Re: [obm-l] ALUNOS
Saulo, nessa questão eu acho que você deve enxergar duas coisas: 1- existe uma ordem coerente para colorir as quatro regiões do mapa; 2- é aconselhável dividir o problema em dois casos. Vou supor que esse mapa é o círulo trigonométirco, só pra gente já saber localizar cada região (são os 4 quadrantes). Pintar, nesta ordem, os quadrantes I,II,III,IV não é inteligente: quando eu for pintar o IV, não vai ser possível dizer quantas são as possibilidades, já que não sabemos se I e III foram pintados com a mesma cor ou com cores diferentes. Divido então em dois casos: Quadrantes I e III de cor diferente (caso 1); quadrantes I e III de cor igual (caso 2). Caso 1: I (T cores); III (T-1 cores); II (T-2 cores); IV (T-2 cores) = t(t-1)(t-2)(t-2) Caso 2: I (T cores); III (1 cor); II (T-1 cores); IV (T-1 cores) = t(t-1)(t-1) Caso 1 + Caso 2 = t(t-1)[(t-2)(t-2) + (t-1)] = t(t-1)(t^2-3t+3) a) Podemos pintar o mapa de t(t-1)(t^2-3t+3), se eu não errei conta b) O menor valor de t é 2, mas isso você pode fazer no braço, usando duas cores pra pintar o mapa. Não dá nem pra pintar errado. Problema: Ah outra dúvida minha é sobre uma questão do livro Análise Combinatória e Probabilidade da coleção do professor de matemática do saudoso Morgado e outros grandes professores. É a questão 27 do capítulo 2 que é assim: A figura 2.3 mostra um mapa com 4 países ( é um círculo dividido em 4 partes iguais) a) De quantos modos esse mapa pode ser colorido (cada país com uma cor, países com uma linha fronteira comum não podem ter a mesma cor) se dispomos de T cores diferentes? b) Qual o menor valor de T que permite colorir o mapa? Bem achei a resposta da letra a diferente do gabarito talvez esteja errado minha resolução mas gostaria de saber se alguém aqui já fez esta questão e achou igual a do gabarito. Abraços, Pedro Lazéra Cardoso _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ALUNOS
Poxa pedro muito obrigado, valeu mesmo! Olha eu conseguir enxergar a questão tbm!rs...Olha sou uma pessoa q, quando demora a resolver uma questão fico impaciente e acho q isso me atrapalha e fico nervoso abandonando a questão, essa não é a 1º vez q fiz isso na lista outras vezes colocava aqui as soluções ainda antes de responderem mas como estou fazendo estágio e fazendo muitas coisas nem tive tempo de ver a questão a tempo de ver essa mesma solução q vc chegou q é t(t-1)(t^2-3t+3) te agradeço Pedro sua solução foi muito elegante. Saulo, nessa questão eu acho que você deve enxergar duas coisas: 1- existe uma ordem coerente para colorir as quatro regiões do mapa; 2- é aconselhável dividir o problema em dois casos. Vou supor que esse mapa é o círulo trigonométirco, só pra gente já saber localizar cada região (são os 4 quadrantes). Pintar, nesta ordem, os quadrantes I,II,III,IV não é inteligente: quando eu for pintar o IV, não vai ser possível dizer quantas são as possibilidades, já que não sabemos se I e III foram pintados com a mesma cor ou com cores diferentes. Divido então em dois casos: Quadrantes I e III de cor diferente (caso 1); quadrantes I e III de cor igual (caso 2). Caso 1: I (T cores); III (T-1 cores); II (T-2 cores); IV (T-2 cores) = t(t-1)(t-2)(t-2) Caso 2: I (T cores); III (1 cor); II (T-1 cores); IV (T-1 cores) = t(t-1)(t-1) Caso 1 + Caso 2 = t(t-1)[(t-2)(t-2) + (t-1)] = t(t-1)(t^2-3t+3) a) Podemos pintar o mapa de t(t-1)(t^2-3t+3), se eu não errei conta b) O menor valor de t é 2, mas isso você pode fazer no braço, usando duas cores pra pintar o mapa. Não dá nem pra pintar errado. Problema: Ah