Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
Ei brother todos os algarismos de c tem que ser distintos, c nao pode ser 20025. Um abraço, saulo. From: Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Date: Fri, 21 Jan 2005 20:13:12 -0200 já havia respondido a essa 2 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? ab = c (a+11)(b+111) = c+1 ab + 111a + 11b + 1221 = ab + 1 111a + 11b = 9890 como 9890 = 11(mod111) , e 9890/111 = 89, valores possiveis de a sao: 89, 78, 67, 56, 45,... como todos os algarismos sao menores que 9, o valor de a é 45 fazendo contas, b = 445 e c = 20025 a+b+c = 20515 On Fri, 21 Jan 2005 21:53:25 +, saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: 13- substituindo n+1 na equaçao de F_n, encontramos: F_n+1=F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) substituindo n-1 na equaçao de F_n encontramos: F_n-1=-F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) logo F_n+1=F_n + F-n-1 15 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= somando-se somente ate os valores negativos n=1 1 - 1/2 = 2/2-1/2=1/2 n=2 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4=1/2+1/3-1/4=1/3+2/4-1/4=1/3+1/4 n=3 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+1/5-1/6=1/3+1/4+1/5-1/6=1/4+1/5+2/6-1/6=1/4+1/5+1/6 sendo assim, 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n Estou interessado na resoluçao do problema 2, alguem pode me enviar? Um abraço, saulo. From: Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Date: Wed, 19 Jan 2005 09:59:13 -0200 mas n usei essa identidade pra resolver, usei akela q o menino aí usou e dá certinho, e meu prof disse q é a tal igualdade de sophie-germain, hehehhe. kellem - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 17, 2005 5:21 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
por que todos os alagarismos de c tem que ser disitintos, de acordo com o enunciado, usando o mesmo racioínio que vc usou a gente encontra a reposta correta: 111a+11b=9890=111*89+11= =111*(89-11+11) +11=111*78+112*11 a=78;b=112 mas a*b=8736 que possui somente 4algarismos, nao serve tirando-se multiplos de 11 sucessivamente e valendose sempre que c tem que ter 5 algarismos todos distintos, encontramos para 33: 111*(89-33+33)+11=111*56 + 33*111+11=111*56+334*11 ou seja: a=56;b=334 e c=a*b=56*334=18704 que tem 5 algarimos e sao todos distintos A resposta e: a=56 b=334 c=18704 a+b+c=19094 From: Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Date: Fri, 21 Jan 2005 22:54:05 -0200 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? Seja a = 45 b = 445 c = 20025 45*445 = 20025 e 56*556 = 31136 porque a minha resposta nao esta correta? On Fri, 21 Jan 2005 21:18:54 -0200, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Bruno, Relendo teu email, vi que sua resposta para o 2) é 20515 , mas infelizmente a resposta do livro é 19094. On Fri, 21 Jan 2005 20:13:12 -0200, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: já havia respondido a essa 2 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? ab = c (a+11)(b+111) = c+1 ab + 111a + 11b + 1221 = ab + 1 111a + 11b = 9890 como 9890 = 11(mod111) , e 9890/111 = 89, valores possiveis de a sao: 89, 78, 67, 56, 45,... como todos os algarismos sao menores que 9, o valor de a é 45 fazendo contas, b = 445 e c = 20025 a+b+c = 20515 On Fri, 21 Jan 2005 21:53:25 +, saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: 13- substituindo n+1 na equaçao de F_n, encontramos: F_n+1=F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) substituindo n-1 na equaçao de F_n encontramos: F_n-1=-F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) logo F_n+1=F_n + F-n-1 15 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= somando-se somente ate os valores negativos n=1 1 - 1/2 = 2/2-1/2=1/2 n=2 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4=1/2+1/3-1/4=1/3+2/4-1/4=1/3+1/4 n=3 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+1/5-1/6=1/3+1/4+1/5-1/6=1/4+1/5+2/6-1/6=1/4+1/5+1/6 sendo assim, 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n Estou interessado na resoluçao do problema 2, alguem pode me enviar? Um abraço, saulo. From: Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Date: Wed, 19 Jan 2005 09:59:13 -0200 mas n usei essa identidade pra resolver, usei akela q o menino aí usou e dá certinho, e meu prof disse q é a tal igualdade de sophie-germain, hehehhe. kellem - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 17, 2005 5:21 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
Ola pessoal, eu fiz a 18 assim, da mesma maneira que a 13 vc pode encontrar uma relação entre Rn, Rn+1, Rn-1: substuindo n-1 e n+1 na equação original, vc encontra: Rn+1=3Rn+2raiz2(a^n-b^n)/2 e Rn-1=3Rn-2raiz2(a^n-b^n)/2 Desta forma: Rn+1=6Rn-Rn-1 Calculando-se sucessivamente para vários valores de n=0,1,2,3,4,5,6,... encontramos: R0=1 R1=3 R2=17 R3=99 R4=577 R5=3363 R6=19601 A partir daqui os valores do algarismo das unidades começam a se repetir em ciclos de 6, ou seja UnidadeR6=unidadeR12=unidade18, etc sabendo que 12345=6*2057+3 em n=12342, o algarismo das unidades será 1, portanto; n=12343 ; unidade=3 n=12344 ; unidade=7 e finalmente n=12345 ; unidade=9 Um grande abraço, saulo From: Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Date: Wed, 19 Jan 2005 09:59:13 -0200 mas n usei essa identidade pra resolver, usei akela q o menino aí usou e dá certinho, e meu prof disse q é a tal igualdade de sophie-germain, hehehhe. kellem - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 17, 2005 5:21 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar OBS : É possível generalizar este problema ? *** 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 ) então S é igual a : a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1 b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1 c) 1 - 2^-1/32 d) 1/2*(1 - 2^-1/32 ) e) 1/2 *** 9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito. (n*n+1*n+2*n+3) + 1 *** 10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polinômios e monômios com coeficientes inteiros possui um número de fatores igual a: a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3 *** 11) Se 10^k é a maior potência de 10 que é um fator de 11^10 -1 , então k vale ? *** 12) Se a,b,c são números reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1 + (ab - c^2)^-1 = 0 então a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab - c^2)^-2 vale ? *** 13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2]^n + [(1 - 5^1/2)/2]^n para todos os inteiros n = 0, então, para todos os n= 1, F_n+1 é igual a: a) F_n + F_n-1 b) F_n + 2*F_n-1 c) F_n + 3*F_n-1 d) F_n + 5^1/2*F_n-1
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
