Re: [obm-l] G. plana. Área de triangulo.
Um modo e calcular o tamanho da mediana em relacao aos lados, e usar as formulas. So nao faco as contas no total por pura preguica... MAs tente usar a Relacao de Stewart --- Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu: Em um livro de geometria plana de lingua nao muito familiar tinha a seguinte formula para a área de um triangulo: S = 1/3 sqrt[(Ma + Mb + Mc)(Ma + Mb - Mc)(Ma + Mc - Mb)(Mb + Mc - Ma)] onde Ma, Mb, Mc sao as medianas relativas ao lado a, b, c respectivamente; pelo eu acho q é... Não citava nenhuma demonstração. Alguém pode faze-la ? Júnior. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] G. plana. Área de triangulo.
encontrando a mediana relativa a um lado em funçao dos lados: ma^2= a^2/4 +c^2-ac*cosA b^2/2 = a^2/2+c^2/2-accosA ma^2 -b^2/2=c^2/2-a^2/4 analogamente 4ma^2=2b^2+2c^2-a^2 4mb^2=2a^2+2c^2-b^2 4mc^2=2a^2+2b^2-c^2 analisando a formula de herao: S =raiz(p)(p-a)(p-b)(p-c) onde p e o semiperimetro p =(a+b+c)/2 jogando p na formula acima encontramos: S=1/4*raiz[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2] 2ma^2=b^2+c^2-a^2/2 2mb^2=a^2+c^2-b^2/2 2mc^2=a^2+b^2-c^2/2 2ma^2 =(b+c)^2 -a^2 +a^2/2-2bc -2ma^2=-(b-c)^2+a^2/2-2bc (b+c)^2 -a^2=2ma^2-a^2/2+2bc a^2-(b-c)^2= -2ma^2 +a^2/2+2bc o produto destas duas expressoes da: 4b^2c^2-(a^2/2 -2ma^2)^2 encontrando a^2, b^2, c^2 multiplicando a 1a por 2 e somando com as outras duas: 4ma^2=2b^2+2c^2-a^2 8ma^2+4mb^2=3b^2+6c^2 8ma^2+4mc^2=6b^2+3c^2 multiplicando a 2a por 2 e diminuindo com a terceira: 8ma^2+8mb^2-4mc^2=9c^2 8ma^2+8mc^2-4mb^2=9b^2 8mb^2+8mc^2-4ma^2=9a^2 81b^2c^2=64ma^4+32ma^2mb^2+32mc^2ma^2+80mb^2mc^2-32mc^4-32mb^4 a^2/2 -2ma^2=(4mb^2+4mc^2-2ma^2)/9 - 2ma^2=(4mb^2+4mc^2-20ma^2)/9 elevando ao quadrado=(1/81)*(16mb^4+32mb^2mc^2+16mc^4-160ma^2mb^2-160ma^2mc^2+400ma^4) 4b^2c^2=(1/81)*[256ma^4+128ma^2mb^2+128ma^2mc^2+320mc^2mb^2-128mc^4-128mb^4] 4b^2c^2-(a^2/2 -2ma^2)^2=(1/81)*[-144ma^4 +288ma^2mb^2+288ma^2mc^2+288mc^2mb^2-144mc^4-144mb^4] sendo assim, a area e dada por: S=1/4*raiz[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]= =1/4*raiz[(1/81)*[-144ma^4 +288ma^2mb^2+288ma^2mc^2+288mc^2mb^2-144mc^4-144mb^4]] 144/16=9 =1/3*raiz[-ma^4 +2ma^2mb^2+2ma^2mc^2+2mc^2mb^2-mc^4-mb^4]] [(Ma + Mb + Mc)(Ma + Mb - Mc)(Ma + Mc - Mb)(Mb + Mc - Ma)] On 9/16/05, Júnior [EMAIL PROTECTED] wrote: Em um livro de geometria plana de lingua nao muito familiar tinha a seguinte formula para a área de um triangulo: S = 1/3 sqrt[(Ma + Mb + Mc)(Ma + Mb - Mc)(Ma + Mc - Mb)(Mb + Mc - Ma)]onde Ma, Mb, Mc sao as medianas relativas ao lado a, b, c respectivamente; pelo eu acho q é...Não citava nenhuma demonstração. Alguém pode faze-la ? Júnior.