outra dúvida minha é sobre uma questão do livro Análise Combinatória e Probabilidade da coleção do professor de matemática do saudoso Morgado e outros grandes professores. É a questão 27 do capítulo 2 que é assim: A figura 2.3 mostra um mapa com 4 países ( é um círculo dividido em 4 partes iguais) a) De quantos modos esse mapa pode ser colorido (cada país com uma cor, países com uma linha fronteira comum não podem ter a mesma cor) se dispomos de T cores diferentes? b) Qual o menor valor de T que permite colorir o mapa? Bem achei a resposta da letra a diferente do gabarito talvez esteja errado minha resolução mas gostaria de saber se alguém aqui já fez esta questão e achou igual a do gabarito. Abraços, Pedro Lazéra Cardoso _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] ALUNOS
Olá, arkon. Achei duas soluções... Solução 1 (roubada): Como a nota dos alunos parece ser dada até a primeira casa decimal, a soma das novas notas dos alunos reprovados tem de ser dada também até a primeira casa decimal. Achamos a soma multiplicando a média pelo número de alunos. Dessa forma, 6,88*a (a é o número de alunos reprovados) tem de ir apenas até a segunda casa decimal, com 'a' variando entre 0 e 8, excluindo os extremos (o ou 8). Nossa incógnita (a) só pode valer 5. Logo, são 5 alunos reprovados e 15 aprovados. Solução 2 (trabalhosa, porém mais organizada) x_k detona a nota do aluno k. São 20 alunos, dos quais, após a mudança das notas, n migraram do grupo dos reprovados para o grupo dos aprovados. Calculamos a nova média somando as notas dos X alunos que seriam aprovados com a mudança, dividindo o resultado por X e somando a ele 0,5. Entendido isso, podemos escrever: A segunda média dos reprovados = 6,88 = (x_1+...+x_k)/(8-n) + 0,5 A segunda média dos aprovados = 8 = (x_(k+1)+...+x_20)/(12+n) + 0,5 Note que x_k representa a nota antiga do aluno k. Estou somando o 0,5 depois e incluindo o aluno antigo cuja nota era anteriormente menor do que 7, mas suficientemente grande para ser aprovado após a mudança, no grupo dos novos aprovados. Logo, [I] (6,88-0,5)*(8-n) = x_1+...+x_k [II] (8-0,5)*(12+n) = x_(k+1)+...+x_20 Somando, I+II = (6,88-0,5)*(8-n) + (8-0,5)*(12+n) = [x_1+...+x_k] + [x_(k+1)+...+x_20] Então, (6,88-0,5)*(8-n) + (8-0,5)*(12+n) = soma das notas antigas. Em relação às notas antigas, eram 8 alunos com média 6,5 e 12 alunos com média 7,7. Teremos: (6,88-0,5)*(8-n) + (8-0,5)*(12+n) = 8*6,5 + 12*7,7. Fazendo um bando de contas... n(7,5-6,38) + 8*6,38 + 12*7,5 = 8*6,5 + 12*7,7 .:. n(1,12) = 3,36. Olha que emocionante... deu certinho. n = 3,36/1,12 = 3. No fim, 15 alunios foram aprovados. Problema: Numa sala composta por 20 alunos, 8 alunos foram reprovados pois a nota mínima para ser aprovado é 7. A média dos reprovados foi 6,5 enquanto a dos aprovados foi 7,7. O professor considerou que uma questão foi mal formulada e, portanto, acrescentou 0,5 na nota de todos os alunos. Assim, a média dos aprovados e dos reprovados passou a ser 8 e 6,88, respectivamente. Calcular o número de alunos que conseguiram se aprovar após o acréscimo de 0,5 em suas notas. Abraços, Pedro Lazéra Cardoso _ Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: verifique já a segurança do seu PC! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] ALUNOS
