Re: [obm-l] Teoria da medida
Prezados, Preciso me descadastrar da lista, mas o comando que consta nas orientações não funciona.Alguma outra forma de concluir este processo?Att.Cristina Jatobá Em 9 de fev de 2020 21:47, Artur Costa Steiner escreveu:Estas são para aqueles que curtem este tipo de coisa:Afirmação 1:Todo elemento de R^n pertence a algum conjunto não (Lebesgue) mensurávelVerdadeira ou falsa?Afirmação 2:Existem conjuntos não mensuráveis com diâmetro arbitrariamente pequeno.Verdadeira ou falsa?Artur -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Teoria da medida
Estas são para aqueles que curtem este tipo de coisa: Afirmação 1: Todo elemento de R^n pertence a algum conjunto não (Lebesgue) mensurável Verdadeira ou falsa? Afirmação 2: Existem conjuntos não mensuráveis com diâmetro arbitrariamente pequeno. Verdadeira ou falsa? Artur -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] teoria da Medida - provar que f é contínua
Muito obrigado, Gugu. A prova não é muito simples!
Artur
Em ter, 2 de jul de 2019 15:21, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <
g...@impa.br> escreveu:
> Caro Artur,
>
> Seja d>0 pequeno. Existem K compacto e U aberto com K C A C U e
> m(A)-d
> (A interseção (x+A)) C (K interseção (x+K)) U (A\K) U (x+(A\K)), temos
> f(x)=m(A interseção (x+A))
> m(K interseção (x+K))>f(x)-2d, para todo x em R^n.
>
> Seja agora V aberto contendo (K interseção (x+K)) com m(V) r>0 tq. |x-y| (y+K)) C V,
>
> donde f(y)=m((K interseção V)
> união ((y+K) interseção V))=m(K interseção V)+m((y+K) interseção V)-m(K
> interseção (y+K)),
>
> logo, como m(K interseção V)>=m(K interseção (x+K))>f(x)-2d e m((y+K)
> interseção V)>=m((K interseção (x+K))+y-x)=m(K interseção (x+K))>f(x)-2d,
> temos
>
> f(y)>=m(K interseção (y+K))>=m(K interseção V)+m((y+K) interseção
> V)-m(V)>=2f(x)-4d-m(V)>f(x)-5d. Isso dá a continuidade.
>
> Abraços,
>
> Gugu
> Em 02/07/2019 09:54, Artur Costa Steiner escreveu:
>
> Será que alguém aqui pode me ajudar com isso, ou sabe de algum link
> correlato:?
>
> Sejam m a medida de Lebesgue, A um subconjunto de R^n com 0 < m(A) < oo e
> f: R^n ---> [0, oo) dada por f(x) =m(A intersecção (x + A)), onde x + A =
> {x + a | a está em A} a translação de A pelo vetor x de R^n.
>
> Mostre que f é contínua.
>
> Este teorema provê uma prova bem simples de que, se m(A) > 0, então A - A
> = {a1 - a2 | a1 e a2 estão em A} contém uma bola com centro na origem.
> (conheço uma outra prova, que é mais trabalhosa), E esta conclusão sobre a
> bola é utilizada numa linda prova de que o conjunto de Vitali (que é bem
> patológico) não é Lebesgue mensurável.
>
>
> Obrigado
>
> Artur
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] teoria da Medida - provar que f é contínua
Caro Artur,
Seja d>0 pequeno. Existem K compacto e U aberto com K C A C U e
m(A)-d
(A interseção (x+A)) C (K interseção (x+K)) U (A\K) U (x+(A\K)), temos
f(x)=m(A interseção (x+A))
m(K interseção (x+K))>f(x)-2d, para todo x em R^n.
Seja agora V aberto contendo (K interseção (x+K)) com m(V)Existe r>0 tq. |x-y|interseção (y+K)) C V,
donde f(y)=m((K interseção V)
união ((y+K) interseção V))=m(K interseção V)+m((y+K) interseção V)-m(K
interseção (y+K)),
logo, como m(K interseção V)>=m(K interseção (x+K))>f(x)-2d e m((y+K)
interseção V)>=m((K interseção (x+K))+y-x)=m(K interseção
(x+K))>f(x)-2d, temos
f(y)>=m(K interseção (y+K))>=m(K interseção V)+m((y+K) interseção
V)-m(V)>=2f(x)-4d-m(V)>f(x)-5d. Isso dá a continuidade.
Abraços,
Gugu
Em 02/07/2019 09:54, Artur Costa Steiner escreveu:
Será que alguém aqui pode me ajudar com isso, ou sabe de algum link
correlato:?
Sejam m a medida de Lebesgue, A um subconjunto de R^n com 0 < m(A) <
oo e f: R^n ---> [0, oo) dada por f(x) =m(A intersecção (x + A)), onde
x + A = {x + a | a está em A} a translação de A pelo vetor x de R^n.
Mostre que f é contínua.