Re: [obm-l] G. plana. Área de triangulo.
[(Ma + Mb + Mc)(Ma + Mb - Mc)(Ma + Mc - Mb)(Mb + Mc - Ma)] [(mb+mc)^2-ma^2][ma^2-(mc-mb)^2]= =(mb^2+2mbmc+mc^2-ma^2)(ma^2-mc^2+2mcmb-mb^2)= =2mb^2ma^2-mb^4+2mb^2mc^2+2ma^2mc^2-mc^4 -ma^4 expressao analoga a anterior. Um abraço, saulo. On 9/16/05, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: encontrando a mediana relativa a um lado em funçao dos lados: ma^2= a^2/4 +c^2-ac*cosA b^2/2 = a^2/2+c^2/2-accosA ma^2 -b^2/2=c^2/2-a^2/4 analogamente 4ma^2=2b^2+2c^2-a^2 4mb^2=2a^2+2c^2-b^2 4mc^2=2a^2+2b^2-c^2 analisando a formula de herao: S =raiz(p)(p-a)(p-b)(p-c) onde p e o semiperimetro p =(a+b+c)/2 jogando p na formula acima encontramos: S=1/4*raiz[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2] 2ma^2=b^2+c^2-a^2/2 2mb^2=a^2+c^2-b^2/2 2mc^2=a^2+b^2-c^2/2 2ma^2 =(b+c)^2 -a^2 +a^2/2-2bc -2ma^2=-(b-c)^2+a^2/2-2bc (b+c)^2 -a^2=2ma^2-a^2/2+2bc a^2-(b-c)^2= -2ma^2 +a^2/2+2bc o produto destas duas expressoes da: 4b^2c^2-(a^2/2 -2ma^2)^2 encontrando a^2, b^2, c^2 multiplicando a 1a por 2 e somando com as outras duas: 4ma^2=2b^2+2c^2-a^2 8ma^2+4mb^2=3b^2+6c^2 8ma^2+4mc^2=6b^2+3c^2 multiplicando a 2a por 2 e diminuindo com a terceira: 8ma^2+8mb^2-4mc^2=9c^2 8ma^2+8mc^2-4mb^2=9b^2 8mb^2+8mc^2-4ma^2=9a^2 81b^2c^2=64ma^4+32ma^2mb^2+32mc^2ma^2+80mb^2mc^2-32mc^4-32mb^4 a^2/2 -2ma^2=(4mb^2+4mc^2-2ma^2)/9 - 2ma^2=(4mb^2+4mc^2-20ma^2)/9 elevando ao quadrado=(1/81)*(16mb^4+32mb^2mc^2+16mc^4-160ma^2mb^2-160ma^2mc^2+400ma^4) 4b^2c^2=(1/81)*[256ma^4+128ma^2mb^2+128ma^2mc^2+320mc^2mb^2-128mc^4-128mb^4] 4b^2c^2-(a^2/2 -2ma^2)^2=(1/81)*[-144ma^4 +288ma^2mb^2+288ma^2mc^2+288mc^2mb^2-144mc^4-144mb^4] sendo assim, a area e dada por: S=1/4*raiz[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]= =1/4*raiz[(1/81)*[-144ma^4 +288ma^2mb^2+288ma^2mc^2+288mc^2mb^2-144mc^4-144mb^4]] 144/16=9 =1/3*raiz[-ma^4 +2ma^2mb^2+2ma^2mc^2+2mc^2mb^2-mc^4-mb^4]] [(Ma + Mb + Mc)(Ma + Mb - Mc)(Ma + Mc - Mb)(Mb + Mc - Ma)] On 9/16/05, Júnior [EMAIL PROTECTED] wrote: Em um livro de geometria plana de lingua nao muito familiar tinha a seguinte formula para a área de um triangulo: S = 1/3 sqrt[(Ma + Mb + Mc)(Ma + Mb - Mc)(Ma + Mc - Mb)(Mb + Mc - Ma)]onde Ma, Mb, Mc sao as medianas relativas ao lado a, b, c respectivamente; pelo eu acho q é...Não citava nenhuma demonstração. Alguém pode faze-la ? Júnior.