13- substituindo n+1 na equaçao de F_n, encontramos: F_n+1=F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) substituindo n-1 na equaçao de F_n encontramos: F_n-1=-F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) logo F_n+1=F_n + F-n-1 15 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= somando-se somente ate os valores negativos n=1 1 - 1/2 = 2/2-1/2=1/2 n=2 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4=1/2+1/3-1/4=1/3+2/4-1/4=1/3+1/4 n=3 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+1/5-1/6=1/3+1/4+1/5-1/6=1/4+1/5+2/6-1/6=1/4+1/5+1/6 sendo assim, 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n Estou interessado na resoluçao do problema 2, alguem pode me enviar? Um abraço, saulo. From: Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Date: Wed, 19 Jan 2005 09:59:13 -0200 mas n usei essa identidade pra resolver, usei akela q o menino aí usou e dá certinho, e meu prof disse q é a tal igualdade de sophie-germain, hehehhe. kellem - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 17, 2005 5:21 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar OBS : É possível generalizar este problema ? *** 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 ) então S é igual a : a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1 b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1 c) 1 - 2^-1/32 d) 1/2*(1 - 2^-1/32 ) e) 1/2 *** 9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito. (n*n+1*n+2*n+3) + 1 *** 10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polinômios e monômios com coeficientes inteiros possui um número de fatores igual a: a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3 *** 11) Se 10^k é a maior potência de 10 que é um fator de 11^10 -1 , então k vale ? *** 12) Se a,b,c são números reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1 + (ab - c^2)^-1 = 0 então a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab - c^2)^-2 vale ? *** 13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2]^n + [(1 - 5^1/2)/2]^n para todos os inteiros n = 0, então, para todos os n= 1, F_n+1 é igual a: a) F_n + F_n-1 b) F_n + 2*F_n-1 c) F_n + 3*F_n-1 d) F_n + 5^1/2*F_n-1 e) F_n + 5*F_n-1
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
já havia respondido a essa 2 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? ab = c (a+11)(b+111) = c+1 ab + 111a + 11b + 1221 = ab + 1 111a + 11b = 9890 como 9890 = 11(mod111) , e 9890/111 = 89, valores possiveis de a sao: 89, 78, 67, 56, 45,... como todos os algarismos sao menores que 9, o valor de a é 45 fazendo contas, b = 445 e c = 20025 a+b+c = 20515 On Fri, 21 Jan 2005 21:53:25 +, saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: 13- substituindo n+1 na equaçao de F_n, encontramos: F_n+1=F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) substituindo n-1 na equaçao de F_n encontramos: F_n-1=-F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) logo F_n+1=F_n + F-n-1 15 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= somando-se somente ate os valores negativos n=1 1 - 1/2 = 2/2-1/2=1/2 n=2 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4=1/2+1/3-1/4=1/3+2/4-1/4=1/3+1/4 n=3 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+1/5-1/6=1/3+1/4+1/5-1/6=1/4+1/5+2/6-1/6=1/4+1/5+1/6 sendo assim, 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n Estou interessado na resoluçao do problema 2, alguem pode me enviar? Um abraço, saulo. From: Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Date: Wed, 19 Jan 2005 09:59:13 -0200 mas n usei essa identidade pra resolver, usei akela q o menino aí usou e dá certinho, e meu prof disse q é a tal igualdade de sophie-germain, hehehhe. kellem - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 17, 2005 5:21 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar OBS : É possível generalizar este problema ? *** 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 ) então S é igual a : a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1 b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1 c) 1 - 2^-1
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
Oi Bruno, Relendo teu email, vi que sua resposta para o 2) é 20515 , mas infelizmente a resposta do livro é 19094. On Fri, 21 Jan 2005 20:13:12 -0200, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: já havia respondido a essa 2 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? ab = c (a+11)(b+111) = c+1 ab + 111a + 11b + 1221 = ab + 1 111a + 11b = 9890 como 9890 = 11(mod111) , e 9890/111 = 89, valores possiveis de a sao: 89, 78, 67, 56, 45,... como todos os algarismos sao menores que 9, o valor de a é 45 fazendo contas, b = 445 e c = 20025 a+b+c = 20515 On Fri, 21 Jan 2005 21:53:25 +, saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: 13- substituindo n+1 na equaçao de F_n, encontramos: F_n+1=F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) substituindo n-1 na equaçao de F_n encontramos: F_n-1=-F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) logo F_n+1=F_n + F-n-1 15 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= somando-se somente ate os valores negativos n=1 1 - 1/2 = 2/2-1/2=1/2 n=2 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4=1/2+1/3-1/4=1/3+2/4-1/4=1/3+1/4 n=3 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+1/5-1/6=1/3+1/4+1/5-1/6=1/4+1/5+2/6-1/6=1/4+1/5+1/6 sendo assim, 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n Estou interessado na resoluçao do problema 2, alguem pode me enviar? Um abraço, saulo. From: Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Date: Wed, 19 Jan 2005 09:59:13 -0200 mas n usei essa identidade pra resolver, usei akela q o menino aí usou e dá certinho, e meu prof disse q é a tal igualdade de sophie-germain, hehehhe. kellem - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 17, 2005 5:21 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? Seja a = 45 b = 445 c = 20025 45*445 = 20025 e 56*556 = 31136 porque a minha resposta nao esta correta? On Fri, 21 Jan 2005 21:18:54 -0200, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Bruno, Relendo teu email, vi que sua resposta para o 2) é 20515 , mas infelizmente a resposta do livro é 19094. On Fri, 21 Jan 2005 20:13:12 -0200, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: já havia respondido a essa 2 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? ab = c (a+11)(b+111) = c+1 ab + 111a + 11b + 1221 = ab + 1 111a + 11b = 9890 como 9890 = 11(mod111) , e 9890/111 = 89, valores possiveis de a sao: 89, 78, 67, 56, 45,... como todos os algarismos sao menores que 9, o valor de a é 45 fazendo contas, b = 445 e c = 20025 a+b+c = 20515 On Fri, 21 Jan 2005 21:53:25 +, saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: 13- substituindo n+1 na equaçao de F_n, encontramos: F_n+1=F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) substituindo n-1 na equaçao de F_n encontramos: F_n-1=-F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) logo F_n+1=F_n + F-n-1 15 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= somando-se somente ate os valores negativos n=1 1 - 1/2 = 2/2-1/2=1/2 n=2 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4=1/2+1/3-1/4=1/3+2/4-1/4=1/3+1/4 n=3 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+1/5-1/6=1/3+1/4+1/5-1/6=1/4+1/5+2/6-1/6=1/4+1/5+1/6 sendo assim, 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n Estou interessado na resoluçao do problema 2, alguem pode me enviar? Um abraço, saulo. From: Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Date: Wed, 19 Jan 2005 09:59:13 -0200 mas n usei essa identidade pra resolver, usei akela q o menino aí usou e dá certinho, e meu prof disse q é a tal igualdade de sophie-germain, hehehhe. kellem - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 17, 2005 5:21 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
