[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração prima de n!
Sim, porque, se o primo p satisfizer a tais condições, então, para k >= 2, p^k >= n. Logo, se p estiver na fatoração de n!, p tem expoente 1. Artur Em sáb, 29 de dez de 2018 16:58, Pedro José Boa tarde! > Na verdade: n/2 >= [raiz(n)]. > Mas vale da mesma forma. > > Saudações, > PJMS > > Em sáb, 29 de dez de 2018 13:36, Pedro José >> Bom dia! >> Com o teorema mencionado dá para mostrar que existe pelo menos um primo >> >=[raiz(n) +1] e <= n. >> Para n = 2 ou n =3 é imediato. >> para n>=4: n/2>= raiz(n) >=[raiz(n)] + 1. >> Vou dar uma olhada no Wikipedia. Não conhecia esse teorema. >> Mas só para tirar uma dúvida, está correto afirmar que ocorrerá para >> qualquer fator p que seja maior ou igual que [raiz(n)+1] e menor ou ogual >> que n? >> Saudações, >> PJMS >> >> Em qui, 27 de dez de 2018 21:03, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com escreveu: >> >>> Médio... vê na Wikipedia >>> >>> Enviado do meu iPhone >>> >>> Em 27 de dez de 2018, à(s) 14:24, Artur Steiner < >>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: >>> >>> Obrigado a todos. >>> >>> Tinha esquecido do que é atualmente o teorema de Bertrand. A >>> demonstração é muito complicada? >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> Em qui, 27 de dez de 2018 00:38, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com escreveu: >>> É o maior primo <= n. Pelo teorema (“postulado†) de Bertrand (se p é primo, então existe um primo q tal que p < q < 2p). Enviado do meu iPhone Em 26 de dez de 2018, à (s) 19:44, Artur Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > Mostre que, para n >= 2, a fatoração prima de n! contém um fator com expoente 1. > > Abraços. > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e  acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração prima de n!
Boa tarde! Na verdade: n/2 >= [raiz(n)]. Mas vale da mesma forma. Saudações, PJMS Em sáb, 29 de dez de 2018 13:36, Pedro José Bom dia! > Com o teorema mencionado dá para mostrar que existe pelo menos um primo > >=[raiz(n) +1] e <= n. > Para n = 2 ou n =3 é imediato. > para n>=4: n/2>= raiz(n) >=[raiz(n)] + 1. > Vou dar uma olhada no Wikipedia. Não conhecia esse teorema. > Mas só para tirar uma dúvida, está correto afirmar que ocorrerá para > qualquer fator p que seja maior ou igual que [raiz(n)+1] e menor ou ogual > que n? > Saudações, > PJMS > > Em qui, 27 de dez de 2018 21:03, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com escreveu: > >> Médio... vê na Wikipedia >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 27 de dez de 2018, à(s) 14:24, Artur Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: >> >> Obrigado a todos. >> >> Tinha esquecido do que é atualmente o teorema de Bertrand. A >> demonstração é muito complicada? >> >> Artur Costa Steiner >> >> Em qui, 27 de dez de 2018 00:38, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com escreveu: >> >>> É o maior primo <= n. >>> Pelo teorema (“postulado†) de Bertrand (se p é primo, então existe >>> um primo q tal que p < q < 2p). >>> >>> Enviado do meu iPhone >>> >>> Em 26 de dez de 2018, à (s) 19:44, Artur Steiner < >>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: >>> >>> > Mostre que, para n >= 2, a fatoração prima de n! contém um >>> fator com expoente 1. >>> > >>> > Abraços. >>> > >>> > Artur Costa Steiner >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>  acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> = >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração prima de n!
Sim, porque se o primo p satisfizer a esta condição, então, para todo k >= 2, temos p^k > n. Logo, se p aparecer na fatoração de n!, será com expoente 1. Artur Enviado do meu Samsung Mobile da Claro Mensagem original De: Pedro José Data: 29/12/2018 13:36 (GMT-03:00) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração prima de n! Bom dia!Com o teorema mencionado dá para mostrar que existe pelo menos um primo >=[raiz(n) +1] e <= n.Para n = 2 ou n =3 é imediato.para n>=4: n/2>= raiz(n) >=[raiz(n)] + 1. Vou dar uma olhada no Wikipedia. Não conhecia esse teorema.Mas só para tirar uma dúvida, está correto afirmar que ocorrerá para qualquer fator p que seja maior ou igual que [raiz(n)+1] e menor ou ogual que n?Saudações, PJMS Em qui, 27 de dez de 2018 21:03, Claudio Buffara escreveu: Obrigado a todos. Tinha esquecido do que é atualmente o teorema de Bertrand. A demonstração é muito complicada? Artur Costa Steiner Em qui, 27 de dez de 2018 00:38, Claudio Buffara escreveu: > Mostre que, para n >= 2, a fatoração prima de n! contém um fator com > expoente 1. > > Abraços. > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e  acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração prima de n!
