Re: [obm-l] análise I
Suponha o contrário, i.e., para cada y pertencente a f([a,b]) existe exatemente dois pontos x e z em [a,b] tais que f(x) = f(z) = y. Como f é contínua, temos que f([a,b]) = [c,d], e existem x_0 e x_1 em [a,b] tais que f(x_0) = f(x) = f(x_1), para todo x em [a,b] (Teorema de Weierstrass).Pela propriedade de f, existex´_1em [a,b] t.q. f(x´_1) = f(x_1). Assim, existe delta 0 t.q., nos intervalos [x_1 - delta, x_1), (x_1, x_1 + delta] e[x´_1 - delta, x´_1) [estamos supondo x´_1 a e x_1 diferente () de a e b] a função assume valores menores que f(x´_1) = f(x_1). Seja m o maior desses dos números f(x_1 - delta), f(x_1 + delta) e f(x´_1 - delta). Observe que f(x_1 - delta) = m f(x_1),f(x_1 + delta) = m f(x_1) e f(x´_1 - delta) = m f(x´_1). Daí, pelo T.V.I., tem-se que existeM em [x_1 - delta, x_1),N em (x_1, x_1 + delta] e P em [x´_1 - delta, x´_1) t.q. f(M) = f(N) = f(P) = m, o que é um absurdo, pois existe 3 valores em [a,b] e não dois que em m. Se x_1 = a, basta pegarmos os intervalos (a, a + delta], [x´_1 - delta, x´_1) e (x´_1, x´_1 + delta] e aplicarmos o raciocínio anterior. E se x_1 = b e x´_1 = afazemos o raciocínio análogo aoprimeirono ponto x_0 em vex de x_1. Obs.:Vejatudo que o que foi dito geometricamente, assim você entenderá melhor. Éder.kirchhoff [EMAIL PROTECTED] wrote: oi pessoal... tô com uma dúvida nessa questão... poderiam me ajudar??? 14) prove que não existe f: [a,b] -R contínua, tal que se y pertence a imagem de f, então a equação f(x) = y tem exatamente duas soluções. _Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.brOfertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis!
Re: [obm-l] análise I
Suponha que isso é válido.Já que a img de um compacto é compacto, a função antige seu máximo e seu mínimo e, pela hipótese, há dois máximos e dois mínimos. Pronto, use o teorema do valor intermediário e você vai achar um y commais de duassoluções para y=f(x). kirchhoff [EMAIL PROTECTED] wrote: oi pessoal... tô com uma dúvida nessa questão... poderiam me ajudar??? 14) prove que não existe f: [a,b] -R contínua, tal que se y pertence a imagem de f, então a equação f(x) = y tem exatamente duas soluções. _Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.brOfertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis!
Re: [obm-l] Análise I
Meu caro Morgado, de fato você tem razão, não fui claro na minha dúvida. Vou tentar ser mais claro:
i) Seja f: J -- R de classe C infinito no intervalo J. Suponha que exista K 0 t.q. |f(n)(x)| = K para todoo x em J e todo n natural. Prove que, para x_o, x em J quaisquer vale f(x) = Somatório_[n = 0...infinito]{[f(n)(x_o)]/n!}(x - x_o)^n.
Início da solução: chamei f(x) = p_n(x) + r_n(x), onde p_n é o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de x_o e, pela Fórmula de Taylor comResto de Lagrange, existe c entre x e x_o t.q. r_n(x) =[f(n+1)(c).(x - x_o)]/(n+1)!, o que implica que |r_n(x)| = [K|x-xo|n+1]/(n + 1)!. Daí tenho que provar que limn®¥ r_n(x) = 0.Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote:
Parece (os simbolos estao incompreensiveis) que se quer ptovar que o modulo de (x-a)^n / n! tende a 0 quando n tende a infinito. Pense nisso como o termo geral de uma serie, prove pelo criterio da razao de D'Alembert que ela eh convergente (a razao a(n+1)/a(n) tende a 0) e conclua que o termo geral tende a 0. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent:
Sat, 29 May 2004 17:05:44 -0300 (ART) Subject: [obm-l] Análise I Gostaria de saber sealguém pode me ajudar com os "dois problemas" abaixo: i) Sendo | r(x) | £ [K|x-xo|n+1]/(n + 1)!, onde K 0, prove que limn®¥ r(x) = 0;ii) Seja f: I à R de classe C2.
