Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[gugu]

   Dá para fazer com interpolação de Lagrange: o único polinômio de  
grau <=n-1 que vale 1 em r_i para 1<=i<=n (que obviamente é o  
polinômio constante igual a 1) é dado por
soma_(1<=i<=n)Produto_(j<>i)((x-r_j)/(r_i-r_j)). Aí é só olhar para o  
coeficiente de x^[n-1} (que é 0).

   Abraços,
 Gugu

Quoting Claudio Buffara :


Resumo da ópera: ainda não temos uma demonstração elementar disso.

Mas não deixa de ser interessante tentar dar uma interpretação geométrica
da expressão para polinômios de grau baixo que tenham todas as raízes reais
e distintas.

Grau 2 é meio evidente:  as retas tangentes à parábola nas raízes têm
inclinações de mesma magnitude e sinais opostos.

Grau 3 é mais interessante...
De cara, dá margem ao problema: "Uma função polinomial de grau 3 tem raízes
(ou será que é melhor chamar de "zeros" - funções têm zeros, quem tem
raízes são equações...) reais e distintas: a, b e c. Se as retas tangentes
ao gráfico da função nos pontos (a,0) e (b,0) têm inclinações m e n,
respectivamente, determine a inclinação da reta tangente ao gráfico no
ponto (c,0).", cuja tentativa mais óbvia de solução vai descambar num monte
de contas (desnecessárias) envolvendo a, b e c, quando a resposta é
-mn/(m+n).

[]s,
Claudio.

2018-04-16 14:10 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:


Entao a questao é até que ponto ela é verdadeira , pois funciona para
casos elementares.

Douglas Oliveira

Em dom, 15 de abr de 2018 22:29, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:


2018-04-15 13:09 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
:
> Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo.

Como usa Lagrange, a fórmula segue para k = 0, 1, ... n-1
(interpolando em n pontos, vamos até grau n-1).  E é, de fato, falso
para k = n, use P(x) = (x-1)(x+1).

Além disso, mesmo para k = n-1, a demonstração por complexa não se
aplica mais (o grau dá errado...), e o mesmo polinômio serve para
mostrar que a soma não dá mais zero.

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=



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Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2018-04-16 20:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> Resumo da ópera: ainda não temos uma demonstração elementar disso.
>
> Mas não deixa de ser interessante tentar dar uma interpretação geométrica da
> expressão para polinômios de grau baixo que tenham todas as raízes reais e
> distintas.
>
> Grau 2 é meio evidente:  as retas tangentes à parábola nas raízes têm
> inclinações de mesma magnitude e sinais opostos.

A média harmônica das inclinações é zero, o que mesmo algébrico, não
deixa de ser interessante.  E talvez "baste" achar uma visão
geométrica da média harmônica neste contexto. Outra forma de dar a
mesma equação é que "a última inclinação" é (o oposto) da média
harmônica das outras.  Como interpretar isso, tenho menos ideia
ainda...


> Grau 3 é mais interessante...
> De cara, dá margem ao problema: "Uma função polinomial de grau 3 tem raízes
> (ou será que é melhor chamar de "zeros" - funções têm zeros, quem tem raízes
> são equações...) reais e distintas: a, b e c. Se as retas tangentes ao
> gráfico da função nos pontos (a,0) e (b,0) têm inclinações m e n,
> respectivamente, determine a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto
> (c,0).", cuja tentativa mais óbvia de solução vai descambar num monte de
> contas (desnecessárias) envolvendo a, b e c, quando a resposta é -mn/(m+n).

Também é verdade (graças ao Douglas e o Polinômio Interpolador de
Lagrange) que a/m + b/n - c(m+n)/mn = 0, ou seja, an + bm = c(m+n), o
que dá uma relação entre m e n em função das raízes.  Observe que isso
está "certo" (de novo do ponto de vista algébrico), pois o polinômio
tem 4 coeficientes, e além das 3 raízes, precisamos de um fator
multiplicativo, que pode ser dado de várias formas: tipicamente, é o
coeficiente de mais alto grau ou o valor em um ponto particular que
não seja zero, mas agora acabamos de ver que poderia até ser a
inclinação de uma tangente a uma raiz simples! (a, b, c, m determinam
tudo!)

