Re: [obm-l] 6 amigos no cinema
Oi, José AirtonMatou a charada! Agora sim entendi. Obrigado! 2009/3/24 JOSE AIRTON CARNEIRO nep...@ig.com.br Olá Palmerim, é verdade eu achei que seu passo (1) estava correto, mas há um equívoco. Quais da duas moças v. chamou apenas de uma, a m1m2 ou m1m3 ou a m2m3? Na verdade o o total de agrupamentos com 2 moças juntas (2 ou 3) é 576 e não 240. O total com apenas 2 moças juntas é 432. O total com 3 moças juntas 144. O total de 3 moças separadas 144. 2 moças juntas e 2 rapazes nunca juntos 72. 2009/3/23 Palmerim Soares palmerimsoa...@gmail.com Oi José Airton Humm... Não entendo. Se no passo 2 faço a contagem de todos os grupamentos onde estão 2 rapazes juntos e duas moças juntas, então aí já não estariam incluídos necessariamente os grupamentos onde há três rapazes juntos?? Bem, vou pensar mais para ver se encontro alguma outra causa do erro. Valeu! Palmerim 2009/3/22 JOSE AIRTON CARNEIRO nep...@ig.com.br É como o Paulo Cesar,Rafael Forte e Luis Lopes resolveram, dá 72. Agora o erro do Palmerim é que ele está esquecendo que dentre esses 240 possíveis agrupamentos, também estão os que possuem 3 rapazes juntos.Que são exatamente 72. 2009/3/20 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, Vou me arriscar mas vou escrever pouco. Chame de P as duas moças juntas. Elas formam um bloco e sobram 5 lugares. Como os rapazes r não sentam juntos, as duas disposições possíveis nas poltronas são: rMrPr (a) rPrMr (b) Então faço (a) e dobro o resultado para considerar (b). (3,2) é o símbolo de combinação. O P é dado por (3,2)=3. R(3)M(1)R(2)P(3,2)R(1)=3X1X2X3X1=18 Mas P pode permutar. Logo, 18X2=36. E dobrando para levar em conta a disposição (b), encontro 72. []'s Luís -- Date: Fri, 20 Mar 2009 09:42:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] 6 amigos no cinema From: palmerimsoa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br OPS! quem escreveu o texto abaixo fui eu Palmerim. Enviei sem querer pelo e-mail do meu amigo Ney Falcao quando tentava ajuda-lo a resolver a questão. Afinal, a resposta é 72 ou 144, amigos? Palmerim 2009/3/20 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos odeiam análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? -- Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já!http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true -- Dharmo rakshati rakshatah O Dharma protege aquele que protege o Dharma -- Dharmo rakshati rakshatah O Dharma protege aquele que protege o Dharma
Re: [obm-l] 6 amigos no cinema
Olá Palmerim, é verdade eu achei que seu passo (1) estava correto, mas há um equívoco. Quais da duas moças v. chamou apenas de uma, a m1m2 ou m1m3 ou a m2m3? Na verdade o o total de agrupamentos com 2 moças juntas (2 ou 3) é 576 e não 240. O total com apenas 2 moças juntas é 432. O total com 3 moças juntas 144. O total de 3 moças separadas 144. 2 moças juntas e 2 rapazes nunca juntos 72. 2009/3/23 Palmerim Soares palmerimsoa...@gmail.com Oi José Airton Humm... Não entendo. Se no passo 2 faço a contagem de todos os grupamentos onde estão 2 rapazes juntos e duas moças juntas, então aí já não estariam incluídos necessariamente os grupamentos onde há três rapazes juntos?? Bem, vou pensar mais para ver se encontro alguma outra causa do erro. Valeu! Palmerim 2009/3/22 JOSE AIRTON CARNEIRO nep...@ig.com.br É como o Paulo Cesar,Rafael Forte e Luis Lopes resolveram, dá 72. Agora o erro do Palmerim é que ele está esquecendo que dentre esses 240 possíveis agrupamentos, também estão os que possuem 3 rapazes juntos.Que são exatamente 72. 