Re: Re:[obm-l] amigos do PONCE
Colegas, A Prova de Matematica do ITA em 2003 apresentou a seguinte questao: "Qual e o numero de divisores de 17 640 que, por sua vez, sao divisiveis por 3 ?" A resposta correta, considerando divisores positivos e negativos, e 96. Porem nao tinha nenhuma alternativa com esta resposta, apenas com a resposta 48, ou seja, apenas considerando o numero de divisores positivos. Acredito que seja esta a questao a que o Prof. Nicolau esteja se referindo. Douglas Felipe Rodrigues da Silva "Nicolau C. Saldanha"To: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]cc: rio.br> Subject: Re: Re:[obm-l] amigos do PONCE Sent by: [EMAIL PROTECTED] uc-rio.br 06/10/04 13:36 Please respond to obm-l On Tue, Oct 05, 2004 at 05:00:09PM -0300, Alves Dias wrote: > BEM COMO ESTA A PERGUNTA (QUAL E A SOMA DE TODOS OS DIVISORES DE 720?), A > RESPOSTA SERIA ZERO! A resposta é zero se você somar os divisores inteiros positivos e negativos. A soma de todos os divisores positivos e negativos dá *sempre* zero, como tenho certeza de que você não terá dificuldade em demonstrar. Infelizmente quando falamos dos divisores de um inteiro positivo n, há mais de uma interpretação possível. Uma questão de vestibular já foi anulada por este motivo. Eu não me lembro exatamente da pergunta mas poderia ser, digamos: Quantos são os divisores de 48? (a) 10 (b) 20 [as outras opções não interessam] A letra (a) está correta se contarmos apenas os divisores positivos (1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48) mas a letra (b) é a correta se contarmos os negativos. Eu acho um pouco bobo isso de ficar falando de divisores negativos na escola mas a questão realmente deveria ter sido enunciada com mais cuidado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re:[obm-l] amigos do PONCE
On Tue, Oct 05, 2004 at 05:00:09PM -0300, Alves Dias wrote: > BEM COMO ESTA A PERGUNTA (QUAL E A SOMA DE TODOS OS DIVISORES DE 720?), A > RESPOSTA SERIA ZERO! A resposta é zero se você somar os divisores inteiros positivos e negativos. A soma de todos os divisores positivos e negativos dá *sempre* zero, como tenho certeza de que você não terá dificuldade em demonstrar. Infelizmente quando falamos dos divisores de um inteiro positivo n, há mais de uma interpretação possível. Uma questão de vestibular já foi anulada por este motivo. Eu não me lembro exatamente da pergunta mas poderia ser, digamos: Quantos são os divisores de 48? (a) 10 (b) 20 [as outras opções não interessam] A letra (a) está correta se contarmos apenas os divisores positivos (1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48) mas a letra (b) é a correta se contarmos os negativos. Eu acho um pouco bobo isso de ficar falando de divisores negativos na escola mas a questão realmente deveria ter sido enunciada com mais cuidado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re:[obm-l] amigos do PONCE
BEM COMO ESTA A PERGUNTA (QUAL E A SOMA DE TODOS
OS DIVISORES DE 720?), A RESPOSTA SERIA ZERO!
AURIMENES
- Original Message -
From:
claudio.buffara
To: obm-l
Sent: Wednesday, September 22, 2004 2:58
PM
Subject: Re:[obm-l] amigos do PONCE
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"obm-l" [EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Wed, 22 Sep 2004 14:14:35
-0300
Assunto:
[obm-l] amigos do
PONCE
> estou com problema e nao sei resolver fazendo alguma
> relacao...
>
> quanto vale a soma de todos os divisores de 720?
>
Decomponha 720 em fatores primos: 2^4 * 3^2 * 5.
Em seguida, observe que cada divisor será da forma 2^x * 3^y * 5^z, onde
x pertence a {0,1,2,3,4}, y a {0,1,2} e z a {0,1}.
Isso dá um total de 5*3*2 = 30 divisores, pelo princípio
multiplicativo.
Agora, é só somar estes 30 divisores após agrupá-los de uma forma
inteligente.
Em outras palavras, fixe por exemplo, o fator primo 2 e some todos os
divisores que têm 2^0 = 1 em sua decomposição.
Esta soma será 1 + 3 + 3^2 + 5 + 3*5 + 3^2*5 = (1 + 3 + 3^2)*(1 +
5).
Em seguida, faça o mesmo para 2^1, 2^2, 2^3 e 2^4.
Você vai achar que a soma é:
(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4)*(1 + 3 + 3^2)*(1 + 5) = 31*13*6 =
2418.
[]s,
Claudio.
