Ola Pessoal,
Em teoria da computacao se aprende que a integracao e um processo algoritmo,
assim como a diferenciacao.
o ALGORITMO DE RISCH e um desenvolvimento do teorema de um trabalho de
Laplace que permite fazer da integracao analitica um algoritmo assim como
fazemos hoje com a diferenciacao.
Nao e um algoritmo simples, mas, em poucas palavras consiste em exprimir a
integral de uma funcao como um COMBINACAO LINEAR de LOGARITMOS. O algoritmo
propriamente dito e justamente o metodo de calcular os coeficientes desse
desenvolvimento ...
integrla Fdx = A + somatorio (Bi.LOG Ci)
Encontrar A, Bi e Ci e o algoritmo propriamente dito.
Segundo a tese de Church, a todo procedimento efetivo corresponde uma
maquina de turing. Segue que as funcoes algoritmicas sao passiveis de serem
programadas para serem executadas por um computador ( com maior ou menor
complexidade ). Sera que as atividades que nos sao proprias sao justamente
aquelas que nao sao algoritmicas ? Isto e, a nossa humanidade se revela so
em atividades nao algoritmicas ?
Parece trivial que se uma atividade pode ser feita por um homem e por uma
maquina, entao : atribua esta tarefa a maquina, pois e um a tarefa
algoritmica, logo, inferior. Mas, se for assim, o que resta ? Quasi sao os
afazeres tipicos relacionados as atividades nao-algoritmicas ? Que
tecnologia sai dai ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1952,080702
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Risch algorithm
Date: Mon, 8 Jul 2002 18:28:24 -0300
Sauda,c~oes,
Não sabia como obter f(x)=x^{x+1} do email abaixo.
Então escrevi pro prof. Rousseau novamente.
Como havia um engano na resposta dele, mando
este email somente para fazer o registro.
Para os que gostam da transformada de Laplace,
mais um exemplo do uso desta ferramenta.
Lamento a notação exótica.
===
Dear Luis:
It seems that I made a mistake. The result I get now seems
to be slightly different from the one that I quoted. The way that
I took may be the long way around, but this is how I proceeded.
Start with the Laplace transform of t^n:
\int_0^{\infty} t^n e^{-st} dt = n!/s^{n+1}.
Replace n by n-1 and set s = n+1. Thus
\int_0^{\infty} t^{n-1} e^{-(n+1)t} dt = \frac{(n-1)!}{(n+1)^n}.
Thus (formally) the series in question is given by
1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^n}
= 1 + \int_0^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(t e^{-t})^{n-1}}{(n-1)!}
e^{-2t} dt = 1 + \int_0^{\infty} exp(t exp(-t)) e^{-2t} dt.
Now set u = e^{-t} so the integral becomes
\int_0^{\infty} exp(t exp(-t)) e^{-t} dt = \int_1^0 \frac{1}{u^u} u (-du)
= \int_0^1 \frac{u du}{u^{u}}.
Thus the sum of the series is
1 + \int_0^1 \frac{u du}{u^u}.
This checks numerically using Maple. It follows that there is an exact
formula for the sum of the series if and only if there is one for the
integral. I'll stick by my conviction that this is highly unlikely. I
haven't done it, but I believe that the Risch algorithm will show that the
antiderivative of u/u^u is not an elementary function. This doesn't
complete the story since there are definite integrals that one can
evaluate even though you can't express the indefinite integral as
an elementary function (for example \int_0^{\infty} exp(-x^2) dx).
Cheers,
Cecil
===
[]'s
Luis
===
As for the other question, I would be exceedingly surprised if
the series in question has closed form sum. Of course, one can
re-express the series sum as an integral; a quick calculation gives
\int_0^1 x^{x+1} dx,
and I am confident that one prove (using the Risch algorithm) that
x^{x+1} has no antiderivative in elementary terms. While this
doesn't completely settle the issue, it comes close.
===
Para registrar, o problema 2 era
2) Calcule S = 1 / (1+n)^n =
= 1 + 1/2 + 1/3^2 + 1/4^3 +
Agora uma pergunta: alguém conhece esse algoritmo
de Risch? Nunca ouvi falar disso. E então aquela outra
soma que apareceu por aqui - S = \sum 1 / n^n -
recentemente deve ter o mesmo tratamento e conclusão:
nada de forma fechada.
[]'s
Luís
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