Bom dia! Com o teorema mencionado dá para mostrar que existe pelo menos um primo >=[raiz(n) +1] e <= n. Para n = 2 ou n =3 é imediato. para n>=4: n/2>= raiz(n) >=[raiz(n)] + 1. Vou dar uma olhada no Wikipedia. Não conhecia esse teorema. Mas só para tirar uma dúvida, está correto afirmar que ocorrerá para qualquer fator p que seja maior ou igual que [raiz(n)+1] e menor ou ogual que n? Saudações, PJMS Em qui, 27 de dez de 2018 21:03, Claudio Buffara Médio... vê na Wikipedia > > Enviado do meu iPhone > > Em 27 de dez de 2018, à(s) 14:24, Artur Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > > Obrigado a todos. > > Tinha esquecido do que é atualmente o teorema de Bertrand. A > demonstração é muito complicada? > > Artur Costa Steiner > > Em qui, 27 de dez de 2018 00:38, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com escreveu: > >> É o maior primo <= n. >> Pelo teorema (“postulado†) de Bertrand (se p é primo, então existe >> um primo q tal que p < q < 2p). >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 26 de dez de 2018, à (s) 19:44, Artur Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: >> >> > Mostre que, para n >= 2, a fatoração prima de n! contém um >> fator com expoente 1. >> > >> > Abraços. >> > >> > Artur Costa Steiner >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>  acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] fatoração
Mas isto não é matar mosquito com bazuca? Em 15 de maio de 2013 23:29, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.comescreveu: Um jeito que sempre funciona é usar a fatoração de ferrari. Ela resolve qualquer equação de 4 grau fatorando-a em duas equações de segundo grau. Não é sempre que os coeficientes são inteiros ou racionais, mas nesse caso (como você já viu na resposta) eles são. Primeiramente deve-se deixar o coefiente de quarto grau como 1, já fizemos isso Depois devemos mudar a variável para cancelar o termo de terceiro grau. Dada a equação x^4 + ax³ + bx² + cx + d=0 Escolha x=(y-a/4) No nosso caso x=(y-1/2) Resulta em: y^4 -5/2 y² -4y -7/16=0 Agora rearrange os termos: Termo do quarto grau do lado esquerdo e os demais do lado direito. Some Ay² +B de ambos os lados para construir dois quadrados perfeitos (um quadrado perfeito tem delta=0) y^4 + Ay² + B = (A+5/2)y² + 4y + (B+7/16) Temos A² = 4B 16 = 4(A+5/2)(B+7/16) (multiplicando por 32) 128 = (2A+5)(16B+7) 128 = (2A+5)(4A²+7) Agora resolvemos a equação do terceiro grau (no caso geral se resolve por cardano, mas como sabemos que as raízes são racionais, resolvemos pelo teorema das raízes racionais) A=3/2 Desse modo B = 9/16 E achamos: (y²+3/4)² = (2y + 1)² (y² - 2y - 1/4)(y² + 2y +7/4) = 0 Substituindo (x² - x - 1)(x² + 3x + 3) = 0 Abraço João -- Date: Wed, 15 May 2013 16:47:23 -0300 Subject: [obm-l] fatoração From: oliho...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br O polinômio p(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 - 6x - 3 se fatora como p(x) = (x^2 - x - 1).(x^2 + 3x + 3) Alguém poderia me ajudar em como chegar a essa fatoração? Agradeço a ajuda. -- /**/ 神が祝福 Torres
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] fatoração de polinômio
É, o jeito braçal,depois de muito treino, acaba funcionando na maioria das questões... a dúvida quanto a isso era apenas formalismo mesmo, já que de antemão dá p desconfiar que o polinômio vai ser fatorado apenas com coeficientes inteiros (a questão simplesmente já pedia para fatorar). Tenta fatorar no braço x^3+7x^2+7x+14 pra ver.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] fatoração de polinômio
Vlw galera! CC: obm-l@mat.puc-rio.br From: pcesa...@gmail.com Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] fatoração de polinômio Date: Tue, 11 Oct 2011 06:19:34 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br Some e subtraia x^2. Fica assim: x^5-x^2+x^2+x+1=x^2(x^3-1)+x^2+x+1=x^2(x-1)(x^2+x+1)+x^2+x+1= (x^2+x+1)(x^3-x^2+1)Essa é das antigas, do livro Álgebra 1, do Wagner e do Morgado. Esse tipo de fatoração é muito difícil. Somar e subtrair coisas costuma dar muita dor de cabeça até que se descubra o que fazer. Um abraço. Paulo Cesar Sampaio Jr.Enviado via iPad Em 11/10/2011, às 00:34, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Eu faria assim, x^5+ x + 1 = T=x^5 + x^3 + x + (1-x^3)=x(x^4 + x² + 1) + (1-x)(x²+x+1) Fazendo k =(x^4 + x² + 1)y=x²temos k=y²+y+1 = (y³-1)/(y-1)=(x^6-1)/(x²-1)=(x³-1)(x³+1)/(x+1)(x-1)=(x²-x+1)(x²+x+1)Logo T=(x²+x+1)(x³-x²+x) + (1-x)(x²+x+1)T=(x²+x+1)(x³-x²+1) []'sJoão From: luan_gabrie...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] fatoração de polinômio Date: Tue, 11 Oct 2011 03:57:55 +0300 Boa noite, entrei hoje na lista,espero ter mandado pro e-mail certo. A questão é encontrar uma fatoração para o polinômio: X^5+X+1 Agradeço a ajuda.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] fatoração de polinômio
Outra maneira é tentar uma raiz cúbica da unidade. Me respondam uma coisa: por que raios vocês tentam demonstrar que o polinômiuo é redutível, e depois é que vão fatorá-lo? Não é melhor fatorar de uma vez? E ainda prefiro a solução braçal. Ficar epnsando em sacadinhas mágicas não é meu esporte favorito... Em 11/10/11, Luan Gabrielluan_gabrie...@hotmail.com escreveu: Vlw galera! CC: obm-l@mat.puc-rio.br From: pcesa...@gmail.com Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] fatoração de polinômio Date: Tue, 11 Oct 2011 06:19:34 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br Some e subtraia x^2. Fica assim: x^5-x^2+x^2+x+1=x^2(x^3-1)+x^2+x+1=x^2(x-1)(x^2+x+1)+x^2+x+1= (x^2+x+1)(x^3-x^2+1)Essa é das antigas, do livro Álgebra 1, do Wagner e do Morgado. Esse tipo de fatoração é muito difícil. Somar e subtrair coisas costuma dar muita dor de cabeça até que se descubra o que fazer. Um abraço. Paulo Cesar Sampaio Jr.Enviado via iPad Em 11/10/2011, às 00:34, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Eu faria assim, x^5+ x + 1 = T=x^5 + x^3 + x + (1-x^3)=x(x^4 + x² + 1) + (1-x)(x²+x+1) Fazendo k =(x^4 + x² + 1)y=x²temos k=y²+y+1 = (y³-1)/(y-1)=(x^6-1)/(x²-1)=(x³-1)(x³+1)/(x+1)(x-1)=(x²-x+1)(x²+x+1)Logo T=(x²+x+1)(x³-x²+x) + (1-x)(x²+x+1)T=(x²+x+1)(x³-x²+1) []'sJoão From: luan_gabrie...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] fatoração de polinômio Date: Tue, 11 Oct 2011 03:57:55 +0300 Boa noite, entrei hoje na lista,espero ter mandado pro e-mail certo. A questão é encontrar uma fatoração para o polinômio: X^5+X+1 Agradeço a ajuda. -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] fatoração de polinômio