Aliás, isso sugere que talvez haja uma demonstração puramente
algébrica para tudo isso, contando dimensões.  O número de
coeficientes do polinômio é (n+1).  Por outro lado, dados n valores
x_i (para as raízes), e n valores m_i (para as derivadas nestes
pontos), sabemos que há n-1 equações G(X_i, M_i) = 0 para "acertar a
dimensão".  Claro que as equações devem ser simétricas nos X_i e
M_i... mas isso ainda não basta para mostrar a forma especial \sum
X_i^k / M_i = 0...  Alguém tem uma ideia?  Por exemplo, já pode ser um
bom passo mostrar que as equações são homogêneas em X e M.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Claudio Buffara]

Resumo da ópera: ainda não temos uma demonstração elementar disso.

Mas não deixa de ser interessante tentar dar uma interpretação geométrica
da expressão para polinômios de grau baixo que tenham todas as raízes reais
e distintas.

Grau 2 é meio evidente:  as retas tangentes à parábola nas raízes têm
inclinações de mesma magnitude e sinais opostos.

Grau 3 é mais interessante...
De cara, dá margem ao problema: "Uma função polinomial de grau 3 tem raízes
(ou será que é melhor chamar de "zeros" - funções têm zeros, quem tem
raízes são equações...) reais e distintas: a, b e c. Se as retas tangentes
ao gráfico da função nos pontos (a,0) e (b,0) têm inclinações m e n,
respectivamente, determine a inclinação da reta tangente ao gráfico no
ponto (c,0).", cuja tentativa mais óbvia de solução vai descambar num monte
de contas (desnecessárias) envolvendo a, b e c, quando a resposta é
-mn/(m+n).

[]s,
Claudio.

2018-04-16 14:10 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Entao a questao é até que ponto ela é verdadeira , pois funciona para
> casos elementares.
>
> Douglas Oliveira
>
> Em dom, 15 de abr de 2018 22:29, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> 2018-04-15 13:09 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
>> :
>> > Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo.
>>
>> Como usa Lagrange, a fórmula segue para k = 0, 1, ... n-1
>> (interpolando em n pontos, vamos até grau n-1).  E é, de fato, falso
>> para k = n, use P(x) = (x-1)(x+1).
>>
>> Além disso, mesmo para k = n-1, a demonstração por complexa não se
>> aplica mais (o grau dá errado...), e o mesmo polinômio serve para
>> mostrar que a soma não dá mais zero.
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
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>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> acredita-se estar livre de perigo.
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Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Artur Steiner]

É verdadeira para todo polinômio de grau  n >= 2 que tenha n raízes
simples.

Artur Costa Steiner

Em Seg, 16 de abr de 2018 14:18, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Entao a questao é até que ponto ela é verdadeira , pois funciona para
> casos elementares.
>
> Douglas Oliveira
>
> Em dom, 15 de abr de 2018 22:29, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> 2018-04-15 13:09 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
>> :
>> > Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo.
>>
>> Como usa Lagrange, a fórmula segue para k = 0, 1, ... n-1
>> (interpolando em n pontos, vamos até grau n-1).  E é, de fato, falso
>> para k = n, use P(x) = (x-1)(x+1).
>>
>> Além disso, mesmo para k = n-1, a demonstração por complexa não se
>> aplica mais (o grau dá errado...), e o mesmo polinômio serve para
>> mostrar que a soma não dá mais zero.
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Douglas Oliveira de Lima]

Entao a questao é até que ponto ela é verdadeira , pois funciona para casos
elementares.

Douglas Oliveira

Em dom, 15 de abr de 2018 22:29, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2018-04-15 13:09 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
> :
> > Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo.
>
> Como usa Lagrange, a fórmula segue para k = 0, 1, ... n-1
> (interpolando em n pontos, vamos até grau n-1).  E é, de fato, falso
> para k = n, use P(x) = (x-1)(x+1).
>
> Além disso, mesmo para k = n-1, a demonstração por complexa não se
> aplica mais (o grau dá errado...), e o mesmo polinômio serve para
> mostrar que a soma não dá mais zero.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
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Re: Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[qedtexte]

Sauda,c~oes,

Mandei a mensagem abaixo dessa na 6a.feira mas acho que no chegou.

