Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de minimização

2018-03-12 Por tôpico Claudio Buffara 
A propriedade de reflexão na elipse é outra consequência interessante da 
desigualdade triangular e, mais precisamente, da solução do problema de achar o 
caminho mais curto entre os pontos A e B tocando uma reta dada (A e B estando 
num mesmo semiplano determinado pela reta).

No fim, o caminho obedece: ângulo de incidência = ângulo de reflexão.

Isso está bem explicado no livro What is Mathematics? de Courant e Robbins, no 
capítulo que trata de máximos e mínimos.

Assim, na elipse com focos A e B contendo o ponto O, uma reta r por O é 
tangente a elipse se e somente se AO e BO fazem o mesmo ângulo com r se e 
somente se a bissetriz de AOB é perpendicular a r.

O problema do Ralph se reduz a achar a tangente comum às duas elipses. E, pela 
propriedade de reflexão, a bissetriz comum dos ângulos AOB e COD (que são 
opostos pelo vértice) é perpendicular à tangente comum. 

Abs,
Claudio.

Enviado do meu iPhone

Em 12 de mar de 2018, à(s) 21:41, Anderson Torres 
 escreveu:

> Em 11 de março de 2018 22:37, Ralph Teixeira  escreveu:
>> ...e portanto a elipse de focos A e B passando por O tem que ser tangente aa
>> elipse de focos C e D passando por O Fica como exercicio pensar o que
>> uma coisa tem a ver com a outra.
> 
> Heuristicamente, eu chutaria que se tais elipses se cortassem em mais
> de um ponto,
> existiria outro ponto no interior das regiões que teria soma menor.
> Talvez o ponto médio...
> 
>> 
>> (O que podia ser visto de outras formas, diga-se de passagem, se voce sabe
>> que a normal a tal elipse eh a bissetriz de AOB).
>> 
>> Abraco, Ralph.
>> 
>> 
>> 
>> 2018-03-11 20:29 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>> 
>>> É isso aí!
>>> Uma aplicação simples mas elegante da desigualdade triangular.
>>> E o ponto O não parece ser tão difícil de conjecturar. Afinal, o ponto de
>>> intersecção das diagonais talvez seja o “ponto notável”
>>> mais óbvio de um quadrilátero (certamente é o mais fácil de construir -
>>> duas aplicações da régua e nenhuma do compasso).
>>> 
>>> E quando, digamos, o vértice D tende ao vértice C do quadrilátero, o 
>>> ponto
>>> O de intersecção das diagonais não tende ao ponto de Fermat do 
>>> triângulo ABC
>>> pois este é o que tem a menor soma das distâncias aos vértices enquanto 
>>> que
>>> O, no limite, minimiza a soma PA + PB + 2PC.
>>> 
>>> Enviado do meu iPhone
>>> 
>>> Em 11 de mar de 2018, Ã (s) 17:20, Douglas Oliveira de Lima
>>>  escreveu:
>>> 
>>> Seja o quadrilátero ABCD cujas diagonais são AC e BD, e O o ponto de
>>> intersecção das diagonais.Â
>>> Seja também um ponto P em seu interior e as distâncias PA, PB, PC, PD,
>>> temos por desigualdade triângularÂ
>>> que PA+PC>=AC e PB+PD>=BD. Claramente vemos que o ponto P coincide com o
>>> ponto O quando a soma das diagonaisÂ
>>> coincide com a igualdade. Desta forma o ponto procurado é o encontro das
>>> diagonais.
>>> 
>>> 
>>> Forte abraço.
>>> Douglas Oliveira.Â
>>> 
>>> Em 10 de março de 2018 21:07, Claudio Buffara 
>>> escreveu:
 
 Aqui vai um bonitinho que eu nunca tinha visto:
 
 Dado um quadrilátero convexo, determine o ponto cuja soma das
 distâncias aos vértices do quadrilátero é mínima.
 
 Interessante que quando a distância entre dois vértices adjacentes
 dados tende a zero (e o quadrilátero “tende†a um 
 triângulo), o ponto
 de mínimo não parece tender ao ponto de Fermat do triângulo 
 (exceto
 quando o triângulo tem um ângulo >= 120 graus.
 
 Abs,
 Claudio.
 
 Enviado do meu iPhone
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 Â acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
>>> 
>>> 
>>> 
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de minimização

2018-03-12 Por tôpico Anderson Torres 
Em 11 de março de 2018 22:37, Ralph Teixeira  escreveu:
> ...e portanto a elipse de focos A e B passando por O tem que ser tangente aa
> elipse de focos C e D passando por O Fica como exercicio pensar o que
> uma coisa tem a ver com a outra.

Heuristicamente, eu chutaria que se tais elipses se cortassem em mais
de um ponto,
existiria outro ponto no interior das regiões que teria soma menor.
Talvez o ponto médio...

