[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Esta equação trigonométrica tem raízes não reais?

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2018-05-24 13:29 GMT-03:00 Artur Steiner :
> Nâo tem mesmo nâo. Outra forma de ver isto é com a identidade sen(z) +
> cos(z) = raiz(2) sen(z + pi/4), Isto nos leva a
>
> sen(z + pi/4) = raiz(2)/2, que é um real em [-1, 1]. Logo, z + pi/4, e
> portanto z, são reais.
>
> Se sen(z) é um real em [-1, 1], então z é real. Condição similar vale para o
> cosseno.

Então dou mais uma ;-)

escrevendo sen(z) e cos(z) em função de w = exp(iz) e 1/w = exp(-iz),
temos uma equação quadrática em w.  Os coeficientes são complexos, mas
a fórmula funciona igual, e portanto temos duas soluções para w.
Substituindo o que já sabemos (z = 0, que dá cos(z) = 1 e sen(z) = 0,
e z = pi/2, que dá trocado), vemos que w = 1 e w = i devem ser solução
da equação, e portanto são as únicas.  Daí, z = log(1)/i = 2 k pi ou z
= log(i)/i = (2 k pi i + pi i /2)/i = 2 k pi + pi/2.

Abraços,
-- 
Bernardo

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Esta equação trigonométrica tem raízes não reais?

[Artur Steiner]

Nâo tem mesmo nâo. Outra forma de ver isto é com a identidade sen(z) +
cos(z) = raiz(2) sen(z + pi/4), Isto nos leva a

sen(z + pi/4) = raiz(2)/2, que é um real em [-1, 1]. Logo, z + pi/4, e
portanto z, são reais.

Se sen(z) é um real em [-1, 1], então z é real. Condição similar vale para
o cosseno.

Artur Costa Steiner

Em Qua, 23 de mai de 2018 12:26, Claudio Buffara 
escreveu:

> Acho que não.
> Elevando ao quadrado (logo, aumentando o conjunto das raízes) você chega
> em sen(2z) = 0 <==> e^(2iz) = e^(-2iz) <==> e^(4iz) = 1 <==> 4iz = m*2*pi*i
> (m inteiro) <==> z = m*pi/2.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> 2018-05-12 21:25 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com>:
>
>> A equação sen(z) + cos(z) = 1
>>
>>  Nos reais, as raízes são os arcos que, no círculo trigonométrico, têm
>> determinações coincidentes com 0 ou com pi/2. Mas há raízes não reais?
>>
>> Isto não é difícil de se chegar a uma conclusão, mas acho interessante.
>>
>> Artur
>>
>>
>> Enviado do meu iPad
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>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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