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Rafael,
Estive estudando esse problema por algum tempo e,
de fato, ele é bem interessante. Na verdade, pelo que descobri recentemente,
trata-se de uma variação de um problema caído na prova do concurso para a
Receita Federal em 2002. Você pode conferir em: http://www.vemconcursos.com.br/arquivos/aulas/Vilson_Cotez_mat_finan_afrf2002_part2.pdf e
verá que o enunciado começa exatamente igual, mas a pergunta é bem
diferente.
Sobre o seu problema, creio que a chave para
resolvê-lo é entender algumas palavras: o que é bônus? o que é valor nominal? o
que são os cupons? o que é ágio? A menos que alguém
tenha contato com operações assim no seu cotidiano, aí está todo o
problema. Traduzindo para um português mais claro, um país precisava de uma
certa quantia, e não dispunha de tal quantia, decidindo por fazer
um empréstimo; recorreu ao mercado internacional e a garantia oferecida foi
um título (ações de uma entidade pública, por exemplo); esse "título"
é chamado de bônus, por ser válido, geralmente, mais de um ano.
Entretando, o interesse do país é supervalorizá-lo na negociação, e
o valor pelo qual este for tido será o nominal; ou seja, o valor
nominal de um título nada mais é do que um valor declarado, e não,
necessariamente, o de mercado; o lucro obtido pelo país
nessa declaração é o que se chama de "ágio". Voltando à história: o
mercado internacional aceita o título como garantia e oferece o
seguinte: o valor nominal do título será dado ao país, e o mercado
internacional esperará cinco anos para o seu ressarcimento; enquanto isso, o
país paga juros semestrais, "prestações", que são os cupons. A pergunta do
problema é exatamente qual o valor da taxa de juros, mas pensando-se
anualmente. Vamos lá:
1º. semestre: US$ 60.00
2º. semestre: US$ 60.00
3º. semestre: US$ 60.00
...
10º. semestre: US$ 1,060.00
O valor total pago pelo título será: US$
(10*60.00+1.000,00) = US$ 1,600.00
Mas o país obteve um lucro nessa transação:
ágio de 7,72% sobre o valor nominal do título. Então, o valor real do título era US$ (1,000.00*0,9228) = US$
922,80.
Assim, a juros comerciais (compostos), tudo pode
ser entendido como: o país tinha um título que valia US$ 922,80 e
após cinco anos deve pagar US$ 1,600.00 para recuperá-lo. Qual
seria a taxa de juros anual?
1600 = 922,8(1+i)^5 ==> i =
11,63% (aproximadamente)
A alternativa mais próxima é a C, que indica
12%.
O que vale a pena é destacar que o problema se
refere à "taxa nominal", algo que não faz muito sentido, porque para nada
interessaria o valor do ágio, visto que *nominalmente* o título vale US$
1.000,00. Assim, ao pé da letra, bastaria:
1600 = 1000(1+i)^5 ==> i = 9,85%
(aproximadamente)
A alternativa mais próxima é a D, que indica
10%.
Um comentário final é que nesse tipo de prova,
concursos públicos, o tema de juros é explorado da pior forma: conta-se uma
história enorme, detalhando o desnecessário, e fecha-se o problema a meia dúzia
de palavras: a pergunta final, que muitas vezes pode ser respondida
sem o devido entendimento de todo o resto. Não sei se você está
estudando para prestar algo assim, mas se não estiver, certamente há problemas
qualitativamente melhores sobre o assunto.
Espero que o meu raciocínio esteja correto e que
tenha ficado claro.
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
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- [obm-l] Matematica financeira Guilherme Pimentel
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