mas n usei essa identidade pra resolver, usei akela q o menino aí usou e dá certinho, e meu prof disse q é a tal igualdade de sophie-germain, hehehhe. kellem - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 17, 2005 5:21 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar OBS : É possível generalizar este problema ? *** 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 ) então S é igual a : a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1 b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1 c) 1 - 2^-1/32 d) 1/2*(1 - 2^-1/32 ) e) 1/2 *** 9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito. (n*n+1*n+2*n+3) + 1 *** 10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polinômios e monômios com coeficientes inteiros possui um número de fatores igual a: a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3 *** 11) Se 10^k é a maior potência de 10 que é um fator de 11^10 -1 , então k vale ? *** 12) Se a,b,c são números reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1 + (ab - c^2)^-1 = 0 então a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab - c^2)^-2 vale ? *** 13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2]^n + [(1 - 5^1/2)/2]^n para todos os inteiros n = 0, então, para todos os n= 1, F_n+1 é igual a: a) F_n + F_n-1 b) F_n + 2*F_n-1 c) F_n + 3*F_n-1 d) F_n + 5^1/2*F_n-1 e) F_n + 5*F_n-1 *** 14) Um fator entre 1000 e 5000 do número 2^33 - 2^19 - 2^17 - 1 é : a) 1993 b) 1992 c) 1983 d) 1982 e) 1972 *** 15) O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n é : a) 1/n+1 b) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n c) 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n d) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n+1 e) 1/2n *** 16) Sendo x + x^-1 =a, ao escrevermos x^13 + x^-13 como um polinômio em a verificamos que a soma dos coeficientes deste polinômio vale ? *** 17) Se A = (19 + 3*33^1/2)^1/3 + (19 - 3*33^1/2)^1/3 + 1 e B = (17 + 3*33^1/2)^1/3 + (17 + 3*33^1/2)^1/3 -1 , então o produto AB vale ? *** 18) Se R_n = 1/2*(a^n + b^n) onde a=3+2*2^1/12 , b = 3-2*2^1/2 e n = 0,1,2,3,... . Se R_12345 é inteiro, seu algarismo das unidades é ? *** 19) O número [(10^4 + 324)(22
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
16) Sendo x + x^-1 =a, ao escrevermos x^13 + x^-13 como um polinômio em a verificamos que a soma dos coeficientes deste polinômio vale ? para sabermos a soma dos coeficientes de um polinomio em a basta colocarmos a=1 e ver quanto dá, exemplo: se o polinomio e P(a)=a^3+3a^2+2a+1 ;S=P(1)=1+3+2+1=7 Desta forma, colocando a=1 na primeira equação: x + x^-1 =1 x^2+1-x=0 x^2-x+1=0 Delta=1-4*1*1=-3 x1=(1+iraiz3)/2=1/2+iraiz3/2 x2=(1-iraiz3)/2=1/2-iraiz3/2 O que prova que o valor de x procurado é complexo sabendo que todo numero complexo pode ser colocado da forma: z=p*(cosA+isenA)=p*expAi p=módulo A=angulo z^n+z^-n=p^n*(p^n*(cosnA+isennA)+p^-n*(cos-nA+isen-nA)) Observando que tanto para x1 quanto para x2, p=1 e que sen-nA=-sennA e que cosnA=cos-nA logo z^n+z^-n=2cosnA Como A=pi/3 13*pi/3=(12+1)*pi/3=4pi+pi/3 logo z^13+z^-13=2cos(4pi+pi/3)=2*cospi/3=1 Um abraço, saulo. From: Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Date: Wed, 19 Jan 2005 09:59:13 -0200 mas n usei essa identidade pra resolver, usei akela q o menino aí usou e dá certinho, e meu prof disse q é a tal igualdade de sophie-germain, hehehhe. kellem - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 17, 2005 5:21 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar OBS : É possível generalizar este problema ? *** 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 ) então S é igual a : a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1 b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1 c) 1 - 2^-1/32 d) 1/2*(1 - 2^-1/32 ) e) 1/2 *** 9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito. (n*n+1*n+2*n+3) + 1 *** 10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polinômios e monômios com coeficientes inteiros possui um número de fatores igual a: a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3 *** 11) Se 10^k é a maior potência de 10 que é um fator de 11^10 -1 , então k vale ? *** 12) Se a,b,c são números reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1 + (ab - c^2)^-1 = 0 então a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab - c^2)^-2 vale ? *** 13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar OBS : É possível generalizar este problema ? *** 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 ) então S é igual a : a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1 b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1 c) 1 - 2^-1/32 d) 1/2*(1 - 2^-1/32 ) e) 1/2 *** 9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito. (n*n+1*n+2*n+3) + 1 *** 10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polinômios e monômios com coeficientes inteiros possui um número de fatores igual a: a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3 *** 11) Se 10^k é a maior potência de 10 que é um fator de 11^10 -1 , então k vale ? *** 12) Se a,b,c são números reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1 + (ab - c^2)^-1 = 0 então a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab - c^2)^-2 vale ? *** 13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2]^n + [(1 - 5^1/2)/2]^n para todos os inteiros n = 0, então, para todos os n= 1, F_n+1 é igual a: a) F_n + F_n-1 b) F_n + 2*F_n-1 c) F_n + 3*F_n-1 d) F_n + 5^1/2*F_n-1 e) F_n + 5*F_n-1 *** 14) Um fator entre 1000 e 5000 do número 2^33 - 2^19 - 2^17 - 1 é : a) 1993 b) 1992 c) 1983 d) 1982 e) 1972 *** 15) O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n é : a) 1/n+1 b) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n c) 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n d) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n+1 e) 1/2n *** 16) Sendo x + x^-1 =a, ao escrevermos x^13 + x^-13 como um polinômio em a verificamos que a soma dos coeficientes deste polinômio vale ? *** 17) Se A = (19 + 3*33^1/2)^1/3 + (19 - 3*33^1/2)^1/3 + 1 e B = (17 + 3*33^1/2)^1/3 + (17 + 3*33^1/2)^1/3 -1 , então o produto AB vale ? *** 18) Se R_n = 1/2*(a^n + b^n) onde a=3+2*2^1/12 , b = 3-2*2^1/2 e n = 0,1,2,3,... . Se R_12345 é inteiro, seu algarismo das unidades é ? *** 19) O número [(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324)]/[(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)] vale ? *** Desculpem-me pela imensa mensagem, Agradeço desde já a todos , Muito obrigado, Victor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar OBS : É possível generalizar este problema ? *** 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 ) então S é igual a : a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1 b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1 c) 1 - 2^-1/32 d) 1/2*(1 - 2^-1/32 ) e) 1/2 *** 9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito. (n*n+1*n+2*n+3) + 1 *** 10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polinômios e monômios com coeficientes inteiros possui um número de fatores igual a: a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3 *** 11) Se 10^k é a maior potência de 10 que é um fator de 11^10 -1 , então k vale ? *** 12) Se a,b,c são números reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1 + (ab - c^2)^-1 = 0 então a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab - c^2)^-2 vale ? *** 13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2]^n + [(1 - 5^1/2)/2]^n para todos os inteiros n = 0, então, para todos os n= 1, F_n+1 é igual a: a) F_n + F_n-1 b) F_n + 2*F_n-1 c) F_n + 3*F_n-1 d) F_n + 5^1/2*F_n-1 e) F_n + 5*F_n-1 *** 14) Um fator entre 1000 e 5000 do número 2^33 - 2^19 - 2^17 - 1 é : a) 1993 b) 1992 c) 1983 d) 1982 e) 1972 *** 15) O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n é : a) 1/n+1 b) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n c) 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n d) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n+1 e) 1/2n *** 16) Sendo x + x^-1 =a, ao escrevermos x^13 + x^-13 como um polinômio em a verificamos que a soma dos coeficientes deste polinômio vale ? *** 17) Se A = (19 + 3*33^1/2)^1/3 + (19 - 3*33^1/2)^1/3 + 1 e B = (17 + 3*33^1/2)^1/3 + (17 + 3*33^1/2)^1/3 -1 , então o produto AB vale ? *** 18) Se R_n = 1/2*(a^n + b^n) onde a=3+2*2^1/12 , b = 3-2*2^1/2 e n = 0,1,2,3,... . Se R_12345 é inteiro, seu algarismo das unidades é ? *** 19) O número [(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324)]/[(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)] vale ? *** Desculpem-me pela imensa mensagem, Agradeço desde já a todos , Muito obrigado, Victor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