Dado a em I, defina g: I ! à R por g(x) = [f(x) f(a)]/(x a) sex ¹ a e g(a) = f´(a). Prove que g é de classe C1. Usando o pol. de Taylor com resto deLagrange para f, cheguei que: limx®a g´(x) = [f´´(a)]/2 . Mas não estou conseguindo concluir que g é de classe C1.> $1 Grato desde já com a possível ajuda de vocês.
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Re: [obm-l] Análise I
Simbolos incompreensiveis! == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sat, 29 May 2004 17:05:44 -0300 (ART) Subject: [obm-l] Análise I Gostaria de saber se alguém pode me ajudar com os dois problemas abaixo: i) Sendo | r(x) | £ [K|x-xo|n+1]/(n + 1)!, onde K 0, prove que limn®¥ r(x) = 0; ii) Seja f: I à R de classe C2. Dado a em I, defina g: I ! à R por g(x) = [f(x) f(a)]/(x a) se x ¹ a e g(a) = f´(a). Prove que g é de classe C1. Usando o pol. de Taylor com resto de Lagrange para f, cheguei que: limx®a g´(x) = [f´´(a)]/2 . Mas não estou conseguindo concluir que g é de classe C1. $1 Grato desde já com a possível ajuda de vocês. Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! --- End of Original Message ---
Re: [obm-l] Análise I
Parece (os simbolos estao incompreensiveis) que se quer ptovar que o modulo de (x-a)^n / n! tende a 0 quando n tende a infinito. Pense nisso como o termo geral de uma serie, prove pelo criterio da razao de D'Alembert que ela eh convergente (a razao a(n+1)/a(n) tende a 0) e conclua que o termo geral tende a 0. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sat, 29 May 2004 17:05:44 -0300 (ART) Subject: [obm-l] Análise I Gostaria de saber se alguém pode me ajudar com os dois problemas abaixo: i) Sendo | r(x) | £ [K|x-xo|n+1]/(n + 1)!, onde K 0, prove que limn®¥ r(x) = 0; ii) Seja f: I à R de classe C2. Dado a em I, defina g: I ! à R por g(x) = [f(x) f(a)]/(x a) se x ¹ a e g(a) = f´(a). Prove que g é de classe C1. Usando o pol. de Taylor com resto de Lagrange para f, cheguei que: limx®a g´(x) = [f´´(a)]/2 . Mas não estou conseguindo concluir que g é de classe C1. $1 Grato desde já com a possível ajuda de vocês. Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! --- End of Original Message ---
[obm-l] Re: [obm-l] Análise I
On Mon, May 17, 2004 at 07:05:59AM -0300, francisco medeiros wrote:
Não existe uma função real (i.e., de R em R) contínua que transforme
todo número racional num irracional e vice-versa.
Isto é uma aplicação do teorema de Baire.
Teorema de Baire: a união de uma família enumerável de subconjuntos
fechados de interior vazio de R também tem interior vazio.
Suponha por absurdo que exista f como acima.
Para cada racional x, seja Ax = {x} e Bx = f^{-1}(Ax).
O conjunto Ax obviamente é fechado de interior vazio.
O conjunto Bx é fechado pois é a imagem inversa de um fechado
por uma função contínua e tem interior vazio pois está contido
nos irracionais. Mas a união de todos os Ax e Bx é R, pois dado
um real y, se y for racional temos y em Ay e se y for irracional
temos y em B(f(y)). Isto contradiz o teorema de Baire, absurdo.
A demonstração do teorema de Baire não é difícil, pode ser encontrada
em bons livros de análise ou nos arquivos desta lista.
Existe uma versão mais geral do teorema de Baire que fala de outros
espaços além de R.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
