From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> > Boa noite > > Naquele problema sobre a funcao logaritmica, acabei > chagando aa conclusao que, se f eh uniformemente > continua nos racionais (ou, de modo mais geral, em um > conjunto denso em R) e monotonica em todo o R, entao f > eh continua em R. > E se relaxarmos continuidade uniforme e assumirmos > apenas continuidade? A conclusao permanece valida? > Naum cheguei a uma conclusao ainda. > Artur
Oi Artur. Depois de semanas sem tempo para relaxar, estou tendo um dia de folga e é com prazer que leio e repondo algumas mensagens desta nossa querida lista de discussão. Que saudades! Se X é denso em Y, tratando-se de espaços métricos, e uma função f de X em R é uniformemente contínua (não precisa da hipótese de monotonicidade), ela pode ser estendida a uma função F de Y em R ainda uniformemente contínua, com F|X = f. Se f é uniformemente contínua, leva seqüências de Cauchy em seqüências de Cauchy (isto não vale se f é só contínua), e daí você estende f num ponto "a" FORA de X, em Y, como o limite de f numa seqüência de Cauchy em X qualquer cujo limite é "a". Em seguida, mostra que F assim obtida está bem definida: se (x_n) e (y_n) são de Cauchy em X com limite em a, então a seqüência (z_n) = (x_1,y_1,x_2,y_2,...) é de Cauchy e logo (f(z_n)) é de Cauchy, o que mostra que os limites de (f(x_n)) e de (f(y_n)), ambas subseqüências de (f(z_n)), é o mesmo. Por fim, demonstra ser F uniformemente contínua: dado e > 0 existe d > 0 para a uniformidade contínua de f; se a e b estão em Y e (x_n) e (y_n) em X tem limites a e b, respectivamente, e d(a,b) < d então existe N tal que d(x_n,y_n) < d se n > N donde se conclui que d(f(x_n),f(y_n)) < e e o limite d(f(a),f(b) <= e. A conclusão não valeria se f fosse só contínua. Vide o exemplo de f : (0 , 1] --> R, f(x) = 1/x. Ela não pode ser estendida continuamente a todo [0 , 1]. Abraço, Duda. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================