>
> (O que podia ser visto de outras formas, diga-se de passagem, se voce sabe
> que a normal a tal elipse eh a bissetriz de AOB).
>
> Abraco, Ralph.
>
>
>
> 2018-03-11 20:29 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>
>> É isso aí!
>> Uma aplicação simples mas elegante da desigualdade triangular.
>> E o ponto O não parece ser tão difícil de conjecturar. Afinal, o ponto de
>> intersecção das diagonais talvez seja o “ponto notável”
>> mais óbvio de um quadrilátero (certamente é o mais fácil de construir -
>> duas aplicações da régua e nenhuma do compasso).
>>
>> E quando, digamos, o vértice D tende ao vértice C do quadrilátero, o ponto
>> O de intersecção das diagonais não tende ao ponto de Fermat do triângulo ABC
>> pois este é o que tem a menor soma das distâncias aos vértices enquanto que
>> O, no limite, minimiza a soma PA + PB + 2PC.
>>
>> Enviado do meu iPhone
>>
>> Em 11 de mar de 2018, à(s) 17:20, Douglas Oliveira de Lima
>>  escreveu:
>>
>> Seja o quadrilátero ABCD cujas diagonais são AC e BD, e O o ponto de
>> intersecção das diagonais.Â
>> Seja também um ponto P em seu interior e as distâncias PA, PB, PC, PD,
>> temos por desigualdade triângularÂ
>> que PA+PC>=AC e PB+PD>=BD. Claramente vemos que o ponto P coincide com o
>> ponto O quando a soma das diagonaisÂ
>> coincide com a igualdade. Desta forma o ponto procurado é o encontro das
>> diagonais.
>>
>>
>> Forte abraço.
>> Douglas Oliveira.Â
>>
>> Em 10 de março de 2018 21:07, Claudio Buffara 
>> escreveu:
>>>
>>> Aqui vai um bonitinho que eu nunca tinha visto:
>>>
>>> Dado um quadrilátero convexo, determine o ponto cuja soma das
>>> distâncias aos vértices do quadrilátero é mínima.
>>>
>>> Interessante que quando a distância entre dois vértices adjacentes
>>> dados tende a zero (e o quadrilátero “tende†a um triângulo), o ponto
>>> de mínimo não parece tender ao ponto de Fermat do triângulo (exceto
>>> quando o triângulo tem um ângulo >= 120 graus.
>>>
>>> Abs,
>>> Claudio.
>>>
>>> Enviado do meu iPhone
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>>
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>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de minimização

2018-03-11 Por tôpico Ralph Teixeira 
...e portanto a elipse de focos A e B passando por O tem que ser tangente
aa elipse de focos C e D passando por O Fica como exercicio pensar o
que uma coisa tem a ver com a outra.

(O que podia ser visto de outras formas, diga-se de passagem, se voce sabe
que a normal a tal elipse eh a bissetriz de AOB).

Abraco, Ralph.



2018-03-11 20:29 GMT-03:00 Claudio Buffara :

> É isso aí!
> Uma aplicação simples mas elegante da desigualdade triangular.
> E o ponto O não parece ser tão difícil de conjecturar. Afinal, o ponto de
> intersecção das diagonais talvez seja o “ponto notável”
> mais óbvio de um quadrilátero (certamente é o mais fácil de construir -
> duas aplicações da régua e nenhuma do compasso).
>
> E quando, digamos, o vértice D tende ao vértice C do quadrilátero, o ponto
> O de intersecção das diagonais não tende ao ponto de Fermat do triângulo
> ABC pois este é o que tem a menor soma das distâncias aos vértices enquanto
> que O, no limite, minimiza a soma PA + PB + 2PC.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 11 de mar de 2018, à(s) 17:20, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
> Seja o quadrilátero ABCD cujas diagonais são AC e BD, e O o ponto de
> intersecção das diagonais.Â
> Seja também um ponto P em seu interior e as distâncias PA, PB, PC, PD,
> temos por desigualdade triângularÂ
> que PA+PC>=AC e PB+PD>=BD. Claramente vemos que o ponto P coincide com o
> ponto O quando a soma das diagonaisÂ
> coincide com a igualdade. Desta forma o ponto procurado é o encontro das
> diagonais.
>
>
> Forte abraço.
> Douglas Oliveira.Â
>
> Em 10 de março de 2018 21:07, Claudio Buffara 
> escreveu:
>
>> Aqui vai um bonitinho que eu nunca tinha visto:
>>
>> Dado um quadrilátero convexo, determine o ponto cuja soma das
>> distâncias aos vértices do quadrilátero é mínima.
>>
>> Interessante que quando a distância entre dois vértices adjacentes
>> dados tende a zero (e o quadrilátero “tende†a um triângulo), o ponto
>> de mínimo não parece tender ao ponto de Fermat do triângulo (exceto
>> quando o triângulo tem um ângulo >= 120 graus.
>>
>> Abs,
>> Claudio.
>>
>> Enviado do meu iPhone
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
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> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.
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 acredita-se estar livre de perigo.