Terminei a dita mensagem com a pergunta


Como concluir (seria possvel ?) a partir de (*)
que \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)} = 0 ?

Na verdade o Gugu provara (*) para o caso real, ou seja, Q(x) e no
Q(z). Talvez seja possvel provar (*) para Q(z) com alguma 
adaptao.
Aqui vou provar a soma pedida para os polinmios com os coeficientes
reais.

Seja



1/Q(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)}\frac{1}{x-a_k} (*)


obtida a partir de


\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x-a_k}

Igualando o denominador de todas as parcelas do somatrio (*) 
obtm-se
um polinmio no numerador cujo termo lder  x^{n-1} e seu 
coeficiente
vale \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)}. Ento para n=2 esta soma tem 
que
ser igual a zero pois por (*) o polinmio obtido s possui o termo 
independente
1.

Abs,
Lus



 mensagem enviada na ltima 6a.feira
Sauda,c~oes,

H algum (bastante) tempo atrs o Gugu (seme permitem)
mandou para a lista a prova do seguinte resultado:


Sejam P(z) e Q(z) dois polinmios, de graus m e n, respectivamente,
e mn. Se todas as n razes a_k de Q(z) so razes 
simples,
ento a decomposio em fraes parciais de 
P(z)/Q(z)
pode ser expressa da seguinte maneira (\frac{A}{B}=A/B) :

\frac{P(z)}{Q(z)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{z-a_k}
onde Q'(z)=\frac{d}{dz}Q(z).


Ento se P(z) = 1 para todo z,


1/Q(z) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)}\frac{1}{z-a_k} (*)

Como concluir (seria possvel ?) a partir de (*)
que \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)} = 0 ?

Abs,
Lus

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2018-04-15 13:09 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
:
> Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo.

Como usa Lagrange, a fórmula segue para k = 0, 1, ... n-1
(interpolando em n pontos, vamos até grau n-1).  E é, de fato, falso
para k = n, use P(x) = (x-1)(x+1).

Além disso, mesmo para k = n-1, a demonstração por complexa não se
aplica mais (o grau dá errado...), e o mesmo polinômio serve para
mostrar que a soma não dá mais zero.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Douglas Oliveira de Lima]

Usa o polinomio de Lagrange , nao é nada obvia mesmo.

Douglas Oliveira.

Em sex, 13 de abr de 2018 13:41, Claudio Buffara 
escreveu:

> Essa identidade:
>  x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i)
> não me parece nada óbvia.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-13 5:56 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
>> Entao, sendo x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i) , é só
>> igualar os coeficientes de x^(n-1) e pronto, a identidade se torna ate mais
>> genérica
>>
>> Soma (i= 1, n) (x_i)^k/P'(x_i) = 0
>>
>> Obs: x_i sao raizes.
>>
>> Abraco
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>>
>>
>>
>> Em 8 de abr de 2018 20:50, "Artur Steiner" 
>> escreveu:
>>
>> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples
>> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0.
>>
>> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um
>> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Claudio Buffara]

Essa identidade:
 x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i)
não me parece nada óbvia.

[]s,
Claudio.


2018-04-13 5:56 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Entao, sendo x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i) , é só
> igualar os coeficientes de x^(n-1) e pronto, a identidade se torna ate mais
> genérica
>
> Soma (i= 1, n) (x_i)^k/P'(x_i) = 0
>
> Obs: x_i sao raizes.
>
> Abraco
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
>
> Em 8 de abr de 2018 20:50, "Artur Steiner" 
> escreveu:
>
> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples
> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0.
>
> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um
> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa.
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Artur Steiner]

A prova por análise complexa baseia-se no fato de que, se P e Q  são
polinômios com grau(P) >= grau(Q) + 2 e f =Q/P, definida para P(z) <> 0,
então,

Soma (z em Z) Res(f, z) = 0  (*)

onde Z é o conjunto dos zeros de P e Res(f, z) é o resíduo de f em z, que é
pólo de f.

