[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que raiz de 2 não é racional.
Suponha que raiz de 2 fosse racional. Isto é raiz(2) = a/b, a e b inteiros, suponha também que essa fração já esteja na forma mais simples possível, se não estiver coloque-a! :) Eleve ao quadrado ambos os membros logo 2*(b^2) = a^2, isto é a^2 é par, logo a também é par (é fácil provar isso). Se a é par então existe m tal que a = 2m, daí 2*(b^2) = 4(m^2) => b^2 = 2(m^2), logo b^2 também é par e então b é par. Portanto a e b são pares o que contraria a nossa hipótese de que a fração já estava na forma mais simples possível. Conclusão: raiz(2) é Irracional Abraços, Denisson 2009/4/1 Albert Bouskela > Olá! > > > > A demonstração abaixo é atribuída a Euclides, lá por volta de 300aC. Tenho > cá minhas dúvidas: o conceito de racionais e irracionais (sua união sendo os > reais) é muito mais moderno. Então, de fato, não dá pra saber como era mesmo > essa tal demonstração de Euclides. O certo é que ele chegou à > (brilhantíssima) conclusão de que sqrt(2) era incomensurável. Euclides > queria dizer com isto que não era possível expressar a raiz de 2 por > intermédio de um número que pudesse ser medido, i.e., que pudesse ser > representado geometricamente pela proporção de duas grandezas (medidas). > > > > E isto deu uma baita confusão! Ainda mais quando descobriram o triângulo > retângulo 1, 1, sqrt(2). > > > > Muito menos Euclides sabia da consistência lógica de uma prova matemática > feita “por absurdo”. > > > > Mas o mais interessante é que o Kronecker (que descobriu até a função – não > é rigorosamente uma “função” – Delta de Kronecker), já no finalzinho do > Século XIX, não acreditava em nada disto! Para ele, os irracionais > simplesmente não existiam. Acho que o Kronecker (filho de judeus, mas > protestante fervoroso) estava mais é com vontade de implicar com o > depressivo Cantor (judeu e cabalista), que adorava (divinamente) os > irracionais. É do Kronecker a frase: “Deus criou só os números inteiros. > Todo o resto é invenção do homem!”. > > > > Tudo isto culminou no seguinte: > > > > Tome a reta orientada dos racionais. Sobre esta reta tome um segmento de > comprimento unitário. Em uma das duas extremidades deste segmento levante > uma perpendicular. Nesta perpendicular, tome um outro segmento unitário a > partir a reta orientada dos racionais. Una a outra extremidade do segmento > contido na reta dos racionais com a extremidade mais distante do segmento > contido na reta perpendicular. Aí está o triângulo retângulo 1, 1, sqrt(2). > Agora, com centro na extremidade da hipotenusa que está contida na reta dos > racionais, gire esta mesma hipotenusa (em qualquer sentido) até que ela > fique totalmente contida na reta dos racionais. > > > > Tchan! Tchan! Tchan! > > > > Pois bem, a extremidade da hipotenusa (a que não é o centro de giro) cairá > sobre o “vazio” – afinal sqrt(2) é irracional! Então, o conjunto dos > racionais é denso, mas não é contínuo! > > > > Quando eu estiver mais inspirado (e com muito mais tempo) – o Gödel que me > perdoe – mas ainda vou provar a Hipótese do Continuum... > > > > Saudações, > > *AB* > > bousk...@gmail.com > > bousk...@ymail.com > > > > *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On > Behalf Of *Paulo Cesar > *Sent:* Wednesday, April 01, 2009 3:44 PM > *To:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] Provar que raiz de 2 não é racional. > > > > Olá Rodrigo > > > > Suponha que a raiz quadrada de 2 (sqrt2) é racional. Logo, podemos escrever > sqrt2 = a/b, com a e b inteiros e b diferente de zero. Elevando ambos os > membros ao quadrado teremos 2 = a^2/b^2 e consequentemente 2b^2 = a^2. Essa > última igualdade é um absurdo, pois o Teorema Fundamental da Aritmética nos > garante que a fatoração de um número inteiro é única. Olhando para o > primeiro membro, temos que 2b^2 possui um número ímpar de fatores 2. Já o > segundo membro nos diz que a^2 tem que possuir um número par de fatores 2. > Conclusão: sqrt2 não é racional, cqd. > > > > Bons estudos > > > > PC > > 2009/4/1 Rodrigo Assis > > Pessoal não estou conseguindo resolver. O problema pede que seja feito > através do Teorema Fundamental da Aritmética. Já tentei 2 vezes e nada... > > > -- Denisson
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que raiz de 2 não é racional.