eh, foi o que eu pensei. Ele perguntava o numero de ESCORES possiveis, e nao o numero de COMBINAÇOES DOS ATLETAS On Mon, 17 Jan 2005 17:21:23 -0200, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar OBS : É possível generalizar este problema ? *** 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 ) então S é igual a : a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1 b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1 c) 1 - 2^-1/32 d) 1/2*(1 - 2^-1/32 ) e) 1/2 *** 9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito. (n*n+1*n+2*n+3) + 1 *** 10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polinômios e monômios com coeficientes inteiros possui um número de fatores igual a: a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3 *** 11) Se 10^k é a maior potência de 10 que é um fator de 11^10 -1 , então k vale ? *** 12) Se a,b,c são números reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1 + (ab - c^2)^-1 = 0 então a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab - c^2)^-2 vale ? *** 13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2]^n + [(1 - 5^1/2)/2]^n para todos os inteiros n = 0, então, para todos os n= 1, F_n+1 é igual a: a) F_n + F_n-1 b) F_n + 2*F_n-1 c) F_n + 3*F_n-1 d) F_n + 5^1/2*F_n-1 e) F_n + 5*F_n-1 *** 14) Um fator entre 1000 e 5000 do número 2^33 - 2^19 - 2^17 - 1 é : a) 1993 b) 1992 c) 1983 d) 1982 e) 1972 *** 15) O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n é : a) 1/n+1 b) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n c) 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n d) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n+1 e) 1/2n *** 16) Sendo x + x^-1 =a, ao escrevermos x^13 + x^-13 como um polinômio em a verificamos que a soma dos coeficientes deste polinômio vale ? *** 17) Se A = (19 + 3*33^1/2)^1/3 + (19 - 3*33^1/2)^1/3 + 1 e B = (17 + 3*33^1/2)^1/3 + (17 + 3*33^1/2)^1/3 -1 , então o produto AB vale ? *** 18) Se R_n = 1/2*(a^n + b^n) onde a=3+2*2^1/12 , b = 3-2*2^1/2 e n = 0,1,2,3,... . Se R_12345 é inteiro, seu algarismo das unidades é ? *** 19) O número [(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324)]/[(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)] vale ? ***
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 ) multiplicando e dividindo por (1-2^-1/32) teremos S=(1-2^-1/32)^-1*( 1-(2^-1/32)^2 )*( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 )= S=(1-2^-1/32)^-1*( 1-(2^-1/16) )*( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 )= S=(1-2^-1/32)^-1*( 1-(2^-1/16)^2 )*( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 )= S=(1-2^-1/32)^-1*( 1-2^-1/8 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 )= S=(1-2^-1/32)^-1*( 1-(2^-1/8)^2 )*( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 )= S=(1-2^-1/32)^-1*( 1-(2^-1/4) )*( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 )= S=(1-2^-1/32)^-1*( 1-(2^-1/4)^2 )*( 1+2^-1/2 )= S=(1-2^-1/32)^-1*(1-2^-1/2)( 1+2^-1/2 )=(1-2^-1/32)^-1*(1-(2^-1/2)^2= =(1-2^-1/32)^-1*(1-1/2)= =1/2*(1-2^-1/32)^-1 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : 2^8 + 2^11 + 2^n=2^8*(1+2^3) +2^n=(2^4)^2*3^2 +2^n= =48^2+2^n O número acima é um quadrado perfeito e ainda deve ser da forma (48+x)^2 logo (48+x)^2=48^2+2^n De onde tiramos que: 2^n=x*(96+x) De onde tiramos que 2^n deve ser maior que 96 inspecionando as potencias de 2 maiores que 96, ou seja 128,256,512 128-96=32 2^n=32*(96+32)=2^5*2^7=2^12 logo n=12 que é um multiplo de 3 From: Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Date: Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300 Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar OBS : É possível generalizar este problema ? *** 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 ) então S é igual a : a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1 b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1 c) 1 - 2^-1/32 d) 1/2*(1 - 2^-1/32 ) e) 1/2 *** 9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito. (n*n+1*n+2*n+3) + 1 *** 10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polinômios e monômios com coeficientes inteiros possui um número de fatores igual a: a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3 *** 11) Se 10^k é a maior potência de 10 que é um fator de 11^10 -1 , então k vale ? *** 12) Se a,b,c são números reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1 + (ab - c^2)^-1 = 0 então a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab - c^2)^-2 vale ? *** 13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2]^n + [(1 - 5^1/2)/2]^n para todos os inteiros n = 0, então, para todos os n= 1, F_n+1 é igual a: a) F_n + F_n-1 b) F_n + 2*F_n-1 c) F_n + 3*F_n-1 d) F_n + 5^1/2*F_n-1 e) F_n + 5*F_n-1 *** 14) Um fator entre 1000 e 5000 do número 2^33 - 2^19 - 2^17 - 1 é : a) 1993 b) 1992 c) 1983 d) 1982 e) 1972 *** 15) O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n é : a) 1/n+1 b) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n c) 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n d) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n+1 e) 1/2n
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
é mesmo bruno, entendi!!! Valeu, sorry :-) pekeno deslize, heheheh bjinhus] kellem - Original Message - From: Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, January 14, 2005 3:45 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! quanto a 7, acho que o seu raciocinio esta equivocado. So porque a opcao diz multiplo de 3 nao quer dizer que se 3 nao der certo ela estará errada. por outro lado, pensei no seguinte: 2^8 + 2^11 = 256 + 2048 = 2314 = 48^2 ora, se 2^8 + 2^11 é um quadrado perfeito, 2^n é a diferença de x^2 -48^2. ou seja, 97 + 99 + 101 + a_k = 2^n 2^n = (97 + 97 + 2 (k-1) ) k/2 2^(n+1) = (192 + 2k) k 2k = 256 - 192 = 64 k = 32 2^(n+1) = 256*32 = 2^8 * 2^5 = 2^13 n+1 = 13 n = 12 letra c On Fri, 14 Jan 2005 11:22:56 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Kellem! Desculpe-me a minha falta de conhecimento no assunto, mas no que consiste a desiguladade de sophie-german? Onde vc encontra essas coisas? Obrigado! Alan --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Victor Fiz só algumas, pois só dei uma olhadela e já vou mimir...Mas depois eu venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe. 4) Bem, cada elefante (menos o último) tem q ter um peso ímpar, pois (o tal peso)+ 2vezes (próximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1º elefante, as seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante): 1 tonelada == P_2 = 7 == P_3 = 4 (não pode!) 3 tons == P_2 = 6 (não pode!) 5 tons ==P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK) 7 tons == P_2 = 4(não pode!) 9 tons == P_2 = 3 == P_3=6 (não pode!) 11 tons == P_2=2 (não pode!) 13 tons == P_2=1== P_3 = 7 == P_4 = 4 (não pode!) Logo, só pode ser a letra (e). 