A prova disso baseia-se no teorema dos resíduos e no fato de que lim r -->
oo Integral (sobre Cr) f(z) dz = 0, sendo Cr a periferia do disco de centro
na origem e raio r.

Particularizando-se para o caso em que Q(z) = 1 para todo z,  f = 1/P e (*)
se reduz a

Soma (z em Z) Res(1/P, z) = 0 (**)

Se z é zero simples de P, então Res(1/P, z) = 1/P'(z), pois z é pólo
simples de 1/P (observe que, neste caso,  P'(z) <> 0). Supondo-se agora que
P tem grau n >= 2 e tem n zeros simples r_1,  r_n, (**) implica que

Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

conforme afirmado.

A chave da prova é que

lim r --> oo Integral (sobre Cr) f(z) dz = 0,

a qual não é difícil. Baseia-se nas propriedades da integral e nas dos
polinômios.

Artur Costa Steiner

Em 13 de abr de 2018 00:57, "Mórmon Santos" 
escreveu:

Como é por análise complexa?

Em qui, 12 de abr de 2018 15:22, Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

> Para n >= 3, só consegui por análise complexa. Há uma prova que me parece
> muito bonita.
>
> Tentei também por frações parciais, mas caí num imbróglio.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em Qui, 12 de abr de 2018 14:42, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá! Alguém encontrou uma solução elementar par este?
>> Eu fiz pra n = 2 e n = 3 mas a generalização me parece muito complicada.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> 2018-04-08 20:42 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>>> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples
>>> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0.
>>>
>>> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um
>>> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa.
>>>
>>> Artur Costa Steiner
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


-- 
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acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Douglas Oliveira de Lima]

Entao, sendo x^k=soma (i=1,...,n)(x_i)^k.P(x)/(x-x_i).P'(x_i) , é só
igualar os coeficientes de x^(n-1) e pronto, a identidade se torna ate mais
genérica

Soma (i= 1, n) (x_i)^k/P'(x_i) = 0

Obs: x_i sao raizes.

Abraco

Douglas Oliveira.




Em 8 de abr de 2018 20:50, "Artur Steiner" 
escreveu:

Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples
r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0.

Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um
resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa.

Artur Costa Steiner

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Mórmon Santos]

Como é por análise complexa?

Em qui, 12 de abr de 2018 15:22, Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

> Para n >= 3, só consegui por análise complexa. Há uma prova que me parece
> muito bonita.
>
> Tentei também por frações parciais, mas caí num imbróglio.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em Qui, 12 de abr de 2018 14:42, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá! Alguém encontrou uma solução elementar par este?
>> Eu fiz pra n = 2 e n = 3 mas a generalização me parece muito complicada.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> 2018-04-08 20:42 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>>> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples
>>> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0.
>>>
>>> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um
>>> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa.
>>>
>>> Artur Costa Steiner
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Artur Steiner]

Para n >= 3, só consegui por análise complexa. Há uma prova que me parece
muito bonita.

Tentei também por frações parciais, mas caí num imbróglio.

Artur Costa Steiner

Em Qui, 12 de abr de 2018 14:42, Claudio Buffara 
escreveu:

> Olá! Alguém encontrou uma solução elementar par este?
> Eu fiz pra n = 2 e n = 3 mas a generalização me parece muito complicada.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-08 20:42 GMT-03:00 Artur Steiner :
>
>> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples
>> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0.
>>
>> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um
>> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa.
>>
>> Artur Costa Steiner
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Claudio Buffara]

Olá! Alguém encontrou uma solução elementar par este?
Eu fiz pra n = 2 e n = 3 mas a generalização me parece muito complicada.

[]s,
Claudio.


2018-04-08 20:42 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples
> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0.
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> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um
> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa.
>
> Artur Costa Steiner
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0

[Artur Steiner]

Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples
r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0.

Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um
resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa.

Artur Costa Steiner

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.