2009/3/20 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, Vou me arriscar mas vou escrever pouco. Chame de P as duas moças juntas. Elas formam um bloco e sobram 5 lugares. Como os rapazes r não sentam juntos, as duas disposições possíveis nas poltronas são: rMrPr (a) rPrMr (b) Então faço (a) e dobro o resultado para considerar (b). (3,2) é o símbolo de combinação. O P é dado por (3,2)=3. R(3)M(1)R(2)P(3,2)R(1)=3X1X2X3X1=18 Mas P pode permutar. Logo, 18X2=36. E dobrando para levar em conta a disposição (b), encontro 72. []'s Luís -- Date: Fri, 20 Mar 2009 09:42:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] 6 amigos no cinema From: palmerimsoa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br OPS! quem escreveu o texto abaixo fui eu Palmerim. Enviei sem querer pelo e-mail do meu amigo Ney Falcao quando tentava ajuda-lo a resolver a questão. Afinal, a resposta é 72 ou 144, amigos? Palmerim 2009/3/20 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos odeiam análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? -- Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já!http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true -- Dharmo rakshati rakshatah O Dharma protege aquele que protege o Dharma
Re: [obm-l] 6 amigos no cinema
Oi José Airton Humm... Não entendo. Se no passo 2 faço a contagem de todos os grupamentos onde estão 2 rapazes juntos e duas moças juntas, então aí já não estariam incluídos necessariamente os grupamentos onde há três rapazes juntos?? Bem, vou pensar mais para ver se encontro alguma outra causa do erro. Valeu! Palmerim 2009/3/22 JOSE AIRTON CARNEIRO nep...@ig.com.br É como o Paulo Cesar,Rafael Forte e Luis Lopes resolveram, dá 72. Agora o erro do Palmerim é que ele está esquecendo que dentre esses 240 possíveis agrupamentos, também estão os que possuem 3 rapazes juntos.Que são exatamente 72. 2009/3/20 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, Vou me arriscar mas vou escrever pouco. Chame de P as duas moças juntas. Elas formam um bloco e sobram 5 lugares. Como os rapazes r não sentam juntos, as duas disposições possíveis nas poltronas são: rMrPr (a) rPrMr (b) Então faço (a) e dobro o resultado para considerar (b). (3,2) é o símbolo de combinação. O P é dado por (3,2)=3. R(3)M(1)R(2)P(3,2)R(1)=3X1X2X3X1=18 Mas P pode permutar. Logo, 18X2=36. E dobrando para levar em conta a disposição (b), encontro 72. []'s Luís -- Date: Fri, 20 Mar 2009 09:42:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] 6 amigos no cinema From: palmerimsoa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br OPS! quem escreveu o texto abaixo fui eu Palmerim. Enviei sem querer pelo e-mail do meu amigo Ney Falcao quando tentava ajuda-lo a resolver a questão. Afinal, a resposta é 72 ou 144, amigos? Palmerim 2009/3/20 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos odeiam análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? -- Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já!http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true -- Dharmo rakshati rakshatah O Dharma protege aquele que protege o Dharma
Re: [obm-l] 6 amigos no cinema
É como o Paulo Cesar,Rafael Forte e Luis Lopes resolveram, dá 72. Agora o erro do Palmerim é que ele está esquecendo que dentre esses 240 possíveis agrupamentos, também estão os que possuem 3 rapazes juntos.Que são exatamente 72. 