Olhei o site, e realmente é muito bom. Quanto ao problema, ele não apresenta uma maneira prática de fatoração;pelo contrário, usa algo muito bizarro. De qualquer forma, vi a forma fatorada e,como era de se esperar, ele é redutível nos Z e a fatoração resulta em dois polinômios primitivos. Tentei provar que o polinômio inicial era redutível nos Z,mas não consegui. Então,não sei se a suposição de que o polinômio pode ser fatorado em (X^3+aX^2+bX+1).(X^2+cX+1) é verdadeira. Date: Mon, 10 Oct 2011 22:46:50 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] fatoração de polinômio From: pedromn...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br sempre tem o wolfram alpha, http://www.wolframalpha.com/input/?i=+X^5%2BX%2B1+ , mas nao sei se eh esse o objetivo Em 10 de outubro de 2011 21:57, Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com escreveu: Boa noite, entrei hoje na lista,espero ter mandado pro e-mail certo. A questão é encontrar uma fatoração para o polinômio: X^5+X+1 Agradeço a ajuda.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] fatoração de polinômio
Como falei, consegui provar pelo lema de gauss, substituindo x por x+1, que o polinômio é redutível nos Z, e assim aquele método de supor a fatoração fica restrito a encontrar inteiros que satisfaçam o problema.Mesmo assim, é um método muito braçal, acho que existe algo por trás do problema. Se alguém tiver uma luz, agradeço!
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fatoração
2010/6/21 Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com: Verdade! 2(x+1)(x-1/2)(2x²-x+1) 2(x+1)(2x-1)(2x²-x+1)/2 (x+1)(2x-1)(2x²-x+1) Aí acaba, né? Porquê ? (2x^2 - x + 1) = (x - 1/4 - i*raiz(7)/4)*(x - 1/4 + i*raiz(7)/4) Repare que dizer que não vale complexos é exatamente a mesma coisa que dizer que também não vale fazer (x^3 - 2) = (x - raiz3(2))*(x^2 + x*raiz3(2) + raiz3(4)). O que é mais ou menos arbitrário, a menos que você especifique que você só aceita polinômios com coeficientes racionais. E porquê não inteiros? Mas nada disso tá dito no enunciado. Não que eu tenha visto muitos enunciados que digam explicitamente fatore o polinômio abaixo em Q[X] (ou Z[X], ou R[X], ou ), mas de certa forma isso é um equivalente do que o Ralph diz em combinatória, aqui fica bom, o enunciado é vago, vamos supor que ele quer dizer que é para fatorar em Z[X], que é o que parece razoável, já que todos os coeficientes são inteiros. ;D -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fatoração
ainda dá pra fatorar mais! 2010/6/20 Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com Eu cheguei nisso: 4x^4 - x² + 2x - 1 4x^4 - (x²-2x+1) 3o./4o. Caso de fatoração: 4x^4 - (x-1)² (2x²)² - (x-1)² 4o./5o. Caso de fatoração: (2x² + x - 1)(2x² - x + 1) Espero que tenha ajudado! Thiago -- From: lucashagemais...@msn.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Fatoração Date: Sun, 20 Jun 2010 20:01:09 -0300 Como fatorar: 4x^4(x na quarta) -x² +2x -1 Tentei de várias maneiras, mas nunca consegui completar a fatoração. Agradeço desde já. Abraço -- O SEU NAVEGADOR PODE TE PROTEGER DE FRAUDES NA WEB. VEJA DICAS DE INTERNET EXPLORER 8http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/features/stay-safer-online.aspx?tabid=1catid=1WT.mc_id=1588 -- TRANSFORME SUAS FOTOS EM EMOTICONS PARA O MESSENGER. CLIQUE AQUI E VEJA COMO.http://ilm.windowslive.com.br/?ocid=ILM:Live:Hotmail:Tagline:1x1:TRANSFORME77:-
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm -l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fatoração
Verdade!2(x+1)(x-1/2)(2x²-x+1)2(x+1)(2x-1)(2x²-x+1)/2(x+1)(2x-1)(2x²-x+1)Aí acaba, né?;D From: lucashagemais...@msn.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fatoração Date: Sun, 20 Jun 2010 22:44:44 -0300 Esquece, entendi o pq. Obrigado =) Date: Sun, 20 Jun 2010 22:20:30 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fatoração From: paulo.ved...@poli.usp.br To: obm-l@mat.puc-rio.br ainda dá pra fatorar mais! 2010/6/20 Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com Eu cheguei nisso: 4x^4 - x² + 2x - 1 4x^4 - (x²-2x+1) 3o./4o. Caso de fatoração: 4x^4 - (x-1)² (2x²)² - (x-1)² 4o./5o. Caso de fatoração: (2x² + x - 1)(2x² - x + 1) Espero que tenha ajudado! Thiago From: lucashagemais...@msn.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Fatoração Date: Sun, 20 Jun 2010 20:01:09 -0300 Como fatorar: 4x^4(x na quarta) -x² +2x -1 Tentei de várias maneiras, mas nunca consegui completar a fatoração. Agradeço desde já. Abraço O SEU NAVEGADOR PODE TE PROTEGER DE FRAUDES NA WEB. VEJA DICAS DE INTERNET EXPLORER 8 TRANSFORME SUAS FOTOS EM EMOTICONS PARA O MESSENGER. CLIQUE AQUI E VEJA COMO. O SEU NAVEGADOR PODE TE PROTEGER DE FRAUDES NA WEB. VEJA DICAS DE INTERNET EXPLORER 8 _ ACESSE O MESSENGER DO SEU CELULAR AGORA MESMO. CLIQUE E VEJA AQUI UM PASSO A PASSO. http://celular.windowslive.com.br/messenger.asp?produto=Messengerutm_source=Live_Hotmailutm_medium=Taglineutm_content=ACESSEOMES83utm_campaign=MobileServices