5) 1000A + 888 é cubo perfeito Então, 2^3 (125A + 111) é cubo perfeito. Logo, 125A + 111 é cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) == 125A+111 é (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==, testando 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve é o 96. Logo, 125A + 111 = 96^3 == A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 == o número procurado é 192 == soma dos alfarismos é 12 (letra (b)). Obs: achei bem contarada essa minha solução, deve ter alguma bem mais inteligente e rápida, n tem gente? 7) Tô achando mto estranha, vejam só: o número 3 satisfaz (a), (b), (c) e (e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q não é quadrado perfeito . No entanto, p/ a letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb não é quadrado perfeito, logo, (?) não tem resposta. Tá certo isso? Me repsondam, ok? 9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n + 1 = (n^2 - n - 1)^2, q sorte! :-) 13) F_n+1 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 Por outro lado, F_n + F_n-1 = [[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 + 5^1/2)/2]+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 - 5^1/2)/2] =[[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][(1 + 5^1/2)/2]^2+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][(1 - 5^1/2)/2]^2 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 = F_n+1. Letra (a). 19) é só usar a desiguladade de sophie-german! Desculpe-me por somente ter feito estas. Bjinhus Kellem eu amo sandy ejr, e vc? Mt lindinhus neh?hehehe, tá bom, vai, vamos a outro assunto, aff. From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 8:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
oi gente, desculpa, ´[e igualdade de sophie-germain, pelo menos foi assim q meu profinho me ensinou É exatamnete o q o felipe fez! tranformar em diferença de quadrados e tals, aí corta tudo do meio e ficam só os extremos. Desculpem-me pelo erro de nomes, heheheh Bjinhus Kellem - Original Message - From: Vinícius Meireles Aleixo [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, January 14, 2005 1:56 AM Subject: En: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! 19) é só usar a desiguladade de sophie-german! Desculpe aí, mas nunca vi essa desigualdade, se puder me explicar.. Abraços, Vinícius Meireles Aleixo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
6) consegui fazer xyz=1 1/(xy+x+1) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/(zyx+x+xy)+ 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/x(yz+1+y) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/x(yz+1+y) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(xyz+x+xy) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z+xyz+zx = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/(z+zx+zxy) = (1+zx+z)/(1+zx+z) = 1 On Sat, 15 Jan 2005 20:06:27 -0200, Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] wrote: é mesmo bruno, entendi!!! Valeu, sorry :-) pekeno deslize, heheheh bjinhus] kellem - Original Message - From: Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, January 14, 2005 3:45 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! quanto a 7, acho que o seu raciocinio esta equivocado. So porque a opcao diz multiplo de 3 nao quer dizer que se 3 nao der certo ela estará errada. por outro lado, pensei no seguinte: 2^8 + 2^11 = 256 + 2048 = 2314 = 48^2 ora, se 2^8 + 2^11 é um quadrado perfeito, 2^n é a diferença de x^2 -48^2. ou seja, 97 + 99 + 101 + a_k = 2^n 2^n = (97 + 97 + 2 (k-1) ) k/2 2^(n+1) = (192 + 2k) k 2k = 256 - 192 = 64 k = 32 2^(n+1) = 256*32 = 2^8 * 2^5 = 2^13 n+1 = 13 n = 12 letra c On Fri, 14 Jan 2005 11:22:56 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Kellem! Desculpe-me a minha falta de conhecimento no assunto, mas no que consiste a desiguladade de sophie-german? Onde vc encontra essas coisas? Obrigado! Alan --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Victor Fiz só algumas, pois só dei uma olhadela e já vou mimir...Mas depois eu venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe. 4) Bem, cada elefante (menos o último) tem q ter um peso ímpar, pois (o tal peso)+ 2vezes (próximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1º elefante, as seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante): 1 tonelada == P_2 = 7 == P_3 = 4 (não pode!) 3 tons == P_2 = 6 (não pode!) 5 tons ==P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK) 7 tons == P_2 = 4(não pode!) 9 tons == P_2 = 3 == P_3=6 (não pode!) 11 tons == P_2=2 (não pode!) 13 tons == P_2=1== P_3 = 7 == P_4 = 4 (não pode!) Logo, só pode ser a letra (e). 5) 1000A + 888 é cubo perfeito Então, 2^3 (125A + 111) é cubo perfeito. Logo, 125A + 111 é cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) == 125A+111 é (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==, testando 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve é o 96. Logo, 125A + 111 = 96^3 == A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 == o número procurado é 192 == soma dos alfarismos é 12 (letra (b)). Obs: achei bem contarada essa minha solução, deve ter alguma bem mais inteligente e rápida, n tem gente? 7) Tô achando mto estranha, vejam só: o número 3 satisfaz (a), (b), (c) e (e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q não é quadrado perfeito . No entanto, p/ a letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb não é quadrado perfeito, logo, (?) não tem resposta. Tá certo isso? Me repsondam, ok? 9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n + 1 = (n^2 - n - 1)^2, q sorte! :-) 13) F_n+1 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 Por outro lado, F_n + F_n-1 = [[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 + 5^1/2)/2]+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 - 5^1/2)/2] =[[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][(1 + 5^1/2)/2]^2+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][(1 - 5^1/2)/2]^2 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 = F_n+1. Letra (a). 19) é só usar a desiguladade de sophie-german! Desculpe-me por somente ter feito estas. Bjinhus Kellem eu amo sandy ejr, e vc? Mt lindinhus neh?hehehe, tá bom, vai, vamos a outro assunto, aff. From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 8:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
Quanto a 1, pensei no seguinte, mas nao tenho certeza: existem 10 corredores, logo o total de pontos é (1+10)10/2 = 55 logo, pra vencer um time pode ter 27 pontos no maximo. Como o mínimo é 1+2+3+4+5 = 15, o total de escores é 13 On Sat, 15 Jan 2005 20:22:05 -0200, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: 6) consegui fazer xyz=1 1/(xy+x+1) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/(zyx+x+xy)+ 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/x(yz+1+y) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/x(yz+1+y) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(xyz+x+xy) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z+xyz+zx = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/(z+zx+zxy) = (1+zx+z)/(1+zx+z) = 1 On Sat, 15 Jan 2005 20:06:27 -0200, Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] wrote: é mesmo bruno, entendi!!! Valeu, sorry :-) pekeno deslize, heheheh bjinhus] kellem - Original Message - From: Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, January 14, 2005 3:45 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! quanto a 7, acho que o seu raciocinio esta equivocado. So porque a opcao diz multiplo de 3 nao quer dizer que se 3 nao der certo ela estará errada. por outro lado, pensei no seguinte: 2^8 + 2^11 = 256 + 2048 = 2314 = 48^2 ora, se 2^8 + 2^11 é um quadrado perfeito, 2^n é a diferença de x^2 -48^2. ou seja, 97 + 99 + 101 + a_k = 2^n 2^n = (97 + 97 + 2 (k-1) ) k/2 2^(n+1) = (192 + 2k) k 2k = 256 - 192 = 64 k = 32 2^(n+1) = 256*32 = 2^8 * 2^5 = 2^13 n+1 = 13 n = 12 letra c On Fri, 14 Jan 2005 11:22:56 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Kellem! Desculpe-me a minha falta de conhecimento no assunto, mas no que consiste a desiguladade de sophie-german? Onde vc encontra essas coisas? Obrigado! Alan --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Victor Fiz só algumas, pois só dei uma olhadela e já vou mimir...Mas depois eu venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe. 4) Bem, cada elefante (menos o último) tem q ter um peso ímpar, pois (o tal peso)+ 2vezes (próximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1º elefante, as seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante): 1 tonelada == P_2 = 7 == P_3 = 4 (não pode!) 3 tons == P_2 = 6 (não pode!) 5 tons ==P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK) 7 tons == P_2 = 4(não pode!) 9 tons == P_2 = 3 == P_3=6 (não pode!) 11 tons == P_2=2 (não pode!) 13 tons == P_2=1== P_3 = 7 == P_4 = 4 (não pode!) Logo, só pode ser a letra (e). 