Re: [obm-l] G. plana. Área de triangulo.
Não pensava que iria dar esse trabalhão... Muito Obrigado Saulo. Júnior. Em 16/09/05, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu: [(Ma + Mb + Mc)(Ma + Mb - Mc)(Ma + Mc - Mb)(Mb + Mc - Ma)] [(mb+mc)^2-ma^2][ma^2-(mc-mb)^2]= =(mb^2+2mbmc+mc^2-ma^2)(ma^2-mc^2+2mcmb-mb^2)= =2mb^2ma^2-mb^4+2mb^2mc^2+2ma^2mc^2-mc^4 -ma^4 expressao analoga a anterior. Um abraço, saulo. On 9/16/05, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: encontrando a mediana relativa a um lado em funçao dos lados: ma^2= a^2/4 +c^2-ac*cosA b^2/2 = a^2/2+c^2/2-accosA ma^2 -b^2/2=c^2/2-a^2/4 analogamente 4ma^2=2b^2+2c^2-a^2 4mb^2=2a^2+2c^2-b^2 4mc^2=2a^2+2b^2-c^2 analisando a formula de herao: S =raiz(p)(p-a)(p-b)(p-c) onde p e o semiperimetro p =(a+b+c)/2 jogando p na formula acima encontramos: S=1/4*raiz[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2] 2ma^2=b^2+c^2-a^2/2 2mb^2=a^2+c^2-b^2/2 2mc^2=a^2+b^2-c^2/2 2ma^2 =(b+c)^2 -a^2 +a^2/2-2bc -2ma^2=-(b-c)^2+a^2/2-2bc (b+c)^2 -a^2=2ma^2-a^2/2+2bc a^2-(b-c)^2= -2ma^2 +a^2/2+2bc o produto destas duas expressoes da: 4b^2c^2-(a^2/2 -2ma^2)^2 encontrando a^2, b^2, c^2 multiplicando a 1a por 2 e somando com as outras duas: 4ma^2=2b^2+2c^2-a^2 8ma^2+4mb^2=3b^2+6c^2 8ma^2+4mc^2=6b^2+3c^2 multiplicando a 2a por 2 e diminuindo com a terceira: 8ma^2+8mb^2-4mc^2=9c^2 8ma^2+8mc^2-4mb^2=9b^2 8mb^2+8mc^2-4ma^2=9a^2 81b^2c^2=64ma^4+32ma^2mb^2+32mc^2ma^2+80mb^2mc^2-32mc^4-32mb^4 a^2/2 -2ma^2=(4mb^2+4mc^2-2ma^2)/9 - 2ma^2=(4mb^2+4mc^2-20ma^2)/9 elevando ao quadrado=(1/81)*(16mb^4+32mb^2mc^2+16mc^4-160ma^2mb^2-160ma^2mc^2+400ma^4) 4b^2c^2=(1/81)*[256ma^4+128ma^2mb^2+128ma^2mc^2+320mc^2mb^2-128mc^4-128mb^4] 4b^2c^2-(a^2/2 -2ma^2)^2=(1/81)*[-144ma^4 +288ma^2mb^2+288ma^2mc^2+288mc^2mb^2-144mc^4-144mb^4] sendo assim, a area e dada por: S=1/4*raiz[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]= =1/4*raiz[(1/81)*[-144ma^4 +288ma^2mb^2+288ma^2mc^2+288mc^2mb^2-144mc^4-144mb^4]] 144/16=9 =1/3*raiz[-ma^4 +2ma^2mb^2+2ma^2mc^2+2mc^2mb^2-mc^4-mb^4]] [(Ma + Mb + Mc)(Ma + Mb - Mc)(Ma + Mc - Mb)(Mb + Mc - Ma)] On 9/16/05, Júnior [EMAIL PROTECTED] wrote: Em um livro de geometria plana de lingua nao muito familiar tinha a seguinte formula para a área de um triangulo: S = 1/3 sqrt[(Ma + Mb + Mc)(Ma + Mb - Mc)(Ma + Mc - Mb)(Mb + Mc - Ma)]onde Ma, Mb, Mc sao as medianas relativas ao lado a, b, c respectivamente; pelo eu acho q é...Não citava nenhuma demonstração. Alguém pode faze-la ? Júnior.