Este teorema provê uma prova bem simples de que, se m(A) > 0, então A
- A = {a1 - a2 | a1 e a2 estão em A} contém uma bola com centro na
origem. (conheço uma outra prova, que é mais trabalhosa), E esta
conclusão sobre a bola é utilizada numa linda prova de que o conjunto
de Vitali (que é bem patológico) não é Lebesgue mensurável.
Obrigado
Artur
--
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acredita-se estar livre de perigo.
--
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acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] teoria da Medida - provar que f é contínua
Será que alguém aqui pode me ajudar com isso, ou sabe de algum link
correlato:?
Sejam m a medida de Lebesgue, A um subconjunto de R^n com 0 < m(A) < oo e
f: R^n ---> [0, oo) dada por f(x) =m(A intersecção (x + A)), onde x + A =
{x + a | a está em A} a translação de A pelo vetor x de R^n.
Mostre que f é contínua.
Este teorema provê uma prova bem simples de que, se m(A) > 0, então A - A =
{a1 - a2 | a1 e a2 estão em A} contém uma bola com centro na origem.
(conheço uma outra prova, que é mais trabalhosa), E esta conclusão sobre a
bola é utilizada numa linda prova de que o conjunto de Vitali (que é bem
patológico) não é Lebesgue mensurável.
Obrigado
Artur
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Teoria da Medida - provar que f é contínua
Será que alguém aqui pode me ajudar com isso, ou sabe de algum link correlato:?
Sejam m a medida de Lebesgue, A um subconjunto de R^n com 0 < m(A) < oo e f:
R^n ---> [0, oo) dada por f(x) =m(A intersecção (x + A)), onde x + A = {x + a |
a está em A} a translação de A pelo vetor x de R^n.
Mostre que f é contínua.
Este teorema provê uma prova bem simples de que, se m(A) > 0, então A - A = {a1
- a2 | a1 e a2 estão em A} contém uma bola com centro na origem. (conheço
uma outra prova, que é mais trabalhosa), E esta conclusão sobre a bola é
utilizada numa linda prova de que o conjunto de Vitali (que é bem patológico)
não é Lebesgue mensurável.
Obrigado
Artur
--
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acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Teoria da Medida
Olhe nessa pagina: http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/index.htm O livro do Zigmund e muito usado, o do Rudin, e eu tambem gostei do Royden. Saudacoes rubro-negras, Leandro. From: "Valdoir Wathier" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Teoria da Medida Date: Tue, 22 Jan 2008 18:06:44 -0300 Alguém sabe me indicar algum material (preferencialmente on-line) sobre Teoria da Medida? Abraço a todos, Valdoir Wathier = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Teoria da Medida
Alguém sabe me indicar algum material (preferencialmente on-line) sobre Teoria da Medida? Abraço a todos, Valdoir Wathier
RES: [obm-l] Teoria da Medida
Assumindo-se mais uma vez que, em (b) seja Sigma-(g), e nao Sigma-(f)
(b) - Temos que todo conjunto de Sigma(h) eh da forma A Uniao (1-A), A
conforme definido em (a). Como g eh Borel mensuravel, para todo aberto V de
R temos que h^(-1)(V) = A Uniao (1-A), para algum A de Borel_{0,1/2].
Para todo x de [0,] existe uma vizinhanca V de h(x), de modo que x pertence
a h^(-1)(V) = A Uniao (1-A). Entao, 1- x pertence a 1- A e, portanto, 1-x
pertence a h^(-1)(V), de modo que h(1-x) pertence a V. Como V eh uma
vizinhaca arbitraria de g(x), concluimos que, para todo eps >0, h(x) e
h(1-x) estao em (x-eps, x+eps). Para que isto seja possivel, temos
necessariamente que h(x) = h(1-x), equacao valida em todo [0,1].
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Cleiton Silva
Enviada em: sexta-feira, 9 de setembro de 2005 08:45
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Teoria da Medida
_
Notação:
1) Borel_([a,b]) é a menor sigma-algebra gerada pelos
abertos do intervalo [a,b] (a métrica é a usual: |.|);
2) Borel_(R) é a menor sigma-algebra que contém todos
os abertos da reta.
3) f:R -> R uma função Borel mensurável: Sigma_(f) é a
menor sub-sigma-algebra de Borel_(R) com relação a
qual f é mensurável.
4) A um subconjunto da reta; 1-A={x da reta : x = 1-a,
a pertencente a A}
_
Problema:
Seja g:[0,1]->R borel mensurável qualquer, tal que
g(w)=g(1-w). Mostre que:
a) Sigma_(f) ={ B subconjunto de [0,1] : B=A UNIAO
(1-A), A pertence ao Borel_([0,1/2]) };
b) Seja h:[0,1]->R mensurável com respeito a Sigma_(f)
(ou seja h é tal que Sigma_(h) está contido em
Sigma_(f)). Mostre que h é tal que h(w)=h(1-w);
c) Existe alguma h Sigma_(f) mensurável tal que
Sigma_(h) é subconjunto PRÓPRIO de Sigma_(f)? Se sim,
dê um exemplo; se não, justifique.