Re:[obm-l] amigos do PONCE
Voc pode usar a seguinte fórmula: [(a^(m+1)-1)/(a-1)]*[(b^(n+1)-1)/(b-1)]*... onde a, b são os fatores primos do número e m,n são os expoentes de a e b. Assim, 720 = 2^4*3^2*5 S(D) = [(2^5-1)/(2-1)]*[(3^3-1)/(3-1)]*[(5^2-1)/(5-1)] S(D) = 31*13*6 S(D) = 2418 Espero que vc tenha entendido. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 22 Sep 2004 14:14:35 -0300 Assunto: [obm-l] amigos do PONCE > estou com problema e nao sei resolver fazendo alguma > relacao... > > quanto vale a soma de todos os divisores de 720? > > __ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - É grátis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. > Scan engine: VirusScan / Atualizado em 22/09/2004 / Versão: 1.5.2 > Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ > Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED] Tel. 2676-6854
Re: [obm-l] amigos do PONCE
On Wed, 22 Sep 2004 14:05:40 -0400, Qwert Smith <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > 2418 > > http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM > > Nao sei se ja postei isso aki mas essa pagina eh muito util pra quem > nao tem accesso local a programas de matematica. Precisa de java > plugin no browser para quem nao tem acesso por falta de grana... existe um programa de matematica..no estilo do Mathematica, MATLAB, e outros..chamado MuPAD (linux e win)..que possui uma versão FREE (sem custo) para estudantes..eu fiz download agora e estou testando..mas parece ser razoavelmente bom...acho q vale a pena dar uma olhada... []s daniel -- "Uma das coisas notáveis acerca do comportamento do Universo é que ele parece fundamentar-se na Matemática num grau totalmente extraordinário. Quanto mais profundamente entramos nas leis da Natureza, mais parece que o mundo físico quase se evapora e ficamos com a Matemática. Quanto mais profundamente entendemos a Natureza, mais somos conduzidos para dentro desse mundo da Matemática e de conceitos matemáticos." (Roger Penrose) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] amigos do PONCE
De um jeito chato: 720 = 2^4 * 3^2 * 5 os divisores de 720 serão todas as combinações de 2^n * 3^m * 5^o, com n,m,o >=0 e menor ou igual a, respectivamente, 4,2 e 1. Bem, vamos chamar a soma das combinações de 5 de S1 = 5^1 + 5^0 = 6 seja S2 a soma das combinações de 3 e 5 - S2 = S1*(3^2+3^1+3^0) = 6*13 = 78 e finalmente, pelo mesmo raciocínio, S3 = S2 *(2^4 + 2^3+2^2+2^1+2^0) = 78 * 31 = 2418 sds JG -Original Message- From: Marcelo Majewski [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, September 22, 2004 2:15 PM To: obm-l Subject: [obm-l] amigos do PONCE estou com problema e nao sei resolver fazendo alguma relacao... quanto vale a soma de todos os divisores de 720? __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] amigos do PONCE
2418 http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM Nao sei se ja postei isso aki mas essa pagina eh muito util pra quem nao tem accesso local a programas de matematica. Precisa de java plugin no browser Veja que vc pode escrever 720 ou 6!. Aceita tambem outras notacoes como: n(N) para primeiro primo > N b(N) para primeiro primo < N p# para fatorial primo de p From: "Marcelo Majewski" <[EMAIL PROTECTED]> ... estou com problema e nao sei resolver fazendo alguma relacao... quanto vale a soma de todos os divisores de 720? _ Express yourself instantly with MSN Messenger! Download today - it's FREE! http://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200471ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] amigos do PONCE
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"obm-l" [EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Wed, 22 Sep 2004 14:14:35 -0300
Assunto:
[obm-l] amigos do PONCE
> estou com problema e nao sei resolver fazendo alguma
> relacao...
>
> quanto vale a soma de todos os divisores de 720?
>
Decomponha 720 em fatores primos: 2^4 * 3^2 * 5.
Em seguida, observe que cada divisor será da forma 2^x * 3^y * 5^z, onde x pertence a {0,1,2,3,4}, y a {0,1,2} e z a {0,1}.
Isso dá um total de 5*3*2 = 30 divisores, pelo princípio multiplicativo.
Agora, é só somar estes 30 divisores após agrupá-los de uma forma inteligente.
Em outras palavras, fixe por exemplo, o fator primo 2 e some todos os divisores que têm 2^0 = 1 em sua decomposição.
Esta soma será 1 + 3 + 3^2 + 5 + 3*5 + 3^2*5 = (1 + 3 + 3^2)*(1 + 5).
Em seguida, faça o mesmo para 2^1, 2^2, 2^3 e 2^4.
Você vai achar que a soma é:
(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4)*(1 + 3 + 3^2)*(1 + 5) = 31*13*6 = 2418.
[]s,
Claudio.