Ola' Pedro e Arkon, da' pra fazer de uma outra maneira (sem precisar calcular as medias) : Numero de pontos obtidos pelos alunos depois de ganharem meio ponto: 12 * 7.7 + 8 * 6.5 + 20 * 0.5 = 154.4 Entao, chamando de X o numero de aprovados depois do meio ponto, devemos ter 154.4 = X * 8.0 + (20 - X) * 6.88 Logo, X= (154.4 - 20 * 6.88) / ( 8.0 - 6.88) = 15 []'s Rogerio Ponce Pedro Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, arkon. Achei duas soluções... Solução 1 (roubada): Como a nota dos alunos parece ser dada até a primeira casa decimal, a soma das novas notas dos alunos reprovados tem de ser dada também até a primeira casa decimal. Achamos a soma multiplicando a média pelo número de alunos. Dessa forma, 6,88*a (a é o número de alunos reprovados) tem de ir apenas até a segunda casa decimal, com 'a' variando entre 0 e 8, excluindo os extremos (o ou 8). Nossa incógnita (a) só pode valer 5. Logo, são 5 alunos reprovados e 15 aprovados. Solução 2 (trabalhosa, porém mais organizada) x_k detona a nota do aluno k. São 20 alunos, dos quais, após a mudança das notas, n migraram do grupo dos reprovados para o grupo dos aprovados. Calculamos a nova média somando as notas dos X alunos que seriam aprovados com a mudança, dividindo o resultado por X e somando a ele 0,5. Entendido isso, podemos escrever: A segunda média dos reprovados = 6,88 = (x_1+...+x_k)/(8-n) + 0,5 A segunda média dos aprovados = 8 = (x_(k+1)+...+x_20)/(12+n) + 0,5 Note que x_k representa a nota antiga do aluno k. Estou somando o 0,5 depois e incluindo o aluno antigo cuja nota era anteriormente menor do que 7, mas suficientemente grande para ser aprovado após a mudança, no grupo dos novos aprovados. Logo, [I] (6,88-0,5)*(8-n) = x_1+...+x_k [II] (8-0,5)*(12+n) = x_(k+1)+...+x_20 Somando, I+II = (6,88-0,5)*(8-n) + (8-0,5)*(12+n) = [x_1+...+x_k] + [x_(k+1)+...+x_20] Então, (6,88-0,5)*(8-n) + (8-0,5)*(12+n) = soma das notas antigas. Em relação às notas antigas, eram 8 alunos com média 6,5 e 12 alunos com média 7,7. Teremos: (6,88-0,5)*(8-n) + (8-0,5)*(12+n) = 8*6,5 + 12*7,7. Fazendo um bando de contas... n(7,5-6,38) + 8*6,38 + 12*7,5 = 8*6,5 + 12*7,7 .:. n(1,12) = 3,36. Olha que emocionante... deu certinho. n = 3,36/1,12 = 3. No fim, 15 alunios foram aprovados. Problema: Numa sala composta por 20 alunos, 8 alunos foram reprovados pois a nota mínima para ser aprovado é 7. A média dos reprovados foi 6,5 enquanto a dos aprovados foi 7,7. O professor considerou que uma questão foi mal formulada e, portanto, acrescentou 0,5 na nota de todos os alunos. Assim, a média dos aprovados e dos reprovados passou a ser 8 e 6,88, respectivamente. Calcular o número de alunos que conseguiram se aprovar após o acréscimo de 0,5 em suas notas. Abraços, Pedro Lazéra Cardoso _ Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: verifique já a segurança do seu PC! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.
Re: [obm-l] ALUNOS
Saudações aos amigos da lista. Alguém poderia dizer quando será a Olimpíada Ibero Americana Universitária? E quem pode fazer? Ah outra dúvida minha é sobre uma questão do livro Análise Combinatória e Probabilidade da coleção do professor de matemática do saudoso Morgado e outros grandes professores. É a questão 27 do capítulo 2 que é assim: A figura 2.3 mostra um mapa com 4 países ( é um círculo dividido em 4 partes iguais) a) De quantos modos esse mapa pode ser colorido (cada país com uma cor, países com uma linha fronteira comum não podem ter a mesma cor) se dispomos de T cores diferentes? b) Qual o menor valor de T que permite colorir o mapa? Bem achei a resposta da letra a diferente do gabarito talvez esteja errado minha resolução mas gostaria de saber se alguém aqui já fez esta questão e achou igual a do gabarito. Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