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração de 5 ^1985 - 1.
Olá , Esta questão realmente não é fácil , como de repente pode parecer . Ela foi proposta numa Olimpíada Internacional e não usada e, foi também proposta na RPM - 18 . A solução do Vidal teve um brilhantismo , pois explicou em detalhes os passos . Abraços Carlos Victor 2009/4/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, Vidal (e Fabricio), Já que meu neto não está aqui em casa... :-) e como gostei tanto de suas continhas de cabeça, fucei um site que tenho certeza que vocês vão gostar Tem coisas surreais http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/main.htm Abraços, Nehab ( *Vidal escreveu: Caro Fabrício, Eu também passei por esta etapa (produto de dois polinômios de grau 2) durante o pequeno tempo que pensei na solução, depois de provocado pelo Nehab. Mas infelizmente os fatores não eram inteiros. Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com 2009/4/6 fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br Vidal, muito boa a sacada. Eu tinha tentado escrever como o produto de dois polinômios de grau 2, sem sucesso. Parabéns pela solução. Um abraço. . On Apr 6, 2009, at 03:21 , *Vidal wrote: Caros Fabrício e Nehab, Achar um fator foi fácil, o problema foi quebrar o quociente nos outros dois. Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Então queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores é 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Após um tempinho (pouca coisa, até no Fla x Flu no Maracanã estava rabiscando...), tive a idéia de tentar escrever a expressão como uma adequada diferença de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferença. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que já geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expressões (e rezando para encontrar valores de a e b compatíveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 = a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 = b = 1 Agora era hora da onça beber água: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferença de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferença pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os três fatores são claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Então: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como já são três da manhã e já perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas continhas de cabeça, tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn são números compostos de n algarismos). A fatoração de C258, C542 e C549 fica como exercício ... :) Abraços, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de não nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informática da Carioca ! Abraços ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ninguém deu muita bola, talvez achando que é óbvio. Não achei óbvio não. Quem resolveu? Abraços, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exercícios, um me chamou muito a atenção. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de três inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possível avanço, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração de 5^1985 - 1.
Caro Fabrício, Eu também passei por esta etapa (produto de dois polinômios de grau 2) durante o pequeno tempo que pensei na solução, depois de provocado pelo Nehab. Mas infelizmente os fatores não eram inteiros. Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com 2009/4/6 fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br Vidal, muito boa a sacada. Eu tinha tentado escrever como o produto de dois polinômios de grau 2, sem sucesso. Parabéns pela solução. Um abraço. . On Apr 6, 2009, at 03:21 , *Vidal wrote: Caros Fabrício e Nehab, Achar um fator foi fácil, o problema foi quebrar o quociente nos outros dois. Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Então queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores é 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Após um tempinho (pouca coisa, até no Fla x Flu no Maracanã estava rabiscando...), tive a idéia de tentar escrever a expressão como uma adequada diferença de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferença. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que já geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expressões (e rezando para encontrar valores de a e b compatíveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 = a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 = b = 1 Agora era hora da onça beber água: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferença de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferença pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os três fatores são claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Então: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como já são três da manhã e já perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas continhas de cabeça, tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn são números compostos de n algarismos). A fatoração de C258, C542 e C549 fica como exercício ... :) Abraços, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de não nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informática da Carioca ! Abraços ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ninguém deu muita bola, talvez achando que é óbvio. Não achei óbvio não. Quem resolveu? Abraços, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exercícios, um me chamou muito a atenção. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de três inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possível avanço, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração de 5^1985 - 1.