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RES: [obm-l] Teoria da Medida
Nos problemas (a) e (b) acho que vc quis dizer Sigma(g). Certo? Assumindo
isto:
(a) - Como g eh mensuravel e definida em [0,1], para cada aberto V de R, B =
g(-1)(V) estah em Borel([0,1]). Se x estah em B, entao g(x) = g(1-x) estah
em V, de modo que 1 - x estah em B. Sendo A = B inter[0, 1/2], entao 1 -A =
B inter [1/2, 1] e B = A Uniao (1-A). Como B eh Borel, segue-se que A e 1-A
tambem o sao e que A pertence a Borel([0,1/2]). Logo, toda sigma-algebra que
contenha Sigma-(g) contem a colecao dos conjuntos da forma A Uniao (1-A).
Para mostrarmos que Sigma_(g) ={ B subconjunto de [0,1] : B=A UNIAO (1-A), A
pertence ao Borel_([0,1/2]), e necessario e suficiente mostrarmos que a
colecao C = { B subconjunto de [0,1] : B=A UNIAO (1-A), A pertence ao
Borel_([0,1/2]) eh uma sigma-algebra em [0,1]. Eh imediato que [0,1] e o
vazio estao em C. Se B =A Uniao (1-A) estah em C e B' eh seu complementar,
entao, entao B' = A' inter (1-A)'. Com A e 1-A estao am Borel([0,1]), as
propriedades da sigma-algebra implicam que os respectivos complementares
tambem estejam e que, portanto, tambem estejam as respectivas interseccoes.
Se x pertence a B', entao 1-x tem que pertencer a B', pois do contrario 1-x
estaria em B e, portanto, x, contrarariamente aa hipotes, estaria em B.
Logo, B' eh da forma dos conjuntos de C, estando assim em tal colecao.
Sejam agora B_n = A_n Uniao (1-A_n) uma sequencia qualquer de conjuntos de C
e B = Uniao B_n. Entao B = (Uniao (A_n)) Uniao (Uniao 1 - A_n). Se x
pertence a B entao x pertence a algum A_n ou a algum 1 - A_n. Logo, 1-x
pertence a 1- A_n ou a A_n, de modo que 1-x pertence a B. Assib, B eh da
forma A Uniao (1-A), estando portanto na colecao C.
Disto concluimos que C eh uma sigma-algebra, completando a prova. Acho que
eh isso.
Depois tentamos os outros
Artur
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De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
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Enviada em: sexta-feira, 9 de setembro de 2005 08:45
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Teoria da Medida
_
Notação:
1) Borel_([a,b]) é a menor sigma-algebra gerada pelos
abertos do intervalo [a,b] (a métrica é a usual: |.|);
2) Borel_(R) é a menor sigma-algebra que contém todos
os abertos da reta.
3) f:R -> R uma função Borel mensurável: Sigma_(f) é a
menor sub-sigma-algebra de Borel_(R) com relação a
qual f é mensurável.
4) A um subconjunto da reta; 1-A={x da reta : x = 1-a,
a pertencente a A}
_
Problema:
Seja g:[0,1]->R borel mensurável qualquer, tal que
g(w)=g(1-w). Mostre que:
a) Sigma_(f) ={ B subconjunto de [0,1] : B=A UNIAO
(1-A), A pertence ao Borel_([0,1/2]) };
b) Seja h:[0,1]->R mensurável com respeito a Sigma_(f)
(ou seja h é tal que Sigma_(h) está contido em
Sigma_(f)). Mostre que h é tal que h(w)=h(1-w);
c) Existe alguma h Sigma_(f) mensurável tal que
Sigma_(h) é subconjunto PRÓPRIO de Sigma_(f)? Se sim,
dê um exemplo; se não, justifique.
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Notação:
1) Borel_([a,b]) é a menor sigma-algebra gerada pelos
abertos do intervalo [a,b] (a métrica é a usual: |.|);
2) Borel_(R) é a menor sigma-algebra que contém todos
os abertos da reta.
3) f:R -> R uma função Borel mensurável: Sigma_(f) é a
menor sub-sigma-algebra de Borel_(R) com relação a
qual f é mensurável.
4) A um subconjunto da reta; 1-A={x da reta : x = 1-a,
a pertencente a A}
_
Problema:
Seja g:[0,1]->R borel mensurável qualquer, tal que
g(w)=g(1-w). Mostre que:
a) Sigma_(f) ={ B subconjunto de [0,1] : B=A UNIAO
(1-A), A pertence ao Borel_([0,1/2]) };
b) Seja h:[0,1]->R mensurável com respeito a Sigma_(f)
(ou seja h é tal que Sigma_(h) está contido em
Sigma_(f)). Mostre que h é tal que h(w)=h(1-w);
c) Existe alguma h Sigma_(f) mensurável tal que
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