Olá! A demonstração abaixo é atribuída a Euclides, lá por volta de 300aC. Tenho cá minhas dúvidas: o conceito de racionais e irracionais (sua união sendo os reais) é muito mais moderno. Então, de fato, não dá pra saber como era mesmo essa tal demonstração de Euclides. O certo é que ele chegou à (brilhantíssima) conclusão de que sqrt(2) era incomensurável. Euclides queria dizer com isto que não era possível expressar a raiz de 2 por intermédio de um número que pudesse ser medido, i.e., que pudesse ser representado geometricamente pela proporção de duas grandezas (medidas). E isto deu uma baita confusão! Ainda mais quando descobriram o triângulo retângulo 1, 1, sqrt(2). Muito menos Euclides sabia da consistência lógica de uma prova matemática feita por absurdo. Mas o mais interessante é que o Kronecker (que descobriu até a função não é rigorosamente uma função Delta de Kronecker), já no finalzinho do Século XIX, não acreditava em nada disto! Para ele, os irracionais simplesmente não existiam. Acho que o Kronecker (filho de judeus, mas protestante fervoroso) estava mais é com vontade de implicar com o depressivo Cantor (judeu e cabalista), que adorava (divinamente) os irracionais. É do Kronecker a frase: Deus criou só os números inteiros. Todo o resto é invenção do homem!. Tudo isto culminou no seguinte: Tome a reta orientada dos racionais. Sobre esta reta tome um segmento de comprimento unitário. Em uma das duas extremidades deste segmento levante uma perpendicular. Nesta perpendicular, tome um outro segmento unitário a partir a reta orientada dos racionais. Una a outra extremidade do segmento contido na reta dos racionais com a extremidade mais distante do segmento contido na reta perpendicular. Aí está o triângulo retângulo 1, 1, sqrt(2). Agora, com centro na extremidade da hipotenusa que está contida na reta dos racionais, gire esta mesma hipotenusa (em qualquer sentido) até que ela fique totalmente contida na reta dos racionais. Tchan! Tchan! Tchan! Pois bem, a extremidade da hipotenusa (a que não é o centro de giro) cairá sobre o vazio afinal sqrt(2) é irracional! Então, o conjunto dos racionais é denso, mas não é contínuo! Quando eu estiver mais inspirado (e com muito mais tempo) o Gödel que me perdoe mas ainda vou provar a Hipótese do Continuum... Saudações, AB <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com <mailto:bousk...@ymail.com> bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Paulo Cesar Sent: Wednesday, April 01, 2009 3:44 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que raiz de 2 não é racional. Olá Rodrigo Suponha que a raiz quadrada de 2 (sqrt2) é racional. Logo, podemos escrever sqrt2 = a/b, com a e b inteiros e b diferente de zero. Elevando ambos os membros ao quadrado teremos 2 = a^2/b^2 e consequentemente 2b^2 = a^2. Essa última igualdade é um absurdo, pois o Teorema Fundamental da Aritmética nos garante que a fatoração de um número inteiro é única. Olhando para o primeiro membro, temos que 2b^2 possui um número ímpar de fatores 2. Já o segundo membro nos diz que a^2 tem que possuir um número par de fatores 2. Conclusão: sqrt2 não é racional, cqd. Bons estudos PC 2009/4/1 Rodrigo Assis Pessoal não estou conseguindo resolver. O problema pede que seja feito através do Teorema Fundamental da Aritmética. Já tentei 2 vezes e nada...
[obm-l] Re: [obm-l] Provar que raiz de 2 não é racional .
Ola Rodrigo, Comece supondo que a/b = (2)^(1/2), onde mdc (a,b)=1. A seguir, eleve tudo ao quadrado.O resto, é com vc ::)) Abs Felipe --- Em qua, 1/4/09, Rodrigo Assis escreveu: De: Rodrigo Assis Assunto: [obm-l] Provar que raiz de 2 não é racional. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 1 de Abril de 2009, 14:59 Pessoal não estou conseguindo resolver. O problema pede que seja feito através do Teorema Fundamental da Aritmética. Já tentei 2 vezes e nada... Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Provar que raiz de 2 não é racional.
Olá Rodrigo Suponha que a raiz quadrada de 2 (sqrt2) é racional. Logo, podemos escrever sqrt2 = a/b, com a e b inteiros e b diferente de zero. Elevando ambos os membros ao quadrado teremos 2 = a^2/b^2 e consequentemente 2b^2 = a^2. Essa última igualdade é um absurdo, pois o Teorema Fundamental da Aritmética nos garante que a fatoração de um número inteiro é única. Olhando para o primeiro membro, temos que 2b^2 possui um número ímpar de fatores 2. Já o segundo membro nos diz que a^2 tem que possuir um número par de fatores 2. Conclusão: sqrt2 não é racional, cqd. Bons estudos PC 2009/4/1 Rodrigo Assis > Pessoal não estou conseguindo resolver. O problema pede que seja feito > através do Teorema Fundamental da Aritmética. Já tentei 2 vezes e nada... > >