5) 1000A + 888 é cubo perfeito Então, 2^3 (125A + 111) é cubo perfeito. Logo, 125A + 111 é cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) == 125A+111 é (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==, testando 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve é o 96. Logo, 125A + 111 = 96^3 == A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 == o número procurado é 192 == soma dos alfarismos é 12 (letra (b)). Obs: achei bem contarada essa minha solução, deve ter alguma bem mais inteligente e rápida, n tem gente? 7) Tô achando mto estranha, vejam só: o número 3 satisfaz (a), (b), (c) e (e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q não é quadrado perfeito . No entanto, p/ a letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb não é quadrado perfeito, logo, (?) não tem resposta. Tá certo isso? Me repsondam, ok? 9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n + 1 = (n^2 - n - 1)^2, q sorte! :-) 13) F_n+1 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 Por outro lado, F_n + F_n-1 = [[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 + 5^1/2)/2]+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 - 5^1/2)/2] =[[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][(1 + 5^1/2)/2]^2+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][(1 - 5^1/2)/2]^2 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 = F_n+1. Letra (a). 19) é só usar a desiguladade de sophie-german! Desculpe-me por somente ter feito estas. Bjinhus Kellem eu amo sandy ejr, e vc? Mt lindinhus neh?hehehe, tá bom, vai, vamos a outro assunto, aff. From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 8:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? ab = c (a+11)(b+111) = c+1 ab + 111a + 11b + 1221 = ab + 1 111a + 11b = 9890 como 9890 = 11(mod111) , e 9890/111 = 89, valores possiveis de a sao: 89, 78, 67, 56, 45,... como todos os algarismos sao menores que 9, o valor de a é 45 fazendo contas, b = 445 e c = 20025 a+b+c = 20515 On Sat, 15 Jan 2005 21:56:19 -0200, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto a 1, pensei no seguinte, mas nao tenho certeza: existem 10 corredores, logo o total de pontos é (1+10)10/2 = 55 logo, pra vencer um time pode ter 27 pontos no maximo. Como o mínimo é 1+2+3+4+5 = 15, o total de escores é 13 On Sat, 15 Jan 2005 20:22:05 -0200, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: 6) consegui fazer xyz=1 1/(xy+x+1) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/(zyx+x+xy)+ 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/x(yz+1+y) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/x(yz+1+y) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(xyz+x+xy) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z+xyz+zx = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/(z+zx+zxy) = (1+zx+z)/(1+zx+z) = 1 On Sat, 15 Jan 2005 20:06:27 -0200, Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] wrote: é mesmo bruno, entendi!!! Valeu, sorry :-) pekeno deslize, heheheh bjinhus] kellem - Original Message - From: Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, January 14, 2005 3:45 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! quanto a 7, acho que o seu raciocinio esta equivocado. So porque a opcao diz multiplo de 3 nao quer dizer que se 3 nao der certo ela estará errada. por outro lado, pensei no seguinte: 2^8 + 2^11 = 256 + 2048 = 2314 = 48^2 ora, se 2^8 + 2^11 é um quadrado perfeito, 2^n é a diferença de x^2 -48^2. ou seja, 97 + 99 + 101 + a_k = 2^n 2^n = (97 + 97 + 2 (k-1) ) k/2 2^(n+1) = (192 + 2k) k 2k = 256 - 192 = 64 k = 32 2^(n+1) = 256*32 = 2^8 * 2^5 = 2^13 n+1 = 13 n = 12 letra c On Fri, 14 Jan 2005 11:22:56 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Kellem! Desculpe-me a minha falta de conhecimento no assunto, mas no que consiste a desiguladade de sophie-german? Onde vc encontra essas coisas? Obrigado! Alan --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Victor Fiz só algumas, pois só dei uma olhadela e já vou mimir...Mas depois eu venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe. 4) Bem, cada elefante (menos o último) tem q ter um peso ímpar, pois (o tal peso)+ 2vezes (próximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1º elefante, as seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante): 1 tonelada == P_2 = 7 == P_3 = 4 (não pode!) 3 tons == P_2 = 6 (não pode!) 5 tons ==P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK) 7 tons == P_2 = 4(não pode!) 9 tons == P_2 = 3 == P_3=6 (não pode!) 11 tons == P_2=2 (não pode!) 13 tons == P_2=1== P_3 = 7 == P_4 = 4 (não pode!) Logo, só pode ser a letra (e). 5) 1000A + 888 é cubo perfeito Então, 2^3 (125A + 111) é cubo perfeito. Logo, 125A + 111 é cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) == 125A+111 é (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==, testando 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve é o 96. Logo, 125A + 111 = 96^3 == A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 == o número procurado é 192 == soma dos alfarismos é 12 (letra (b)). Obs: achei bem contarada essa minha solução, deve ter alguma bem mais inteligente e rápida, n tem gente? 7) Tô achando mto estranha, vejam só: o número 3 satisfaz (a), (b), (c) e (e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q não é quadrado perfeito . No entanto, p/ a letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb não é quadrado perfeito, logo, (?) não tem resposta. Tá certo isso? Me repsondam, ok? 9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n + 1 = (n^2 - n - 1)^2, q sorte! :-) 13) F_n+1 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 Por outro lado, F_n + F_n-1 = [[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 + 5^1/2)/2]+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 - 5^1/2)/2] =[[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][(1 + 5^1/2)/2]^2+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][(1 - 5^1/2)/2]^2 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 = F_n+1. Letra (a). 19) é só usar a desiguladade de sophie-german! Desculpe-me por somente ter feito estas