2009/3/20 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, Vou me arriscar mas vou escrever pouco. Chame de P as duas moças juntas. Elas formam um bloco e sobram 5 lugares. Como os rapazes r não sentam juntos, as duas disposições possíveis nas poltronas são: rMrPr (a) rPrMr (b) Então faço (a) e dobro o resultado para considerar (b). (3,2) é o símbolo de combinação. O P é dado por (3,2)=3. R(3)M(1)R(2)P(3,2)R(1)=3X1X2X3X1=18 Mas P pode permutar. Logo, 18X2=36. E dobrando para levar em conta a disposição (b), encontro 72. []'s Luís -- Date: Fri, 20 Mar 2009 09:42:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] 6 amigos no cinema From: palmerimsoa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br OPS! quem escreveu o texto abaixo fui eu Palmerim. Enviei sem querer pelo e-mail do meu amigo Ney Falcao quando tentava ajuda-lo a resolver a questão. Afinal, a resposta é 72 ou 144, amigos? Palmerim 2009/3/20 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos odeiam análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? -- Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já!http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true
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Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos odeiam análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim 2009/3/19 Paulo Cesar pcesa...@gmail.com Bela solução, Rafael De fato, usando apenas o princípio fundamental a solução fica mais bonita e mais didática. Um abraço PC 2009/3/19 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Olá Ney e Paulo, Acho que a resposta do Paulo está certa, mas eu cheguei no mesmo número de uma forma um pouquinho diferente. Como o Paulo disse acima, as moças só podem estar sentadas nas cadeiras 2 e 3 ou 4 e 5. Dessa forma temos dois casos: Caso 1 R M M R M R Escolhas 3 3 2 2 1 1 Caso 2 R M R M M R Escolhas 3 3 2 2 1 1 Para o primeiro rapaz, temos 3 escolhas, 2 para o segundo rapaz e 1 para o terceiro. O mesmo raciocínio se aplica para as moças. Caso 1: 3 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1 = 36 Caso 2: 3 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1 = 36 Somando os dois casos temos 72. []s Rafael 2009/3/18 Paulo Cesar pcesa...@gmail.com Vamos lá, Ney As moças que ficarão juntas podem ser escolhidas de C3,2 = 3 modos. Feito isso e supondo as cadeiras numeradas como 1, 2, 3, 4, 5 e 6, note que as moças só podem ficar juntas caso sentem nas cadeiras 2 e 3 ou 4 e 5, pois caso sentem de outras formas, você terá necessariamente ao menos dois rapazes sentando juntos. Então, alocando-se as duas moças previamente escolhidas, por exemplo, nas cadeiras 2 e 3, vemos que a terceira moça só poder-a sentar-se na cadeira 5, pois do contrário teremos necessariamente ao menos dois rapazes sentando juntos. Agora podemos alocar os rapazes nas cadeiras restantes, o que pode ser feito de 3! = modos. Resumindo: Escolha das moças que sentarão juntas: C3,2 = 3 modos Escolher o par de cadeiras para as mesmas sentarem: 2 modos Permutar as moças que sentaram juntas: 2 modos Escolher o lugar da terceira moça: 1 modo Escolher os 3 bancos para os rapazes sentarem: 1 modo (a escolha dos bancos das moças restringe a escolha dos bancos dos rapazes) Permutar os rapazes: 3! = 6 modos Resposta: 3 x 2 x 2 x 6 = 72 modos Acredito ser essa a resposta. Aguardo o parecer dos mestres da Lista. Um abraço PC 2009/3/18 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Agradeço se puderem me ajudar com essa aí que está muito difícil para mim. Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? Ney
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OPS! quem escreveu o texto abaixo fui eu Palmerim. Enviei sem querer pelo e-mail do meu amigo Ney Falcao quando tentava ajuda-lo a resolver a questão. Afinal, a resposta é 72 ou 144, amigos? Palmerim 2009/3/20 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos odeiam análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos?