Oi, Vidal (e Fabricio), J que meu neto no est aqui em casa... :-) e como gostei tanto de suas continhas de cabea, fucei um site que tenho certeza que vocs vo gostar Tem coisas surreais http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/main.htm Abraos, Nehab ( *Vidal escreveu: Caro Fabrcio, Eu tambm passei por esta etapa (produto de dois polinmios de grau 2) durante o "pequeno" tempo que pensei na soluo, depois de "provocado" pelo Nehab. Mas infelizmente os fatores no eram inteiros. Abraos, Vidal. :: vi...@mail.com 2009/4/6 fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br Vidal, muito boa a sacada. Eu tinha tentado escrever como o produto de dois polinmios de grau 2, sem sucesso. Parabns pela soluo. Um abrao. . On Apr 6, 2009, at 03:21 , *Vidal wrote: Caros Fabrcio e Nehab, Achar um fator foi fcil, o problema foi "quebrar" o quociente nos outros dois. Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Ento queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Aps um tempinho (pouca coisa, at no Fla x Flu no Maracan estava rabiscando...), tive a idia de tentar escrever a expresso como uma adequada diferena de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferena. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que j geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expresses (e rezando para encontrar valores de a e b compatveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 = a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 = b = 1 Agora era hora da ona beber gua: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferena de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferena pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os trs fatores so claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Ento: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como j so trs da manh e j perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas "continhas de cabea", tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn so nmeros compostos de n algarismos). A fatorao de C258, C542 e C549 fica como exerccio ... :) Abraos, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de no nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informtica da Carioca ! Abraos ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ningum deu muita bola, talvez achando que bvio. No achei bvio no. Quem resolveu? Abraos, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exerccios, um me chamou muito a ateno. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de trs inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possvel avano, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Bruna eh estranha a sua pergunta, mas talvez o autor deseja que você faça o seguinte: x+1=[raizcúbica(x)]^3 + [raizcúbica(1)]^3 . agora use a identidade a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2) , fazendo a=raizcúbica(x)] e b=raizcúbica(1)] daí você obtém x+1=[raizcúbica(x)]^3 + [raizcúbica(1)]^3 = [raizcúbica(x) + 1].[(raizcúbica(x))^2-raizcúbica(x)+1]. Valew Cgomes - Original Message - From: Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, January 24, 2007 6:55 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração Oi Marcelo então na minha apostilas está escrito exatamente assim fatore x+1, para x=0. la tem uma reposta bem feia feia, cheia de radicais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.410 / Virus Database: 268.17.8/649 - Release Date: 23/1/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] fatoração...
valew Luiz muito obrigado! - Original Message - From: Luiz H. Barbosa To: obm-l Sent: Friday, February 10, 2006 7:53 PM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] fatoração... Esse tipo de problema sempre da um trabalhinho.Mas eu nãotentaria a resolução genérica em uma prova de multipla escolha,tascaria 3 números cujo a soma da ZERO e pronto! Chamei a primeira parte de I e a segunda de II. Observe que , c(b-c)(c-a) = c(bc-ab-c^2 + ac) = c(-ab+c(b-c+a)) = c(-ab-2c^2) = -abc -2c^3 c(b-c)(c-a) = -abc -2c^3 (i) O mesmo raciocinio serve para concluir que : a(a-b)(c-a) = -abc-2a^3 (ii) b(a-b)(b-c) = -abc-2b^3 (iii) Aparte II fica : II = [(i)+(ii)+(iii)]/(a-b)(b-c)(c-a) = [-3abc -2(a^3 + b^3 +c^3)]/(a-b)(b-c)(c-a) Agora veja que : (a-b)(b-c)(c-a) = abc - b*a^2 - a*c^2 + c*a^2 + c*b^2 + a*b^2 + b*c^2 -abc A parte I fica: I=[ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)]/abc I=[b*a^2 -a*b^2 +c*b^2 -b*c^2 + a*c^2 - c*a^2]/abc I=[b*a^2 -a*b^2 +c*b^2 -b*c^2 + a*c^2 - c*a^2 + abc - abc]/abc I= -[(a-b)(b-c)(c-a)]abc Agora multiplicando I*II : I*II=[3abc +2(a^3 + b^3 +c^3)]/abc = 3+ 2[(a^3 + b^3 +c^3)]/abc Se vc fizer (a+b+c)^3 = 0 e isolar de um lado a^3 + b^3 +c^3, vai encontrar : a^3 + b^3 +c^3 = -3(a*b^2 + a*c^2 + b*a^2 + c*a^2 + b*c^2 + c*b^2 + 2abc) [a^3 + b^3 +c^3]abc = -3(b/c + c/b + a/c + a/b + c/a + b/a + 2) Observe agora que : a/c = -1 -b/c c/b = -1-a/b c/a = -1-b/a Substiruindo : [a^3 + b^3 +c^3]abc = -3(-3 + 2) = 3 Finalmente: I*II = 3 + 2*3 = 9 -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Fri, 10 Feb 2006 09:51:27 -0200 Assunto: [obm-l] fatoração... V se alguem me ajuda com essa... Se a+b+c=0, qual o valor da expressão [(a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b].[c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a)] o gabarito dá como resposta 9...tá dando muito trabalho...v se alguem descobre algum atalho...valew...um abraço à todos Cgomes -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO )
Valeu rafael, po então foi lorota do cara que me passou isso :) abraços! - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: OBM-L [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 09, 2004 2:55 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO ) Fábio, Acho pouco provável que esse tipo de exercício tenha caído numa IMO, mas... (x + y)^7 - (x^7 + y^7) = 7xy(x + y)(x^2 + xy + y^2)^2 Uma identidade semelhante foi usada por Lamé na demonstração do Último Teorema de Fermat para n = 7. (x + y + z)^7 - (x^7 + y^7 + z^7) = = 7(x+y)(x+z)(y+z)[(x^2 + y^2 + z^2 + xy + xz + yz)^2 + xyz(x + y + z)] Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Fabio Contreiras To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 09, 2004 2:32 PM Subject: [obm-l] Fatoração ( IMO ) Alguem tem ideia de como fatorar isso? Um Abraço! ( x + y )^7 - ( x^7 + y^7 ) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO )
Fabio Contreiras said: Valeu rafael, po então foi lorota do cara que me passou isso :) abraços! [...] Eu acho que você quer o seguinte problema: (IMO-84) Encontre todos os inteiros a, b tais que ab(a+b) não é múltiplo de 7 mas (a+b)^7 - (a^7 + b^7) é divisível por 7^7. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO )
Graças ao Fábio D. Moreira, agora sabemos que a lorota foi parcial... Como o problema, pelo visto, interessou a várias pessoas da lista, eis a demonstração que eu havia omitido: (x + y)^7 - x^7 - y^7 = = 7x^6y + 21x^5.y^2 + 35x^4.y^3 + 35x^3.y^4 + 21x^2.y^5 + 7x.y^6 = 7xy(x^5 + 3x^4.y + 5x^3.y^2 + 5x^2.y^2 + 3x.y^4 + y^5) = 7xy[(x+y)(x^4-x^3.y+x^2.y^2-x.y^3+y^4+3xy(x^3+y^3)+5x^2.y^2(x+y)] = 7xy[(x+y)(x^4-x^3.y+x^2.y^2-x.y^3+y^4+3xy(x+y)(x^2-xy+y^2)+5x^2.y^2(x+y)] = 7xy(x+y)[x^4-x^3.y+x^2.y^2-x.y^3+y^4+3xy(x^2-xy+y^2)+5x^2.y^2] = 7xy(x+y)[x^4 - x^3.y - x.y^3 + y^4 + 3xy(x^2 + xy + y^2)] = 7xy(x+y)[x(x^3 - y^3) - y(x^3 - y^3) + 3xy(x^2 + xy + y^2)] = 7xy(x+y)[(x-y)(x^3 - y^3) + 3xy(x^2 + xy + y^2)] = 7xy(x+y)[(x-y)(x-y)(x^2 + xy + y^2) + 3xy(x^2 + xy + y^2)] = 7xy(x+y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - 2xy + y^2 + 3xy) = 7xy(x+y)(x^2 + xy + y^2)^2 Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 09, 2004 4:00 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO ) Valeu rafael, po então foi lorota do cara que me passou isso :) abraços! - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: OBM-L [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 09, 2004 2:55 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO ) Fábio, Acho pouco provável que esse tipo de exercício tenha caído numa IMO, mas... (x + y)^7 - (x^7 + y^7) = 7xy(x + y)(x^2 + xy + y^2)^2 Uma identidade semelhante foi usada por Lamé na demonstração do Último Teorema de Fermat para n = 7. (x + y + z)^7 - (x^7 + y^7 + z^7) = = 7(x+y)(x+z)(y+z)[(x^2 + y^2 + z^2 + xy + xz + yz)^2 + xyz(x + y + z)] Abraços, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Rafael, Vou tentar desenhar aqui a construção do algoritmo e, por fim, explico o raciocínio. x^3 + y^3 | x + y - x^3 - x^2y |¯ | x^2 - xy + y^2 - x^2*y + y^3 | x^2*y + x*y^2 | | x*y^2 + y^3 | - x*y^2 - y^3 | | 0 | O método da chave é um algoritmo que funciona da seguinte forma: o primeiro termo do dividendo é dividido pelo primeiro termo do divisor, isto é, x^3/x = x^2. Este resultado (x^2) é multiplicado pelo divisor e subtraído do dividendo (x^3 + y^3), ou seja, -(x^2*x + x^2*y) = -(x^3 + x^2*y). Após a subtração, ficamos com -x^2*y + y^3. O processo se reinicia: -x^2*y, que é agora o primeiro termo do dividendo, é dividido pelo primeiro termo do divisor: -x^2*y/x = -xy. Este resultado (-xy) é multiplicado pelo divisor e subtraído do último dividendo (-x^2*y + y^3), ficamos com: x*y^2 + y^3. E o mesmo se repete: x*y^2 / x = y^2, que é multiplicado pelo divisor, subtraído do último dividendo (x*y^3 + y^3), resultando em 0 (divisão exata). Duas observações são importantes sobre o algoritmo: a cada passo da divisão, o primeiro termo do dividendo é cancelado, e a divisão continua até que se obtenha 0 (divisão exata) ou um polinômio de grau menor que o do divisor. E, por fim, se você prestar atenção ao algoritmo, verá que ele é bem semelhante ao da divisão euclidiana para os números e a sua justificativa (demonstração) é basicamente a mesma. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 04, 2004 5:40 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração Ola Rafael, Voce poderia me dizer como voce fez a divisao de x^3 + y^3 por (x+y) ? ps: eu ate conheco a divisao pelo metodo da chave, mas nao estou conseguindo neste caso. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. Esta errado Eduardo. É pedido para fatorar em R voce restringiu o dominio, logo não obedebeu as condicoes do enunciado. Veja o resultado da fatoracao na minha msg. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