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito. (n*n+1*n+2*n+3) + 1 Seja K tal produto mais unidade efetuando as multiplicacoes, temos: n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1 = (n^2 + an + 1)^2 2a = 6 a=3-K = (n^2 + 3n + 1)^2 On Sat, 15 Jan 2005 22:33:22 -0200, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? ab = c (a+11)(b+111) = c+1 ab + 111a + 11b + 1221 = ab + 1 111a + 11b = 9890 como 9890 = 11(mod111) , e 9890/111 = 89, valores possiveis de a sao: 89, 78, 67, 56, 45,... como todos os algarismos sao menores que 9, o valor de a é 45 fazendo contas, b = 445 e c = 20025 a+b+c = 20515 On Sat, 15 Jan 2005 21:56:19 -0200, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto a 1, pensei no seguinte, mas nao tenho certeza: existem 10 corredores, logo o total de pontos é (1+10)10/2 = 55 logo, pra vencer um time pode ter 27 pontos no maximo. Como o mínimo é 1+2+3+4+5 = 15, o total de escores é 13 On Sat, 15 Jan 2005 20:22:05 -0200, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: 6) consegui fazer xyz=1 1/(xy+x+1) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/(zyx+x+xy)+ 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/x(yz+1+y) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/x(yz+1+y) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(xyz+x+xy) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z+xyz+zx = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/(z+zx+zxy) = (1+zx+z)/(1+zx+z) = 1 On Sat, 15 Jan 2005 20:06:27 -0200, Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] wrote: é mesmo bruno, entendi!!! Valeu, sorry :-) pekeno deslize, heheheh bjinhus] kellem - Original Message - From: Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, January 14, 2005 3:45 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! quanto a 7, acho que o seu raciocinio esta equivocado. So porque a opcao diz multiplo de 3 nao quer dizer que se 3 nao der certo ela estará errada. por outro lado, pensei no seguinte: 2^8 + 2^11 = 256 + 2048 = 2314 = 48^2 ora, se 2^8 + 2^11 é um quadrado perfeito, 2^n é a diferença de x^2 -48^2. ou seja, 97 + 99 + 101 + a_k = 2^n 2^n = (97 + 97 + 2 (k-1) ) k/2 2^(n+1) = (192 + 2k) k 2k = 256 - 192 = 64 k = 32 2^(n+1) = 256*32 = 2^8 * 2^5 = 2^13 n+1 = 13 n = 12 letra c On Fri, 14 Jan 2005 11:22:56 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Kellem! Desculpe-me a minha falta de conhecimento no assunto, mas no que consiste a desiguladade de sophie-german? Onde vc encontra essas coisas? Obrigado! Alan --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Victor Fiz só algumas, pois só dei uma olhadela e já vou mimir...Mas depois eu venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe. 4) Bem, cada elefante (menos o último) tem q ter um peso ímpar, pois (o tal peso)+ 2vezes (próximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1º elefante, as seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante): 1 tonelada == P_2 = 7 == P_3 = 4 (não pode!) 3 tons == P_2 = 6 (não pode!) 5 tons ==P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK) 7 tons == P_2 = 4(não pode!) 9 tons == P_2 = 3 == P_3=6 (não pode!) 11 tons == P_2=2 (não pode!) 13 tons == P_2=1== P_3 = 7 == P_4 = 4 (não pode!) Logo, só pode ser a letra (e). 5) 1000A + 888 é cubo perfeito Então, 2^3 (125A + 111) é cubo perfeito. Logo, 125A + 111 é cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) == 125A+111 é (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==, testando 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve é o 96. Logo, 125A + 111 = 96^3 == A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 == o número procurado é 192 == soma dos alfarismos é 12 (letra (b)). Obs: achei bem contarada essa minha solução, deve ter alguma bem mais inteligente e rápida, n tem gente? 7) Tô achando mto estranha, vejam só: o número 3 satisfaz (a), (b), (c) e (e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q não é quadrado perfeito . No entanto, p/ a letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb não é quadrado perfeito, logo, (?) não tem resposta. Tá certo isso? Me repsondam, ok? 9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n + 1 = (n^2 - n - 1)^2, q sorte
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
Ola pessoal sou eu Felipe de novo, acho que deu pra resolver mais duas, quanto a 6 consegui fazer de outro jeito, mas da na mesma coisa. 6)xyz=1, yz=1/x, xz=1/y, z=1/xy 1/[1+x+xz] = conserva 1/[1+y+yz] = 1/[1+y+1/x] = x/[xy + x + 1] 1/[1+z+xz] = 1[1+1/xy+1/y] = xy/[xy+x+1] Chamando xy+x+1=d Somando tudo 1/d + x/d + xy/d = d/d = 1 ** 14) 2^33 - 2^19 - 2^17 - 1 2^33 - [2^19+2^17] - 1 [1] De um tiramos 2^19+2^17 2^17*[3 +2] 2^17*3 + 2^18 3*2^11*2^6*1 + [2^6]^3 Voltando ao 1 teremos [2^11]^3 - [2^6]^3 - 1^3 - 3*2^11*2^6*2^1 Como x^3 - y^3 - z^3 - 3xyz= (x - y - z)(x^2 +y^2 + z^2 + xy + xz - yz) echamanado 2^11=x, 2^6=y e 1=zTemos (x - y - z) = 2^11 - 2^6 - 1 = 1983 Um abraco a todos Felipe
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
Olá Kellem! Desculpe-me a minha falta de conhecimento no assunto, mas no que consiste a desiguladade de sophie-german? Onde vc encontra essas coisas? Obrigado! Alan --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Victor Fiz só algumas, pois só dei uma olhadela e já vou mimir...Mas depois eu venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe. 4) Bem, cada elefante (menos o último) tem q ter um peso ímpar, pois (o tal peso)+ 2vezes (próximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1º elefante, as seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante): 1 tonelada == P_2 = 7 == P_3 = 4 (não pode!) 3 tons == P_2 = 6 (não pode!) 5 tons ==P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK) 7 tons == P_2 = 4(não pode!) 9 tons == P_2 = 3 == P_3=6 (não pode!) 11 tons == P_2=2 (não pode!) 13 tons == P_2=1== P_3 = 7 == P_4 = 4 (não pode!) Logo, só pode ser a letra (e). 5) 1000A + 888 é cubo perfeito Então, 2^3 (125A + 111) é cubo perfeito. Logo, 125A + 111 é cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) == 125A+111 é (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==, testando 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve é o 96. Logo, 125A + 111 = 96^3 == A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 == o número procurado é 192 == soma dos alfarismos é 12 (letra (b)). Obs: achei bem contarada essa minha solução, deve ter alguma bem mais inteligente e rápida, n tem gente? 7) Tô achando mto estranha, vejam só: o número 3 satisfaz (a), (b), (c) e (e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q não é quadrado perfeito . No entanto, p/ a letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb não é quadrado perfeito, logo, (?) não tem resposta. Tá certo isso? Me repsondam, ok? 9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n + 1 = (n^2 - n - 1)^2, q sorte! :-) 13) F_n+1 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 Por outro lado, F_n + F_n-1 = [[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 + 5^1/2)/2]+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 - 5^1/2)/2] =[[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][(1 + 5^1/2)/2]^2+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][(1 - 5^1/2)/2]^2 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 = F_n+1. Letra (a). 19) é só usar a desiguladade de sophie-german! Desculpe-me por somente ter feito estas. Bjinhus Kellem eu amo sandy ejr, e vc? Mt lindinhus neh?hehehe, tá bom, vai, vamos a outro assunto, aff. From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 8:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar OBS : É possível generalizar este problema ? *** 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 ) então S é igual a : a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1 b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1 c) 1 - 2^-1/32 d) 1/2*(1 - 2^-1/32 ) e) 1/2 *** 9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito.
