (b^2 - 1) = a*raiz(2). Seja n=k+1. Chamando os coeficientes de c e d temos: (raiz(2)-1)^(k+1) = (raiz(2)-1)*(a*raiz(2) + b) = raiz(2)*(b-a) + 2a - b Fazemos c = b -a e d = 2a - b. Devemos provar que se m = d^2 ou m = d^2 + 1 a outra raiz (que não for igual a d) deve ser c*raiz(2). Vamos testar primeiro com m = d^2. Temos que mostrar que raiz(m-1) = raiz(d^2 -1) = c*raiz(2) == (raiz(d^2-1))^2 = 2c^2 == (2a -b)^2 - 1 = 2(b-a)^2 == 4a^2 - 4ab + b^2 - 1 = 2b^2 - 4ab + 2a^2 == 2a^2 = b^2 + 1 Mas tomamos por hipótese que raiz (b^2 + 1) = a*raiz(2) == b^2 + 1 = 2a^2. Portanto provamos para m=d^2. Agora é só repetir para n = d^2 + 1 pra completar a demonstração. - Original Message - From: Artur Costa Steiner mailto:[EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, May 02, 2007 1:27 PM Subject: [obm-l] Teoria dos números Este problema parece interessante. Talvez tenha alguma solucao facil, mas nao vi. Mostre que, para todo inteiro positivo n, (raiz(2) - 1)^n = raiz(m) - raiz(m -1), sendo m=1 um inteiro. Artur
[obm-l] Res: [obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números - simples
ou... Temos que a-19 = 24b , com b inteiro, -- a-5-10b=14b+14 = 14(b+1). Como a-5 eh multiplo de 10 temos que b+1 tb eh. b+1=10c, com c inteiro - b=10c-1. Logo temos que a=240c-5. Mas a-11 eh multiplo de 16, entao temos que a-11-224c=16c-5-11 -- 16(c-1), logo c-1 tb eh. Temos c-1 = 16d, com d inteiro -- c=16d+1, logo a =3840d+235. De forma que a minimo eh qdo d=0, logo a = 235. []'s Danilo. - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 22 de Março de 2007 10:35:40 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números - simples Ola, acredito que basta utilizar o teorema chines do resto. abracos, Salhab On 3/21/07, Emanuel Valente [EMAIL PROTECTED] wrote: Travei nessa questão. Agora é com vocês, cabeças. Determinar o menor número que dividido por 10; 16 e 24 deixa, respectivamente os restos 5; 11 e 19. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
