[obm-l] ajuda importante!
Olá pessoal,gostaria da ajuda de vcs nas seguintes questões: 1.Sejam x,y =0 nºs reais tais que x+y=2.Mostre q x^2 * y^2 *(x^2 + y^2)=2 2.Para cada inteiro positivo k ,definamos a sequencia (a_n) por a_0=1 e a_n=kn+(-1)^n * a_(n-1), pra n=1. Determine todos os valores de k para os quais 2000 é um termo da sequencia. 3.Sejam x,y ,z nºs reais positivos tais que xyz=32. Determine o valor mínimo de x^2 +4xy +4y^2 +2z^2 . Grato! Adherbal _ Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ajuda importante!
2) É fácil mostrar (indução) que, para todo m natural, a_(4m)=4mk+1, a_(4m+1)=k-1, a_(4m+2)=(4m+3)k-1 e a_(4m+3)=1. Então, se queremos 2000 aparecendo na seqüência, ele tem que ser um termo de índice 1 ou 2 mod 4. No primeiro caso, somos obrigados a tomar k=2001. No segundo, temos (4m+3)k=2001=3*23*29. Como 2001 é 1 mod 4, é necessário k = 3 mod 4, logo k só pode ser 3, 3*29=87, 23 ou 23*29=667. E realmente pode ser cada um desses, pois basta tomar m=166, 5, 21 e 0, respectivamente. Logo, os únicos valores de k tq 2000 esteja na seq. dada são k=2001 (p/ o qual todos os termos de índice 1 mod 4 são 2000), k=3 (p/ o qual a_666=2000), k=87 (a_22=2000), k=23 (a_86=2000) e k=667 (a_2=2000). David From: Adherbal Rocha Filho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ajuda importante! Date: Fri, 02 Aug 2002 21:25:21 + Olá pessoal,gostaria da ajuda de vcs nas seguintes questões: 1.Sejam x,y =0 nºs reais tais que x+y=2.Mostre q x^2 * y^2 *(x^2 + y^2)=2 2.Para cada inteiro positivo k ,definamos a sequencia (a_n) por a_0=1 e a_n=kn+(-1)^n * a_(n-1), pra n=1. Determine todos os valores de k para os quais 2000 é um termo da sequencia. 3.Sejam x,y ,z nºs reais positivos tais que xyz=32. Determine o valor mínimo de x^2 +4xy +4y^2 +2z^2 . Grato! Adherbal _ Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] ajuda importante
Gostaria muito de ajuda nestas questões: 1.Como o médico me recomendou caminhadas,todo dia de manhã dou uma volta(com velocidde constante) na quadra em que resido.Minha mulher aproveita pra correr (com velocidade constante) em volta do quarteirão.Saímos juntos e chegamos juntos.Ela percorre a quadra no mesmo sentido que eu e me ultrapassa 2 vezes durante o percurso.Se ela corresse no sentido contrário ao meu,quantas vezes ela cruzaria comigo? 2.Um gramado tem a forma de um quadrado de lado 10m.Uma corda tem um dos extremos fixado em um dos vértices, e no outro lado extremo está amarrado um bode.Se o bode consegue comer metade da grama,então o comprimento da corda é aproximadamente qnt? 3.Um ladrilho em forma de um polígono regular ,foi retirado do lugar que ocupava em um painel.Observou-se então que esse ladrilho,se sofresse uma rotação de 40º ou de 60º em torno do seu centro,poderia ser encaixado perfeitamente no lugar que ficou vago no painel.O menor nº de lados que pode ter esse ladrilho é? Muito grato por qualquer ajuda! []´s Adherbal _ O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ajuda importante
Olá pessoal, será que alguém poderia me ajudar nessas questões da
eureka! 12?
1.Determine todos os primos p,q tais que pq divida o nº
(5^p -2^q)(5^q -2^p)
O enunciado que você colocou está errado!!! O certo (e a solução) é:
Determine todos os números primos p e q para os quais
(5^p 2^p)(5^q 2^q)/pq é um inteiro.
Solução:
Seja p um número primo e p| (5^p 2^p)
Pelo corolário do Teorema de Fermat temos que
5^p == 5 (mod. p) e 2^p == 2 (mod. p) =
5^p 2^p == 3 (mod. p) = p = 3
Então se p e q são números primos tal que
(5^p 2^p)(5^q 2^q)/pq é um inteiro e se
p | (5^p 2^p), então p = 3.
Como 5^3 2^3 = 3^2.13 e q | (5^q 2^q), então q = 3 ou q = 13
Assim os pares (3, 3), (3, 13), (13, 3) satisfazem o enunciado
Analisemos agora para p diferente de 3 e q diferente de 3.
Agora p | (5^q 2^q) e q | (5^p 2^p)
Assumamos que p q e claramente mdc (p, q 1) = 1.
Assim existem inteiros positivos a e b tais que ap b(q 1) = 1
Desde que mdc (q, 5) = mdc (q, 2) = 1 =
5^(q 1) == 1 (mod. q) e 2^(q 1) == 1 (mod. q) =
5^(q 1) == 2^(q 1) (mod. q)
Como 5^p == 2^p (mod. q) = 5^(ap) == 2^(ap) (mod. q) =
5^(b(q 1) + 1) == 2^(b(q 1) + 1) (mod. q)(1)
5^(q 1) == 1 (mod. q) = 5^(b(q 1)) == 1 (mod. q) =
5^(b(q 1) + 1) == 5 (mod. q)(2)
Do mesmo modo 2^(b(q 1) + 1) == 2 (mod. q)(3)
(1), (2) e (3) = q = 3 que é uma contradição
Então as únicas respostas são (3, 3), (3, 13), (13, 3).
5.Determine n inteiro tal que n^2 +2 divida 2+2001n
Inicialmente calculemos os possíveis valores de d = mdc (n^2 + 2, 2 +
2001.n).
Desde que d | n^2 + 2 e d | 2 + 2001.n
= d | (2 + 2001.n)^2 2001(n^2 + 2) =
d | 4 + 4.2001.n + 2001^2.n^2 2001^2.n^2 2.2001^2 =
d | 4.2001.n 2.2001^2 + 4
Assim: d | 4(2 + 2001.n) (4.2001.n 2.2001^2 + 4) =
d | 2(2001^2 + 2) = d | 2.19.83.2539
Como n^2 + 2 | 2 + 2001.n então
mdc (n^2 + 2, 2 + 2001.n) = n^2 + 2 =
n^2 + 2 | 2.19.83.2539
Por outro lado, devemos ter n^2 + 2 = 2 + 2001.n = n = 2001.
Portanto, temos as seguintes possibilidades para n^2 + 2:
i) n^2 + 2 = 2 = n = 0
ii) n^2 + 2 = 19 = não existe n natural que satisfaz
iii) n^2 + 2 = 83 = n = 9
iv) n^2 + 2 = 2.19 = n = 6
v) n^2 + 2 = 2.83 = não existe n natural que satisfaz
vi) n^2 + 2 = 19.83 = não existe n natural que satisfaz
vii) n^2 + 2 = 19.83.2539 = n = 2001
viii) n^2 + 2 = 2.19.2539 = não existe n natural que satisfaz
ix) n^2 + 2 = 2.83.2539 = não existe n natural que satisfaz
x) n^2 + 2 = 19.2539 = não existe n natural que satisfaz
xi) n^2 + 2 = 83.2539 = não existe n natural que satisfaz
xii) n^2 + 2 = 2.2539 = não existe n natural que satisfaz
Portanto: n = {0, 6, 9, 2001}
Muito Obrigada!
Fê
Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira
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[obm-l] ajuda importante
Olá pessoal, será que alguém poderia me ajudar nessas questões da eureka! 12? 1.Determine todos os primos p,q tais que pq divida o nº (5^p -2^q)(5^q -2^p) 2.Sejam p,q nºs primos .Se qdividir 2^p +3^p ,prove que qp ou q=5 3.Considere 2 PA´s infinitas e não constantes de inteiros positivos. Prove que existem infinitos naturais termos de ambas as sequencias se e só se o mdc se suas razões dividir a diferença entre seus termos. 4.Dado n inteiro seja d(n) o nº de divisores de n.Seja /d(n) o nº médio de divisores dos nºs de 1 a n,ou seja, /d(n)=(1/n)*sum d(j) j=1 até n Mostre que sum(1/i) i=2 a n = /d(n) = sum(1/i) i=1 a n 5.Determine n inteiro tal que n^2 +2 divida 2+2001n Muito Obrigada! Fê _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
