Olá Claudio,
de um total de t=n^3 cubinhos, v=8 deles pertencem aos vertices, a=12*(n-2) às arestas,
e f=6*(n-2)^2 às faces. O resto, r=(n-2)^3 pertence ao 'miolo' , e não é visível.
A probabilidade de selecionarmos os cubinhos tipo 'vertice' corretos é : v! * (t-v)! / t!
A probabilidade de selecionarmos os cubinhos tipo 'aresta' corretos é : a! * (t-v-a)! / (t-v)!
A probabilidade de selecionarmos os cubinhos tipo 'face' corretos é : f! * (t-v-a-f)! / (t-v-a)!
Além disso, a probabilidade dos cubinhos tipo vértice estarem com a orientação correta é
(1/8) ^ v (isto é, o único vértice "certo" do cubinho tem que estar "para fora" )
Também, as arestas precisam estar com a orientação correta, com a probabilidade de
(1/12) ^ a (isto é, a única aresta correta para fora)
Da mesma forma, as faces precisam estar 'para fora' , com a probabilidade de (1/6) ^ f
Multiplicando tudo, obtemos o resultado v! * a! * f! * r! / [ t! * 8^v *12^a * 6^f ]
Talvez haja uma forma mais bonitinha de expressá-lo...
Grande abraço e bom fim de semana a todos! Rogério.
From: Claudio Buffara
Um cubo, originalmente feito de madeira branca, tem suas faces pintadas de preto. Em seguida, este cubo eh serrado de forma a produzir 27 cubinhos, todos com o mesmo volume, os quais sao devidamente "embaralhados". Finalmente, os 27 cubinhos sao reagrupados no escuro de forma a produzir um novo cubo de mesmo volume que o original.
1) Qual a probabilidade deste cubo remontado ter todas as faces pretas? (faca a hipotese obvia sobre equiprobabilidade)
2) Generalize para o caso de n^3 cubinhos.
[]s, Claudio.
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