From: niski [EMAIL PROTECTED] Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. Esta errado Eduardo. É pedido para fatorar em R voce restringiu o dominio, logo não obedebeu as condicoes do enunciado. Veja o resultado da fatoracao na minha msg. Niski, eu disse a seguinte frase: Quando queremos fatorar a expressão (x^6 + x^3y^3 + y^6) nos reais, estamos interessados em encontrar uma expressão produto ou quociente que valha para todos os pontos do plano (x, y). No caso a expressão (x^9 - y^9)/(x^3 - y^3) = (x^6 + x^3y^3 + y^6) SÓ VALE QUANDO (x^3 - y^3) não é zero, ou seja quando x é diferente de y. Portanto essa fatoração funciona em todos os pontos (x, y) do plano, excetuando-se a reta afim, onde vale x=y Repare na conclusão: Portanto essa fatoração funciona em todos os pontos (x, y) do plano, EXCETUANDO-SE a reta afim, onde vale x=y. Se você ler todo o meu e-mail, vai ver que isso quer dizer que essa NÃO É UMA FATORAÇÃO VÁLIDA NOS REAIS, como você diz. Eu estava tentando explicar o que era esse domínio de fatoração, era essa a minha intenção. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Nao pois suponha x=1 e y=1 1^6 + 1^3.1^3 + 1^6 = 3 que e diferente de (1^9 - 1^9)/(1^3 - 1^3) Detalhe eu falei fatoracao em reais e nao em complexos! Muito obrigado pela forca, creio que chegaremos ha algum lugar logo logo. Ate -- Mensagem original -- (x^6 + x^3.y^3 + y^6)(x^3 - y^3) = x^9 - y^9 x^6 + x^3.y^3 + y^6= (x^9 - y^9)/(x^3 - y^3) seria isso? []'s Igor... - Original Message - From: hilhend [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 19, 2002 8:31 PM Subject: [obm-l] Fatoração Estou enviando a todos novamente aquele expressao a fatorar em re ais X^6 +X^3.Y^3 + Y^6 pois acredito nao tenha sido visto na imensidao de mensagens. Se o problema for inconsistente mostre que e. Um abraço a todos. E ae igor , como é que ta ? a resolução dessa questão foi feita pelo Morgado a poucos dias , ach o que o hilhend não viu , ae esta denovo. x^6 +y^6 + x^3.y^3 = (x^9-y^9)/(x^3-y^3) x^9-y^9 = Produtorio de (x-ycis 2kpi/9) com k variando de 0 a 8 Os fatores correspondentes a k = 0, 3 e 6, multiplicados dao x^3- y^3. Logo, x^6 +y^6 + x^3.y^3 = Produtorio de (x- ycis 2kpi/9) com k= 1,2,4, 5,7, 8 . Estah fatorado como um produto de 6 fatores complexos de primeiro grau. Grupando os fatores 1-8, 2-7 e 4-5, obtem- se uma fatoraçao em tres fatores reais de grau 2. |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Oi pessoal, Olhei para a fatoração e não entendi a explicação: Nao. Pq o dominio é Reais. Com a sua fatoracao (onde tem uma divisao) x^3 nao pode ser igual a y^3 o que restringe o dominio. Poderiam ser mais didáticos na explicação, Sds: Thomas. - Original Message - From: niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 19, 2002 10:34 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração Igor Castro wrote: (x^6 + x^3.y^3 + y^6)(x^3 - y^3) = x^9 - y^9 x^6 + x^3.y^3 + y^6= (x^9 - y^9)/(x^3 - y^3) seria isso? Nao. Pq o dominio é Reais. Com a sua fatoracao (onde tem uma divisao) x^3 nao pode ser igual a y^3 o que restringe o dominio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Oi Thomas, acontece o seguinte. Alguém pede uma fatoração da expressão 1 + x + x^2 nos reais, o que quer dizer que querem expressar essa mesma expressão como um produto ou quociente de expressões (possivelmente mais simples) de forma que para todo x real (esse é o domínio explícito: domínio no sentido de considerarmos f(x) = 1 + x + x^2 uma função de domínio real f:R-R) ela se iguala à expressão produto ou quociente. Por exemplo. Temos que (1 + x + x^2)*(x - 1) = (x + x^2 + x^3) - (1 + x + x^2) = (x^3 - 1) ou seja (1 + x + x^2)*(x - 1) = (x^3 - 1) e essa expressão vale para TODO o x real, aí ficamos tentados a escrever (1 + x + x^2) = (x^3 - 1)/(x - 1) o que ainda é verdade, mas só no caso de (x - 1) ser diferente de 0, portanto o domínio onde vale a expressão (x^3 - 1)/(x - 1) é os reais menos o zero, e por isso essa não é uma fatoração válida para todos os reais. Por que surge a restrição na hora do quociente? Se temos a*b = c podemos dizer que vale a = c/b só se b for diferente de zero. Se quiséssemos fatorar a expressão (x^3 - 1)/(x - 1) nos reais sem o zero, aí sim poderíamos dizer (x^3 - 1)/(x - 1) = (1 + x + x^2) pois nesse domínio as duas expressões sempre são iguais. Um outro exemplo é o seguinte. A expressão (x^2 - y^2) pode ser fatorada da seguinte forma (x^2 - y^2) = (x + y)*(x - y) E a expressão da direita vale para todos os reais, por isso é uma fatoração válida. Um outro exemplo ainda é o seguinte. Fatorar, nos reais, a expressão (1 - x^2 + x^4) multiplique-a por (x^2 + 1) (1 - x^2 + x^4)*(x^2 + 1) = (x^2 - x^4 + x^6) + (1 - x^2 + x^4) = (x^6 + 1) o que nos deixa tentados a escrever (1 - x^2 + x^4) = (x^6 + 1)/(x^2 + 1) o que é verdade para todos os reais, então temos uma fatoração válida nos reais. Já nos complexos ela não é válida, pois (x^6 + 1)/(x^2 + 1) não está definida para x=i. Quando queremos fatorar a expressão (x^6 + x^3y^3 + y^6) no reais, estamos interessados em encontrar uma expressão produto ou quociente que valha para todos os pontos do plano (x, y). No caso a expressão (x^9 - y^9)/(x^3 - y^3) = (x^6 + x^3y^3 + y^6) só vale quando (x^3 - y^3) não é zero, ou seja quando x é diferente de y. Portanto essa fatoração funciona funciona em todos os pontos (x, y) do plano, excetuando-se a reta afim, onde vale x=y Espero não ter sido muito simplório e que tenha explicado o que interessa. Um abraço a todos! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: Thomas de Rossi [EMAIL PROTECTED] Oi pessoal, Olhei para a fatoração e não entendi a explicação: Nao. Pq o dominio é Reais. Com a sua fatoracao (onde tem uma divisao) x^3 nao pode ser igual a y^3 o que restringe o dominio. Poderiam ser mais didáticos na explicação, Sds: Thomas. - Original Message - From: niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 19, 2002 10:34 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração Igor Castro wrote: (x^6 + x^3.y^3 + y^6)(x^3 - y^3) = x^9 - y^9 x^6 + x^3.y^3 + y^6= (x^9 - y^9)/(x^3 - y^3) seria isso? Nao. Pq o dominio é Reais. Com a sua fatoracao (onde tem uma divisao) x^3 nao pode ser igual a y^3 o que restringe o dominio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
From: Giovanni Gabriel<[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To:<[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fatorao Date: Tue, 26 Mar 2002 14:44:32 -0300 A fatorao no poderia ser tambm algo como ? ( x^5 + (1+raiz(-3))/2 ) ( x^5 + (1-raiz(-3))/2 ) Abs, Giovanni ANSWER A tua resposta e NAO.No problema subentende-se fatorar em polinomios(ou seja,sem apelar para coeficientes nao-naturais).Logo... Enfim,voce pode usar isso como arma em varios tipos de problema,mas nao nesse.Ate mais!! []s,Anderson [EMAIL PROTECTED] 03/26/02 01:35 On Tue, Mar 26, 2002 at 10:51:18AM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: E a pessoal, algum resolveu aquele problema de fatorao? (Fatorar x^10+x^5+1) Um monte de gente! (inclusive eu) Voc tem certeza de que est *lendo* as mensagens da lista? Voc est lendo esta frase que eu estou escrevendo agora? []s, N. PS: x^10 + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1) Me = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista <[EMAIL PROTECTED]> = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista <[EMAIL PROTECTED]> = Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Como dizia o Rafael que apresentou o problema: Sobre a fatoração x^10 + x^5 + 1, esqueci de falar que os coeficientes devem ser inteiros. Então não poderia ser do jeito que vc mostrou. Até mais Vinicius Fortuna - Original Message - From: Giovanni Gabriel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 26, 2002 2:44 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração A fatoração não poderia ser também algo como ? ( x^5 + (1+raiz(-3))/2 ) ( x^5 + (1-raiz(-3))/2 ) Abs, Giovanni = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Boa pergunta. Alguem havia dito que os coeficientes deveriam ser inteiros. A rigor, neste tipo de problema, deve-se dizer onde devem estar os coeficientes. mas muitas vezes fica implicito na cabeca de todo mundo que os coficientes devem ser reais; se possivel, racionais; se possivel, inteiros. Reforco a observacao do Nicolau: o problema ja foi resolvido por varios. JP - Original Message - From: Giovanni Gabriel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 26, 2002 2:44 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração A fatoração não poderia ser também algo como ? ( x^5 + (1+raiz(-3))/2 ) ( x^5 + (1-raiz(-3))/2 ) Abs, Giovanni [EMAIL PROTECTED] 03/26/02 01:35 On Tue, Mar 26, 2002 at 10:51:18AM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: E aí pessoal, alguém resolveu aquele problema de fatoração? (Fatorar x^10+x^5+1) Um monte de gente! (inclusive eu) Você tem certeza de que está *lendo* as mensagens da lista? Você está lendo esta frase que eu estou escrevendo agora? []s, N. PS: x^10 + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Problema:Fatorar x^10+x^5+1.
Resposta: Comece pensando em t=x^5 e notando que t^2+t+1 = (t^3-1)/(t-1) --
veja abaixo.
No segundo passo, fatorei o x^15-1, mas agora pensando em u=x^3 e
u^5-1 = (u-1)(u^4+u^3+u^2+1). Daí pra frente, é só rearrumar as coisas
cruzando os dedos para dar certo.
x^10+x^5+1 = (x^15-1)/(x^5-1) =
{(x^3-1)(x^12+x^9+x^6+x^3+1)}/{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)} =
= {(x^3-1)/(x-1)}{(x^12+x^9+x^6+x^3+1)/(x^4+x^3+x^2+x+1)} =
(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
--//--
Traduzindo em complexos: as raízes de x^10+x^5+1 são as raízes 15as da
unidade, tirando as raizes quintas, como a minha primeira igualdade acima
mostra. Isto é, se a é uma raiz primitiva de ordem 15 (digamos,
a=e^(2(Pi)i/15)), entao as raizes de x^10+x^5+1 sao
{a, a^2, a^4, a^5, a^7, a^8, a^10, a^11, a^13, a^14}
Mas a^5 e a^10 sao as duas raizes cubicas complexas da unidade! Juntas elas
sao raizes do polinomio
(x^3-1)/(x-1) = x^2+x+1 (=(x-a^5)(x-a^10))
E portanto x^2+x+1 divide x^10+x^5+1. O resto é fazer a conta da divisão e
torcer para dar tudo inteiro.
Abraço,
Ralph
=
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