RE: [obm-l] 6 amigos no cinema
Na realidade tem alguns erros nessa sua ideia, eu acho. Repare que para resolver a parte 1) você não escolheu as moças que sentariam juntas e aih você pode pensar que para concertar isso era só multiplicar por C3,2 e aí você chegaria ao seguinte resultado 240 x C3,2 = 720, mas como? o mesmo que o total? Isso é simples, repare que ao fazer essa escolha de 2 pessoas você pode ter escolhido M1 e M2 para sentarem juntas porém quando você considera a permutação dos 5 (o bloco M1M2 a mulher M3 e os homens H1 H2 H3) vão ter casos em que M3 estará do lado do bloco M1 e M2, então aparecerá por exemplo o bloco M2M3 nesses casos. Agora considere que na escolha das 2 mulheres tenha sido M2 e M3 assim quando você considerar a nova permutação dos 5 teremos ainda o bloco M2 e M3, ou seja, alguns casos foram considerados 2 vezes, e por isso está dando o mesmo que o total. Como resolver a parte (1) então? Nela você quer o número de formas que dados 3 rapazes e 3 moças termos 2 mocas sentadas juntas certo? Considere o problema contrário o de não ter duas moças juntas. Teríamos: _H1_H2_H3_ Teríamos que escolher dentre esses 4 espaços 3 para entrarem as mulheres: C4,3 depois considerar as permutaçoes de rapazes e moças assim no total: C4,3 x 3! x 3! = 144 Sendo assim a resposta de (1) seria: 720-144=576 e não 240. O mesmo problema acontece em (2) e pensando dessa forma começaria a ficar muito mais dificil, acredito que a solução que deram foi bem melhor. Acho que é isso. Vlw, Jordan Piva Date: Fri, 20 Mar 2009 09:42:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] 6 amigos no cinema From: palmerimsoa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br OPS! quem escreveu o texto abaixo fui eu Palmerim. Enviei sem querer pelo e-mail do meu amigo Ney Falcao quando tentava ajuda-lo a resolver a questão. Afinal, a resposta é 72 ou 144, amigos? Palmerim 2009/3/20 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos odeiam análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
RE: [obm-l] 6 amigos no cinema
Na realidade tem alguns erros nessa sua ideia, eu acho. Repare que para resolver a parte 1) você não escolheu as moças que sentariam juntas e aih você pode pensar que para concertar isso era só multiplicar por C3,2 e aí você chegaria ao seguinte resultado 240 x C3,2 = 720, mas como? o mesmo que o total? Isso é simples, repare que ao fazer essa escolha de 2 pessoas você pode ter escolhido M1 e M2 para sentarem juntas porém quando você considera a permutação dos 5 (o bloco M1M2 a mulher M3 e os homens H1 H2 H3) vão ter casos em que M3 estará do lado do bloco M1 e M2, então aparecerá por exemplo o bloco M2M3 nesses casos. Agora considere que na escolha das 2 mulheres tenha sido M2 e M3 assim quando você considerar a nova permutação dos 5 teremos ainda terá o bloco M2 e M3, ou seja, alguns casos foram considerados 2 vezes, e por isso está dando o mesmo que o total. Como resolver a parte (1) então? Nela você quer o número de formas que dados 3 rapazes e 3 moças termos 2 mocas sentadas juntas certo? Considere o problema contrário o de não ter duas moças juntas. Teríamos: _H1_H2_H3_ Teríamos que escolher dentre esses 4 espaços 3 para entrarem as mulheres: C4,3 depois considerar as permutaçoes de rapazes e moças assim no total: C4,3 x 3! x 3! = 144 Sendo assim a resposta de (1) seria: 720-144=576 e não 240. O mesmo problema acontece em (2) e pensando dessa forma começaria a ficar muito mais dificil, acredito que a solução que deram foi bem melhor. Acho que é isso. Vlw, Jordan Piva Date: Fri, 20 Mar 2009 09:42:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] 6 amigos no cinema From: palmerimsoa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br OPS! quem escreveu o texto abaixo fui eu Palmerim. Enviei sem querer pelo e-mail do meu amigo Ney Falcao quando tentava ajuda-lo a resolver a questão. Afinal, a resposta é 72 ou 144, amigos? Palmerim 2009/3/20 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos odeiam análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? _ Windows Live Messenger. O melhor em multitarefa. http://www.microsoft.com/windows/windowslive/products/messenger.aspx
RE: [obm-l] 6 amigos no cinema
Sauda,c~oes, Vou me arriscar mas vou escrever pouco. Chame de P as duas moças juntas. Elas formam um bloco e sobram 5 lugares. Como os rapazes r não sentam juntos, as duas disposições possíveis nas poltronas são: rMrPr (a) rPrMr (b) Então faço (a) e dobro o resultado para considerar (b). (3,2) é o símbolo de combinação. O P é dado por (3,2)=3. R(3)M(1)R(2)P(3,2)R(1)=3X1X2X3X1=18 Mas P pode permutar. Logo, 18X2=36. E dobrando para levar em conta a disposição (b), encontro 72. []'s Luís Date: Fri, 20 Mar 2009 09:42:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] 6 amigos no cinema From: palmerimsoa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br OPS! quem escreveu o texto abaixo fui eu Palmerim. Enviei sem querer pelo e-mail do meu amigo Ney Falcao quando tentava ajuda-lo a resolver a questão. Afinal, a resposta é 72 ou 144, amigos? Palmerim 2009/3/20 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos odeiam análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? _ Windows Live Messenger. O melhor em multitarefa. http://www.microsoft.com/windows/windowslive/products/messenger.aspx
Re: [obm-l] 6 amigos no cinema
Olá Ney e Paulo, Acho que a resposta do Paulo está certa, mas eu cheguei no mesmo número de uma forma um pouquinho diferente. Como o Paulo disse acima, as moças só podem estar sentadas nas cadeiras 2 e 3 ou 4 e 5. Dessa forma temos dois casos: Caso 1 R M M R M R Escolhas 3 3 2 2 1 1 Caso 2 R M R M M R Escolhas 3 3 2 2 1 1 Para o primeiro rapaz, temos 3 escolhas, 2 para o segundo rapaz e 1 para o terceiro. O mesmo raciocínio se aplica para as moças. Caso 1: 3 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1 = 36 Caso 2: 3 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1 = 36 Somando os dois casos temos 72. []s Rafael 2009/3/18 Paulo Cesar pcesa...@gmail.com Vamos lá, Ney As moças que ficarão juntas podem ser escolhidas de C3,2 = 3 modos. Feito isso e supondo as cadeiras numeradas como 1, 2, 3, 4, 5 e 6, note que as moças só podem ficar juntas caso sentem nas cadeiras 2 e 3 ou 4 e 5, pois caso sentem de outras formas, você terá necessariamente ao menos dois rapazes sentando juntos. Então, alocando-se as duas moças previamente escolhidas, por exemplo, nas cadeiras 2 e 3, vemos que a terceira moça só poder-a sentar-se na cadeira 5, pois do contrário teremos necessariamente ao menos dois rapazes sentando juntos. Agora podemos alocar os rapazes nas cadeiras restantes, o que pode ser feito de 3! = modos. Resumindo: Escolha das moças que sentarão juntas: C3,2 = 3 modos Escolher o par de cadeiras para as mesmas sentarem: 2 modos Permutar as moças que sentaram juntas: 2 modos Escolher o lugar da terceira moça: 1 modo Escolher os 3 bancos para os rapazes sentarem: 1 modo (a escolha dos bancos das moças restringe a escolha dos bancos dos rapazes) Permutar os rapazes: 3! = 6 modos Resposta: 3 x 2 x 2 x 6 = 72 modos Acredito ser essa a resposta. Aguardo o parecer dos mestres da Lista. Um abraço PC 2009/3/18 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Agradeço se puderem me ajudar com essa aí que está muito difícil para mim. Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? Ney
Re: [obm-l] 6 amigos no cinema
Bela solução, Rafael De fato, usando apenas o princípio fundamental a solução fica mais bonita e mais didática. Um abraço PC 2009/3/19 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Olá Ney e Paulo, Acho que a resposta do Paulo está certa, mas eu cheguei no mesmo número de uma forma um pouquinho diferente. Como o Paulo disse acima, as moças só podem estar sentadas nas cadeiras 2 e 3 ou 4 e 5. Dessa forma temos dois casos: Caso 1 R M M R M R Escolhas 3 3 2 2 1 1 Caso 2 R M R M M R Escolhas 3 3 2 2 1 1 Para o primeiro rapaz, temos 3 escolhas, 2 para o segundo rapaz e 1 para o terceiro. O mesmo raciocínio se aplica para as moças. Caso 1: 3 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1 = 36 Caso 2: 3 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1 = 36 Somando os dois casos temos 72. []s Rafael 2009/3/18 Paulo Cesar pcesa...@gmail.com Vamos lá, Ney As moças que ficarão juntas podem ser escolhidas de C3,2 = 3 modos. Feito isso e supondo as cadeiras numeradas como 1, 2, 3, 4, 5 e 6, note que as moças só podem ficar juntas caso sentem nas cadeiras 2 e 3 ou 4 e 5, pois caso sentem de outras formas, você terá necessariamente ao menos dois rapazes sentando juntos. Então, alocando-se as duas moças previamente escolhidas, por exemplo, nas cadeiras 2 e 3, vemos que a terceira moça só poder-a sentar-se na cadeira 5, pois do contrário teremos necessariamente ao menos dois rapazes sentando juntos. Agora podemos alocar os rapazes nas cadeiras restantes, o que pode ser feito de 3! = modos. Resumindo: Escolha das moças que sentarão juntas: C3,2 = 3 modos Escolher o par de cadeiras para as mesmas sentarem: 2 modos Permutar as moças que sentaram juntas: 2 modos Escolher o lugar da terceira moça: 1 modo Escolher os 3 bancos para os rapazes sentarem: 1 modo (a escolha dos bancos das moças restringe a escolha dos bancos dos rapazes) Permutar os rapazes: 3! = 6 modos Resposta: 3 x 2 x 2 x 6 = 72 modos Acredito ser essa a resposta. Aguardo o parecer dos mestres da Lista. Um abraço PC 2009/3/18 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Agradeço se puderem me ajudar com essa aí que está muito difícil para mim. Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? Ney
Re: [obm-l] 6 amigos no cinema
Vamos lá, Ney As moças que ficarão juntas podem ser escolhidas de C3,2 = 3 modos. Feito isso e supondo as cadeiras numeradas como 1, 2, 3, 4, 5 e 6, note que as moças só podem ficar juntas caso sentem nas cadeiras 2 e 3 ou 4 e 5, pois caso sentem de outras formas, você terá necessariamente ao menos dois rapazes sentando juntos. Então, alocando-se as duas moças previamente escolhidas, por exemplo, nas cadeiras 2 e 3, vemos que a terceira moça só poder-a sentar-se na cadeira 5, pois do contrário teremos necessariamente ao menos dois rapazes sentando juntos. Agora podemos alocar os rapazes nas cadeiras restantes, o que pode ser feito de 3! = modos. Resumindo: Escolha das moças que sentarão juntas: C3,2 = 3 modos Escolher o par de cadeiras para as mesmas sentarem: 2 modos Permutar as moças que sentaram juntas: 2 modos Escolher o lugar da terceira moça: 1 modo Escolher os 3 bancos para os rapazes sentarem: 1 modo (a escolha dos bancos das moças restringe a escolha dos bancos dos rapazes) Permutar os rapazes: 3! = 6 modos Resposta: 3 x 2 x 2 x 6 = 72 modos Acredito ser essa a resposta. Aguardo o parecer dos mestres da Lista. Um abraço PC 2009/3/18 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Agradeço se puderem me ajudar com essa aí que está muito difícil para mim. Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? Ney