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
quanto a 7, acho que o seu raciocinio esta equivocado. So porque a opcao diz multiplo de 3 nao quer dizer que se 3 nao der certo ela estará errada. por outro lado, pensei no seguinte: 2^8 + 2^11 = 256 + 2048 = 2314 = 48^2 ora, se 2^8 + 2^11 é um quadrado perfeito, 2^n é a diferença de x^2 -48^2. ou seja, 97 + 99 + 101 + a_k = 2^n 2^n = (97 + 97 + 2 (k-1) ) k/2 2^(n+1) = (192 + 2k) k 2k = 256 - 192 = 64 k = 32 2^(n+1) = 256*32 = 2^8 * 2^5 = 2^13 n+1 = 13 n = 12 letra c On Fri, 14 Jan 2005 11:22:56 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Kellem! Desculpe-me a minha falta de conhecimento no assunto, mas no que consiste a desiguladade de sophie-german? Onde vc encontra essas coisas? Obrigado! Alan --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Victor Fiz só algumas, pois só dei uma olhadela e já vou mimir...Mas depois eu venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe. 4) Bem, cada elefante (menos o último) tem q ter um peso ímpar, pois (o tal peso)+ 2vezes (próximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1º elefante, as seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante): 1 tonelada == P_2 = 7 == P_3 = 4 (não pode!) 3 tons == P_2 = 6 (não pode!) 5 tons ==P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK) 7 tons == P_2 = 4(não pode!) 9 tons == P_2 = 3 == P_3=6 (não pode!) 11 tons == P_2=2 (não pode!) 13 tons == P_2=1== P_3 = 7 == P_4 = 4 (não pode!) Logo, só pode ser a letra (e). 5) 1000A + 888 é cubo perfeito Então, 2^3 (125A + 111) é cubo perfeito. Logo, 125A + 111 é cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) == 125A+111 é (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==, testando 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve é o 96. Logo, 125A + 111 = 96^3 == A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 == o número procurado é 192 == soma dos alfarismos é 12 (letra (b)). Obs: achei bem contarada essa minha solução, deve ter alguma bem mais inteligente e rápida, n tem gente? 7) Tô achando mto estranha, vejam só: o número 3 satisfaz (a), (b), (c) e (e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q não é quadrado perfeito . No entanto, p/ a letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb não é quadrado perfeito, logo, (?) não tem resposta. Tá certo isso? Me repsondam, ok? 9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n + 1 = (n^2 - n - 1)^2, q sorte! :-) 13) F_n+1 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 Por outro lado, F_n + F_n-1 = [[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 + 5^1/2)/2]+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 - 5^1/2)/2] =[[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][(1 + 5^1/2)/2]^2+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][(1 - 5^1/2)/2]^2 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 = F_n+1. Letra (a). 19) é só usar a desiguladade de sophie-german! Desculpe-me por somente ter feito estas. Bjinhus Kellem eu amo sandy ejr, e vc? Mt lindinhus neh?hehehe, tá bom, vai, vamos a outro assunto, aff. From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 8:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
quanto a generalizacao do problema, não consegui. estou curioso pra ver como seria On Fri, 14 Jan 2005 15:45:25 -0200, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: quanto a 7, acho que o seu raciocinio esta equivocado. So porque a opcao diz multiplo de 3 nao quer dizer que se 3 nao der certo ela estará errada. por outro lado, pensei no seguinte: 2^8 + 2^11 = 256 + 2048 = 2314 = 48^2 ora, se 2^8 + 2^11 é um quadrado perfeito, 2^n é a diferença de x^2 -48^2. ou seja, 97 + 99 + 101 + a_k = 2^n 2^n = (97 + 97 + 2 (k-1) ) k/2 2^(n+1) = (192 + 2k) k 2k = 256 - 192 = 64 k = 32 2^(n+1) = 256*32 = 2^8 * 2^5 = 2^13 n+1 = 13 n = 12 letra c On Fri, 14 Jan 2005 11:22:56 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Kellem! Desculpe-me a minha falta de conhecimento no assunto, mas no que consiste a desiguladade de sophie-german? Onde vc encontra essas coisas? Obrigado! Alan --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Victor Fiz só algumas, pois só dei uma olhadela e já vou mimir...Mas depois eu venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe. 4) Bem, cada elefante (menos o último) tem q ter um peso ímpar, pois (o tal peso)+ 2vezes (próximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1º elefante, as seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante): 1 tonelada == P_2 = 7 == P_3 = 4 (não pode!) 3 tons == P_2 = 6 (não pode!) 5 tons ==P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK) 7 tons == P_2 = 4(não pode!) 9 tons == P_2 = 3 == P_3=6 (não pode!) 11 tons == P_2=2 (não pode!) 13 tons == P_2=1== P_3 = 7 == P_4 = 4 (não pode!) Logo, só pode ser a letra (e). 5) 1000A + 888 é cubo perfeito Então, 2^3 (125A + 111) é cubo perfeito. Logo, 125A + 111 é cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) == 125A+111 é (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==, testando 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve é o 96. Logo, 125A + 111 = 96^3 == A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 == o número procurado é 192 == soma dos alfarismos é 12 (letra (b)). Obs: achei bem contarada essa minha solução, deve ter alguma bem mais inteligente e rápida, n tem gente? 7) Tô achando mto estranha, vejam só: o número 3 satisfaz (a), (b), (c) e (e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q não é quadrado perfeito . No entanto, p/ a letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb não é quadrado perfeito, logo, (?) não tem resposta. Tá certo isso? Me repsondam, ok? 9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n + 1 = (n^2 - n - 1)^2, q sorte! :-) 13) F_n+1 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 Por outro lado, F_n + F_n-1 = [[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 + 5^1/2)/2]+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 - 5^1/2)/2] =[[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][(1 + 5^1/2)/2]^2+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][(1 - 5^1/2)/2]^2 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 = F_n+1. Letra (a). 19) é só usar a desiguladade de sophie-german! Desculpe-me por somente ter feito estas. Bjinhus Kellem eu amo sandy ejr, e vc? Mt lindinhus neh?hehehe, tá bom, vai, vamos a outro assunto, aff. From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 8:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que:
